误差分析随机过程教程

随机误差 随 机 误 差 产 生 的 原 因随 机 误 差 的 特 性 特 征随 机 误 差 处 理 的 基 本 原 则随 机 误 差 的 分 布 正 态 分 布非 正 态 分 布随 机 误 差 的 数 据 处 理 算 术 平 均 值算 术 平 均 值 的 标 准 差实 验 标 准 差 贝 塞 尔 公 式修 正 贝 塞 尔 公 式极 差 法最 大 误 差 法极 限 误 差 极 限 误 差 的 定 义单 次 测 量 的 极 限 误 差算 术 平 均 值 的 极 限 误 差随 机 误 差 的 概 述 第 一 节 随 机 误 差 的 概 述1.1 随 机 误 差 产 生 的 原 因 随 机 误 差 是 由 众 多 的 、 微 小 的 因 素 造 成 的 。这 些 因 素 中 ， 有 的 尚 未 掌 握 其 影 响 测 量 准 确 的 规律 ； 有 的 是 在 测 量 过 程 中 对 其 难 以 完 全 控 制 的 微小 变 化 ， 而 这 些 微 小 变 化 又 给 测 量 带 来 误 差 。 如实 验 条 件 的 偶 然 性 微 小 变 化 ， 如 温 度 波 动 、 噪 声干 扰 、 电 磁 场 微 变 、 电 源 电 压 的 随 机 起 伏 、 地 面振 动 等 。 再 如 ， 测 量 人 员 瞄 准 、 估 读 时 ， 围 绕 其习 惯 性 偏 差 的 微 小 的 不 稳 定 性 均 导 致 随 机 误 差 。 举 例 ： 某 台 激 光 数 字 波 面 干 涉 仪 ， 对 其 进 行 准 确度 考 核 ， 在 相 同 测 量 条 件 下 对 某 标 准 平 晶 的 表 面面 形 进 行 150次 重 复 测 量 获 得 面 形 峰 谷 值 数 据 。通 过 实 验 分 析 ， 查 询 有 关 的 技 术 资 料 和 其 他 信 息 ，可 知 随 机 误 差 来 源 结 论 ： 对 具 体 测 量 问 题 具 体 分 析 ， 从 所 用 的 设 备 、人 员 、 测 量 方 法 等 资 源 以 及 环 境 等 要 素 中 去 分 析寻 找 主 要 的 随 机 误 差 来 源 。 150次 的 面 形 峰 谷 值 数 据 0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121 （ 1） 测 量 装 置 方 面 的 因 素 ： 氦 氖 激 光 源 辐 射 激 光束 的 频 率 不 够 稳 定 造 成 激 光 波 长 的 漂 移 ， 离 散 化采 样 误 差 、 各 次 装 夹 定 位 不 一 致 ， CCD光 电 探 测器 采 集 信 号 及 其 电 信 号 处 理 电 路 造 成 干 涉 图 像 信号 的 随 机 噪 声 。（ 2） 测 量 环 境 方 面 的 因 素 ： 放 置 测 量 主 机 和 被 测 试样 的 隔 震 台 不 能 很 好 消 除 外 界 的 低 频 震 动 ， 仪 器 所在 实 验 室 气 流 和 温 度 的 波 动 ， 空 气 尘 埃 的 漂 浮 、 稳压 电 源 供 电 电 压 的 微 小 波 动 。（ 3） 操 作 人 员 方 面 的 因 素 ： 操 作 人 员 的 装 夹 调整 不 当 引 起 被 采 集 的 测 量 干 涉 图 像 质 量 低 、 条 纹疏 密 不 当 ， 采 集 干 涉 图 像 的 摄 像 头 变 焦 倍 数 过 小造 成 较 大 的 离 散 化 采 样 误 差 。 数 据 特 点 ： 数 据 列 表 明 ， 各 次 测 值 不 尽 相 同 ， 这 说 明 各次 测 量 中 含 有 随 机 误 差 ， 这 些 误 差 的 出 现 没 有 确定 的 规 律 ， 即 前 一 个 数 据 出 现 后 ， 不 能 预 测 下 一个 数 据 的 大 小 。 但 就 数 据 整 体 而 言 ， 却 明 显 具 有某 种 统 计 规 律 ， 这 个 规 律 可 以 用 统 计 直 方 图 来 表示 。 如 下 图 所 示 ： if 0.114 0.116 0.118 0.12 0.122 0.124 0.126 0.1280102030 4050 经 过 分 析 ， 由于 上 述 误 差 源 多 而 又不 能 断 定 哪 个 误 差 源的 影 响 占 主 要 地 位 ，因 此 造 成 该 统 计 直 方图 大 致 呈 现 正 态 分 布的 特 征 。 如 果 其 中 有个 别 非 正 态 的 随 机 误差 因 素 明 显 占 优 ， 则该 统 计 直 方 图 就 会 呈现 其 他 分 布 的 特 征 。 ix 1.2 随 机 误 差 的 特 性 特 征1、 随 机 误 差 特 性 随 机 误 差 的 特 性 可 归 纳 为 三 个 方 面 ： 具 有 随 机 性 、 产 生在 测 量 过 程 中 、 与 测 量 的 次 数 有 关 ， 重 复 性 条 件 下 增 加测 量 次 数 可 减 小 随 机 误 差 对 测 量 结 果 的 影 响 。2、 随 机 误 差 的 本 质 特 征 （ 1） 随 机 误 差 的 表 述 设 被 测 量 的 真 值 为 ， 一 系 列 测 量 值 为 ， 如 果 各 次 测量 值 中 不 含 有 系 统 误 差 ， 则 根 据 对 随 机 误 差 的 定 义 ，有 ： ix0 x i0 xxii （ 2） 随 机 误 差 的 抵 偿 性当 测 量 次 数 n充 分 大 时 ， 有1 0n ii 1 0n i ji j 以 及抵 偿 性 是 各 种 随 机 误 差 所 共 有 的 本 质 特 征 。 综 上 所 述 ， 对 于 任 何 的 测 量 ， 其 中 的 随 机 误差 源 客 观 存 在 ， 造 成 对 每 次 测 量 数 据 的 不 可 预 测的 随 机 性 影 响 。 这 种 影 响 表 现 在 该 测 量 数 据 总 体服 从 某 种 分 布 ， 它 的 误 差 大 小 可 以 通 过 标 准 差 来估 计 ， 其 误 差 界 限 则 可 用 置 信 区 间 表 示 ， 例 如 ：当 正 态 分 布 来 描 述 随 机 误 差 时 ， 实 际 上 往 往 用 的 一 个 有 界 区 间 来 表 示 。 如 果 随 机 误差 过 大 ， 则 会 影 响 测 量 的 质 量 。 因 此 ， 在 测 量 中自 始 自 终 要 设 法 减 小 随 机 误 差 ， 努 力 提 高 测 量 的质 量 水 平 。 k 1.3 随 机 误 差 处 理 的 基 本 原 则 随 机 误 差 性 质 上 属 于 随 机 变 量 ， 其 处 理 方 法的 理 论 依 据 是 概 率 论 与 数 理 统 计 。 具 体 参 量 可 用随 机 变 量 的 数 学 期 望 （ 算 数 平 均 值 ） 、 方 差 （ 标准 偏 差 ） 和 置 信 概 率 等 三 个 特 征 来 描 述 。 第 二 节 随 机 误 差 的 分 布2.1 正 态 分 布 随 机 误 差 统 计 直 方 图 提 供 了 随 机 误 差 的 分 布 ，即 随 机 误 差 符 号 和 绝 对 值 的 分 布 情 况 。 因 为 绘 制图 形 时 的 测 量 次 数 是 有 限 的 （ 150次 ） ， 所 以 此时 提 供 的 只 是 大 致 的 情 况 。 为 了 准 确 的 反 映 随 机误 差 的 分 布 ， 必 须 经 过 充 分 多 次 的 测 量 ， 使 测 量次 数 趋 近 于 无 穷 ， 并 将 误 差 区 间 划 分 的 充 分 小 ，此 时 直 方 图 上 各 个 矩 形 边 缘 形 成 一 条 曲 线 。 这 条连 续 的 、 对 称 的 曲 线 称 为 随 机 误 差 的 正 态 分 布 概率 密 度 曲 线 。 正 态 分 布 的 密 度 函 数 221 exp 22 xf x 为 测 量 总 体 的 数 学 期 望 ， 如 不 计 系 统 误 差 ，则 即 为 随 机 误 差 。x 为 测 量 总 体 的 标 准 差 ， 是 评 价 随 机 误 差 的 基本 指 标 ， 它 的 数 值 决 定 于 标 准 器 、 仪 器 仪 表 、测 量 环 境 、 测 量 人 员 和 被 测 对 象 等 各 项 因 素 。对 同 一 被 测 对 象 ， 测 量 系 统 确 定 后 ， 标 准 偏 差 的 数 值 也 就 随 之 确 定 。 不 同 测 量 系 统 则 取 值也 不 同 。 服 从 正 态 分 布 的 随 机 误 差 的 特 征（ 1） 单 峰 性 ： 小 误 差 出 现 的 概 率 比 大 误 差 出 现 的 概 率 大 。（ 2） 对 称 性 ： 正 误 差 出 现 的 概 率 与 负 误 差 出 现的 概 率 相 等 。（ 3） 有 界 性 ： 在 一 定 条 件 下 绝 对 值 不 会 超 过 一定 界 限 。（ 4） 抵 偿 性 ： 随 测 量 次 数 增 加 ， 随 机 误 差 算 术平 均 值 趋 于 零 。 测 量 实 践 证 明 ， 绝 大 多 数 的 随 机 误 差 均 服 从正 态 分 布 ， 但 是 也 有 一 些 随 机 误 差 按 其 他 规 律 分布 ， 如 有 的 按 均 匀 分 布 ， 有 的 按 反 正 弦 分 布 等 。但 是 概 率 论 研 究 成 果 告 诉 我 们 ， 即 使 服 从 不 同 分布 的 误 差 ， 只 要 它 们 足 够 多 数 量 、 相 互 独 立 且 都均 匀 的 ， 那 么 它 们 合 成 分 布 仍 然 近 似 正 态 分 布 ，并 以 正 态 分 布 为 极 限 ， 因 此 ， 正 态 分 布 是 随 机 误差 的 主 要 概 率 分 布 。 2.2 非 正 态 分 布 均 匀 分 布 、 三 角 分 布 、 反 正 弦 分 布 、 t分 布 、分 布 、 F分 布 。 2 第 三 节 随 机 误 差 的 数 据 处 理 在 等 权 测 量 条 件 下 ， 对 某 被 测 量 进 行 多 次重 复 测 量 ， 得 到 一 系 列 测 量 值 ,常取 算 术 平 均 值 nxxx ., 21 11 n iix xn 作 为 被 测 量 真 值 的 最 佳 估 计 。3.1 算 术 平 均 值 若 测 量 次 数 无 限 增 多 ， 且 无 系 统 误 差 下 ，由 概 率 论 的 大 数 定 律 知 ， 算 术 平 均 值 以 概 率为 1趋 近 于 真 值 01 1n ni ii i x nx 因 为 根 据 随 机 误 差 的 抵 偿 性 ， 当 n充 分 大 时 ， 有 011 n iix x xn 简 单 地 说 ， 大 数 定 理 就是 “ 当 试 验 次 数 足 够 多时 ， 事 件 发 生 的 频 率 无穷 接 近 于 该 事 件 发 生 的概 率 ” 若 测 量 次 数 有 限 ， 由 参 数 估 计 知 ， 算 术 平均 值 是 该 测 量 总 体 期 望 的 一 个 最 佳 的 估 计 量 ，即 满 足 无 偏 性 、 有 效 性 、 一 致 性 。 满 足 最 小 二 乘 原 理 ： 该 所 有 测 量 值 对 其算 术 平 均 值 之 差 的 平 方 和 达 到 最 小 。 在 正 态 分 布 条 件 下 ， 满 足 最 大 似 然 原 理 即该 测 量 事 件 发 生 的 概 率 最 大 。 3.2 算 术 平 均 值 的 标 准 差 22 1( )1 1x iiD x D xnn n 单 次 测 量标 准 差算 术 平 均 值的 标 准 差 根 据 概 率 论 中 关 于 方 差 的 性 质 ， 可 得 到 该算 数 平 均 值 的 标 准 差 与 单 次 测 量 标 准 差 有 如 下关 系 ： 上 式 表 明 ， 当 测 量 次 数 n愈 大 ， 算 术 平 均 值的 标 准 差 愈 小 ， 即 愈 接 近 真 值 。 可 见 ， 增 加 测量 次 数 取 其 算 术 平 均 值 表 示 测 量 结 果 ， 是 减 小随 机 误 差 的 一 种 途 径 。 10次 算 术 平 均 值 与 单 次 测 量 的 分 布 关 系 1 22 110 如 右 图 所 示 ，10次 测 量 的 算 术 平均 值 与 单 次 测 量 的总 体 分 布 关 系 ， 可以 更 全 面 而 形 象 的说 明 这 样 一 个 事 实 ，即 两 个 的 分 布 类 型和 峰 值 位 置 未 发 生变 化 ， 只 是 分 散 性不 同 。 当 一 定 时 ，n 10 以 后 ， 已 减小 得 较 缓 慢 。 x 测 量 次 数 愈 大 时 ，也 愈 难 保 证 测 量 条 件的 不 变 ， 从 而 带 来 新的 误 差 。 另 外 ， 增 加测 量 次 数 ， 必 然 会 增加 测 量 的 工 作 量 及 其成 0 5 1 0 1 5 2 0 n0 .20 .40 .60 .81 .0 x 本 。 因 此 一 般 情 况 下 ， 取 10n15 以 内 较为 适 宜 。 总 之 ， 要 提 高 测 量 准 确 度 ， 应 选 用 适 当准 确 度 的 测 量 仪 器 ， 选 取 适 当 的 测 量 次 数 。 3.3实 验 标 准 差定 义 ： 对 于 一 组 测 量 数 据 ， 我 们 往 往 用 其 标 准差 来 表 述 这 组 数 据 的 分 散 性 。 如 果 这 组 数 据 是来 自 于 某 测 量 总 体 的 一 个 样 本 ， 则 该 组 数 据 的标 准 差 是 对 该 测 量 总 体 标 准 差 的 一 个 估 计 ， 称其 为 样 本 标 准 差 ， 又 称 为 实 验 标 准 差 。 标 准 偏差 的 基 本 方 法 ： 贝 塞 尔 公 式 、 极 差 法 、 最 大 误差 法 。 （ 1） 贝 塞 尔 公 式 211 1 n iis x xn 2s计 算 公 式 是 方 差 的 无 偏 估 计 ， 但 s并 不 是标 准 差 的 无 偏 估 计 ， 因 此 还 可 以得 到 一 个 经 过 无 偏 修 正 的 贝 塞 尔 公式 ， 在 后 面 可 以 看 到 。 2 为 残 余 误 差 ， 简 称 残 差 。i iv x x 总 体 标 准 差 的 估 计 (实 验 样 本 标 准 差 ) 修 正 贝 塞 尔 公 式贝 塞 尔 公 式 的 修 正 因 子n1 nM 3 4 5 6 7 8 9 10 15 201.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.021.01 值 随 减 少 明 显 偏 离 系 数 1 在 样 本 数 较 小 的 情 形 （ 如 ） ， 为 了 提 高 对 s估 计 的 相 对 误 差 ， 最 好 用 无 偏 修 正 的 贝 塞 尔 公 式 。1 nM n 6n 211 11 n iin nss x xM M n 在 n次 测 量 服 从 正 态 分 布 且 独 立 的 条 件 下 ， 可 以 导 出如 下 两 个 关 系 式 ： ( ) 1 2( 1)ss n 2( ) 1 n ns Ms 2( ) 1 ns Ms 估 计 标 准 差 的 相 对 误 差 ， 用 百 分 数 表 示 ，该 百 分 数 愈 小 ， 表 示 估 计 的 信 赖 程 度 愈 高 。适 用 的 估 计 贝 塞 尔 公 式 的 相 对 误 差 的 公 式 估 计 标 准 差 的 相 对 误 差 几 种 估 计 标 准 差 的 相 对 误 差n贝 塞 尔公 式 0.80修 正 贝 塞尔 公 式 0.60极 差 法 0.76最 大 误差 法 0.75 0.51 1 2 30.570.460.520.45 0.470.390.430.40 0.400.340.370.36 0.360.310.340.33 0.320.280.310.31 0.300.260.290.29 90.280.250.270.28 100.260.230.260.27 200.170.160.200.23当 样 本 数 较 小 的 情 形 用 贝 塞 尔 公 式 估 计 的 信 赖 程 度已 经 开 始 低 于 极 差 法 和 最 大 误 差 法 ， 应 当 改 用 修 正的 贝 塞 尔 公 式 来 估 计 标 准 差 。 （ 2） 极 差 法 nns d ( ) ns Cs 对 多 次 独 立 测 得 的 数 据 ， 最 大值 ， 最 小 值 ， 计 算 它 们 的 差 值 称 为 极 差 即 ：1 2, , , nx x x当 测 量 误 差 服 从 正 态 分 布 时 ， 标 准 差 的 计 算公 式 估 算 时 的 相 对 误 差 maxxminx 极 差s也 是 测 量 总 体 标 准 差 的 无 偏 估 计 ， 由 它 估 算minmax xxn minmax xxn 极 差 法 系 数n n nnd nd ndnC nC nC 1.13 0.76 9 2.97 0.27 16 3.53 0.213 1.69 0.52 10 3.08 0.26 17 3.59 0.214 2.06 0.43 11 3.17 0.25 18 3.64 0.205 2.33 0.37 12 3.26 0.24 19 3.69 0.206 2.53 0.34 13 3.31 0.23 20 3.74 0.207 2.70 0.31 14 3.41 0.228 2.85 0.29 15 3.47 0.22 公 式 中 和 的 值 可 见 如 上 表 ， 与 贝 塞尔 公 式 的 估 计 标 准 差 进 行 比 较 ， 可 见 在 n10时 ，其 相 对 误 差 比 未 修 正 的 贝 塞 尔 公 式 略 小 ， 而 且计 算 方 便 ， 但 仅 适 用 于 正 态 分 布 总 体 ， 故 在 一些 测 量 领 域 中 也 采 用 它 。nd nC （ 3） 最 大 误 差 法 max1 ins k ( ) nnrss k 估 算 时 的 相 对 误 差 在 已 知 被 测 量 的 真 值 的 情 形 ， 多 次 独 立 测 得 的 数 据 ， 计 算 它 们 的 真 误 差 ， 从 中找 出 绝 对 值 最 大 的 ， 测 量 误 差 服 从 正 态 分布 时 ， 估 计 标 准 差 的 计 算 公 式 1 2, , , nx x x 1 2, , , n maxi max1 ins k 在 一 般 情 况 下 ， 被 测 量 的 真 值 难 以 知 道 ， 无法 应 用 最 大 误 差 法 估 计 标 准 差 ， 可 以 用 最 大 残 余误 差 估 计 标 准 差 maxi n 0.880.511.77 1 2 30.750.451.02 0.680.400.83 0.640.360.74 0.610.330.68 0.580.310.64 0.560.290.61 100.530.270.57 200.460.230.251 nkn nr k1 nk 1.250.75 最 大 误 差 法 系 数 对 某 量 测 得 数 据 有7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9， 试 分 别 用 贝 塞 尔 公 式 、 修 正 贝 塞 尔 公 式 、 极 差 法 、最 大 误 差 法 估 计 其 测 量 标 准 差 及 其 标 准 差 的 相 对 标准 差 。(1) 用 贝 塞 尔 公 式 估 算1 7.72 ix xn 22 1 0.1361 is x xn 0.136 0.37s ( ) 1 0 .2 32 ( 1)ss n 查 表 ， 并 插 值 计 算 ( ) 10.26 (0.26 0.17) 0.2510ss (2) 用 修 正 贝 塞 尔 公 式 估 算1.03 0.37 0.38nss M 查 表 ， 并 插 值 计 算 ( ) 10.23 (0.23 0.16) 0.2310ss (3) 用 极 差 法 估 算 max min 117.9, 7.5, 11, 7.9 7.5 0.4x x n 11 3.17d 11 0.25c 1111 0.4 0.133.17s d 11( ) 0.25s cs 查 表 ， 得故 （ 4） 用 最 大 误 差 法 估 算 3max 0.22i ( ) 10.27 (0.27 0.23) 0.26610ss 真 值 未 知 ， 计 算 最 大 残 差 查 表 ， 插 值 计 算 得 11 11 0.57 (0.57 0.51) 0.565k 故 max 111 0.56 0.22 0.13is k 0 x 比 较 上 述 四 种 方 法 对 s的 估 计 ， 贝 塞 尔公 式 和 修 正 贝 塞 尔 公 式 十 分 接 近 ， 而 极 差 法和 最 大 误 差 法 明 显 估 计 偏 小 。 从 估 计 相 对 误差 上 看 ， 贝 塞 尔 公 式 和 修 正 贝 塞 尔 公 式 较 好 ，因 为 样 本 数 大 于 10， 用 贝 塞 尔 公 式 估 算 并 没有 显 著 改 善 。 从 估 算 简 易 程 度 上 看 ， 极 差 法 和 最 大 误差 法 公 式 简 单 ， 但 需 要 查 表 计 算 。 另 外 ， 极差 法 和 最 大 误 差 发 的 公 式 中 所 用 的 系 数 都 是在 假 设 为 正 态 分 布 的 条 件 下 计 算 出 来 的 。 如果 偏 离 正 态 分 布 比 较 大 的 情 形 ， 也 照 搬 这 些公 式 及 其 系 数 ， 则 会 影 响 估 计 得 信 赖 程 度 。 第 四 节 极 限 误 差4.1 极 限 误 差 的 定 义 测 量 的 目 的 在 于 掌 握 被 测 对 象 的 客 观 实 际状 态 （ 真 值 ） ， 但 是 测 量 的 结 果 总 是 含 有 误 差 ，在 数 据 上 不 等 于 被 测 的 真 值 。 测 量 结 果 与 被 测的 差 异 是 由 两 部 分 组 成 的 ： 一 部 分 是 由 随 机 误差 的 存 在 而 引 起 的 ； 另 一 部 分 是 由 于 不 能 完 全消 除 的 系 统 误 差 的 存 在 而 引 起 的 。 对 于 随 机 误差 造 成 的 那 部 分 差 异 的 确 定 ， 通 常 用 估 计 随 机误 差 界 限 ， 即 确 定 随 机 极 限 误 差 的 办 法 来 解 决 。 极 限 误 差 时 指 极 端 误 差 ， 是 误 差 不 应 超 过 的界 限 ， 此 时 对 被 测 量 的 测 量 结 果 （ 单 次 测 量 或 测量 的 算 术 平 均 值 ） 的 误 差 ， 不 超 过 极 端 误 差 的 置信 概 率 ， 并 使 差 值 可 以 忽 略 。 此 极 端误 差 称 为 测 量 的 极 限 误 差 并 用 表 示 。ksp p1 极 限 误 差 的 值 可 依 据 测 量 标 准 差 ， 误差 分 布 及 要 求 的 置 信 概 率 确 定 ： )(xksk 或 称 为 置 信 因 子 ， 是 误 差 分 布 、 自 由 度 和置 信 概 率 的 函 数 ， 通 常 有 表 可 查 。 4.2 单 次 测 量 的 极 限 误 差 x , a bx x , a bx x 在 一 组 测 量 值 中 ， 大 小 为 的 测 量 值 落 入 指 定区 间 内 的 概 率 称 为 置 信 概 率 ， 而 该 指 定 区间 称 为 置 信 区 间 。 ( ) sT 显 然 置 信 区 间 取 得 宽 ， 置 信 概 率 就 大 ， 反 之 则小 。 一 般 ， 当 置 信 区 间 宽 为 时 ， 测 量 值 落 入 区间 内 的 概 率 为 68.3%， 也 就 是 说 ， 进 行 100次 测 量 ， 大 约 有 68次 的 值 是 落 在 的 范 围 的 。当 置 信 区 间 宽 为 时 ， 对 应 概 率 为 95.4%2当 置 信 区 间 宽 为 时 ， 对 应 概 率 为 99.7%3 3 把 置 信 区 间 作 为 单 次 测 量 随 机 误 差可 能 出 现 的 界 限 。 此 时 的 可 靠 性 即 置 信 概 率 为99.7% 。 对 于 这 个 置 信 区 间 ， 即 置 信 概 率 为0.997对 应 的 ， 一 般 称 为 测 量 的 极 限 误 差 。 3,3 4.3 算 术 平 均 值 的 极 限 误 差 已 知 单 次 测 量 的 标 准 偏 差 为 s， n次 测 量 结 果的 算 术 平 均 值 的 标 准 偏 差 为 。 因此 ， 算 术 平 均 值 的 不 确 定 度 表 示 为x nsxs /)( nskxks )( nsxsx 3)(3 x算 术 平 均 值 的 极 限 误 差 为 ：x