无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计

二 、 双 线 性 变 换 法 脉 冲 响 应 不 变 法 的 主 要 缺 点 是 频 谱 交 叠 产 生 的 混 淆 ， 这是 从 S平 面 到 Z平 面 的 标 准 变 换 z esT的 多 值 对 应 关 系 导 致 的 ,为 了 克 服 这 一 缺 点 ， 设 想 变 换 分 为 两 步 ： 第 一 步 ： 将 整 个 S平 面 压 缩 到 S1平 面 的 一 条 横 带 里 ； 第 二 步 ： 通 过 标 准 变 换 关 系 将 此 横 带 变 换 到 整 个 Z平 面上 去 。 由 此 建 立 S平 面 与 Z平 面 一 一 对 应 的 单 值 关 系 ， 消 除 多 值性 ， 也 就 消 除 了 混 淆 现 象 。 s平 面 s1平 面 z平 面双 线 性 变 换 法 的 映 射 关 系 为 了 将 S平 面 的 j轴 压 缩 到 S1平 面 j1轴 上 的 /T到 /T 一 段 上 ， 可 通 过 以 下 的 正 切 变 换 实 现 ： 这 里 C是 待 定 常 数 ， 下 面 会 讲 到 用 不 同 的 方 法 确 定 C， 可 使 模 拟滤 坡 器 的 频 率 特 性 与 数 字 源 波 器 的 频 率 特 性 在 不 同 频 率 点 有 对 应 关 系 。 经 过 这 样 的 频 率 变 换 ， 当 1由 时 , 由-/T经 过 变 化 到 /T ， 即 S平 面 的 整 个 j轴 被 压 缩 到 S1平 面的 。 0)2(tg 1Tc 将 这 一 关 系 解 析 扩 展 至 整 个 S平 面 ， 则 得 到S平 面 到 S1平 面 的 映 射 关 系 ： 再 将 S1 平 面 通 过 标 准 变 换 关 系 映 射 到 Z平 面 ， 即 令 通 常 取 C=2/T， )2/(2 tgT Ts TseecTscs 1111)2(th 1 zzTsTsez 1考 虑 z = ej, jjT jTeeTs jj)2(tg2 2cos )2/sin(2112 最 后 得 S平 面 与 Z平 面 的 单 值 映 射 关 系 ： 双 线 性 换 法 的 主 要 优 点 是 S平 面 与 Z平 面 一 一 单 值 对 应 ，S平 面 的 虚 轴 (整 个 j)对 应 于 Z平 面 单 位 圆 的 一 周 ， S平 面 的=0处 对 应 于 Z平 面 的 =0处 ， 对 应 即 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应终 止 于 折 迭 频 率 处 ， 所 以 双 线 性 变 换 不 存 在 混 迭 效 应 。 zzTs sT sTz )/( )/( 现 在 我 们 看 看 ， 这 一 变 换 是 否 符 合 我 们 一 开 始 提 出 的 由 模拟 滤 波 器 设 计 数 字 滤 波 器 时 ， 从 S平 面 到 Z平 面 映 射 变 换 的 二个 基 本 要 求 ： 当 时 ， 代 入 （ 1） 式 ， 得 ： 对 单 位 圆 ,即 S平 面 的 虚 轴 映 射 到 Z平 面 正 好 是 单 位 圆 。 代 入 （ 2） 式 当 时 ， jez jjtgTeeTs jj 22112 js 22 22 221 221|,221 221 TT TTzTjT TjTz 0 1|,0;1| zz 时0 即 s左 半 平 面 映 射 在 单 位 圆 内 ， s右 半 平 面 映 射 在 单 位 圆外 ， 因 此 稳 定 的 模 拟 滤 波 器 通 过 双 线 性 变 换 后 ， 所 得 到 的 数字 滤 波 器 也 是 稳 定 的 。 如 图 1。 图 双 线 性 变 换 的 频 率 非 线 性 关 系 小 结 1) 与 脉 冲 响 应 不 变 法 相 比 ， 双 线 性 变 换 的 主 要 优 点 ：S平 面 与 Z平 面 是 单 值 的 一 一 对 应 关 系 （ 靠 频 率 的 严 重 非线 性 关 系 得 到 的 ） ， 即 整 个 j轴 单 值 的 对 应 于 单 位 圆 一周 ， 关 系 式 为 ： 可 见 ， 和 为 非 线 性 关 系 ， 如 图 2。 22 tgT 图 2 双 线 性 变 换 的 频 率 非 线 性 关 系 由 图 中 看 到 ， 在 零 频 率 附 近 ， 接 近 于 线 性 关 系 ， 进一 步 增 加 时 ， 增 长 变 得 缓 慢 ， (终 止 于 折 叠频 率 处 )， 所 以 双 线 性 变 换 不 会 出 现 由 于 高 频 部 分 超 过 折 叠 频 率而 混 淆 到 低 频 部 分 去 的 现 象 。 ,时 2)双 线 性 变 换 缺 点 ： 与 成 非 线 性 关 系 ， 导 致 ： a. 数 字 滤 波 器 的 幅 频 响 应 相 对 于 模 拟 滤 波 器 的 幅 频 响 应 有畸 变 ， (使 数 字 滤 波 器 与 模 拟 滤 波 器 在 响 应 与 频 率 的 对 应 关 系上 发 生 畸 变 )。 例 如 ， 一 个 模 拟 微 分 器 ， 它 的 幅 度 与 频 率 是 直 线 关 系 ，但 通 过 双 线 性 变 换 后 ， 就 不 可 能 得 到 数 字 微 分 器 b. 线 性 相 位 模 拟 滤 波 器 经 双 线 性 变 换 后 ， 得 到 的 数 字 滤波 器 为 非 线 性 相 位 。 c.要 求 模 拟 滤 波 器 的 幅 频 响 应 必 须 是 分 段 恒 定 的 ， 故 双 线性 变 换 只 能 用 于 设 计 低 通 、 高 通 、 带 通 、 带 阻 等 选 频 滤 波 器。 bktgjHeH bkjH tgj 2)()( )( 2 虽 然 双 线 性 变 换 有 这 样 的 缺 点 ， 但 它 目 前 仍 是 使用 得 最 普 遍 、 最 有 成 效 的 一 种 设 计 工 具 。 这 是 因 为 大多 数 滤 波 器 都 具 有 分 段 常 数 的 频 响 特 性 ， 如 低 通 、 高通 、 带 通 和 带 阻 等 ， 它 们 在 通 带 内 要 求 逼 近 一 个 衰 减为 零 的 常 数 特 性 ， 在 阻 带 部 分 要 求 逼 近 一 个 衰 减 为 的 常 数 特 性 ， 这 种 特 性 的 滤 波 器 通 过 双 线 性 变 换 后 ，虽 然 频 率 发 生 了 非 线 性 变 化 ， 但 其 幅 频 特 性 仍 保 持 分段 常 数 的 特 性 。 预 畸 变 ： 即 将 模 拟 滤 波 器 的 临 界 频 率 事 先 加 以 畸 变 ， 然 后 通 过 双 线性 变 换 后 正 好 映 射 到 所 需 要 的 频 率 上 。 利 用 关 系 式 ： 将 所 要 设 计 的 数 字 滤 波 器 临 界 频 率 点 ， 变 换 成 对 应 的 模 拟域 频 率 ， 利 用 此 设 计 模 拟 滤 波 器 ， 再 通 过 双 线 性 变 换 ，即 可 得 到 所 需 的 数 字 滤 波 器 ， 其 临 界 频 率 正 是 。 如 图 所 示。 22 ii tgT ii i i 双 线 性 变 换 时 频 率 的 预 畸 )计 算 H(Z) 双 线 性 变 换 比 脉 冲 响 应 法 的 设 计 计 算 更 直 接 和 简 单 。 由 于 s与 z之 间 的 简 单 代 数 关 系 ， 所 以 从 模 拟 传 递 函 数 可 直 接 通 过 代 数置 换 得 到 数 字 滤 波 器 的 传 递 函 数 。 置 换 过 程 : 频 响 ： 11112 112)()( 11 zzTHsHzH azzTsa 22)()( 22 tgTjHjHeH atgTaj 这 些 都 比 脉 冲 响 应 不 变 法 的 部 分 分 式 分 解 便 捷 得多 ， 一 般 ， 当 着 眼 于 滤 波 器 的 时 域 瞬 态 响 应 时 ， 采 用脉 冲 响 应 不 变 法 较 好 ， 而 其 他 情 况 下 ， 对 于 IIR的 设 计 ，大 多 采 用 双 线 性 变 换 。 3.2 常 用 模 拟 低 通 滤 波 器 特 性 为 了 方 便 学 习 数 字 滤 波 器 ， 先 讨 论 几 种 常 用 的 模 拟 低 通 滤波 器 设 计 方 法 ， 高 通 、 带 通 、 带 阻 等 模 拟 滤 波 器 可 利 用 变 量 变换 方 法 ， 由 低 通 滤 波 器 变 换 得 到 。 模 拟 滤 波 器 的 设 计 就 是 根 据 一 组 设 计 规 范 设 计 模 拟 系 统 函 数Ha(s)， 使 其 逼 近 某 个 理 想 滤 波 器 特 性 。 因 果 系 统 中式 中 h a(t)为 系 统 的 冲 激 响 应 ， 是 实 函 数 。 不 难 看 出 0 )()( dtethjH tjaa 0 sincos)()( dttjtthjH aa )()( jHjH aa 定 义 振 幅 平 方 函 数 式 中 Ha(s)模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 Ha(j)滤 波 器 的 频 率 响 应 |Ha(j)|滤 波 器 的 幅 频 响 应又 S=j， 2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j )1()()()()()( )()()()( 2 22 jsaaaa aaa sHsHjHjHA jHjHjHA 问 题 ： 由 A(-S2)Ha(S) 对 于 给 定 的 A(-S2)， 先 在 S复 平 面 上 标 出 A(-S2)的极 点 和 零 点 ， 由 (1)式 知 ， A(-S2)的 极 点 和 零 点 总 是“ 成 对 出 现 ” ， 且 对 称 于 S平 面 的 实 轴 和 虚 轴 ， 选 用A(-S2)的 对 称 极 、 零 点 的 任 一 半 作 为 Ha(s)的 极 、 零 点 ，则 可 得 到 Ha(s)。 为 了 保 证 Ha(s)的 稳 定 性 ， 应 选 用 A(-S2)在 S左 半 平面 的 极 点 作 为 Ha(s)的 极 点 ， 零 点 可 选 用 任 一 半 。 三 种 模 拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 ：1） 巴 特 沃 兹 滤 波 器 (Butterworth 滤 波 器 ) (巴 特 沃 兹 逼 近 ) 特 点 ： 具 有 通 带 内 最 大 平 坦 的 振 幅 特 性 ， 且 随 f ， 幅 频 特 性 单 调 。 其 幅 度 平 方 函 数 ： N为 滤 波 器 阶 数 ， 如 图 1 Nca jjjHA 222 1 1)()( )( 2A 图 1 巴 特 沃 兹 滤 波 器 振 幅 平 方 函 数 通 带 : 使 信 号 通 过 的 频 带 阻 带 ： 抑 制 噪 声 通 过 的 频 带 过 渡 带 ： 通 带 到 阻 带 间 过 渡 的 频 率 范 围 c ： 截 止 频 率 。 过 渡 带 为 零 ， 阻 带 |H(j)|=0 通 带 内 幅 度 |H(j)|=1， H(j)的 相 位 是 线 性 的 。 理 想 滤 波 器 图 1中 ， N增 加 ， 通 带 和 阻 带 的 近 似 性 越 好 ， 过 渡 带 越 陡 。通 带 内 ， 分 母 /c1， ( /c)2N 1, 增 加 ， A(2)快 速 减 小 。 = c, ， ,幅 度 衰 减 ， 相 当于 3db衰 减 点 。 21)0( )( 2 AA c 2121)( 2 A 振 幅 平 方 函 数 的 极 点 ： 令 分 母 为 零 ， 得 可 见 ， Butter worth滤 波 器 的 振 幅 平 方 函 数 有 2N个 极 点 ， 它 们 均 匀 对 称 地 分 布 在 |S|=c的 圆 周 上 。 例 ： 为 N=3阶 BF振 幅 平 方 函 数 的 极 点 分 布 ， 如 图 。Ncaa jSSHSH 2)(1 1)()( )()1( 21 cNP jS 图 2 三 阶 A(-S2)的 极 点 分 布 考 虑 到 系 统 的 稳 定 性 ， 知 DF的 系 统 函 数 是 由 S平 面 左 半部 分 的 极 点 （ SP3， SP4， SP5） 组 成 的 ， 它 们 分 别 为 ： 系 统 函 数 为 ： 令 ， 得 归 一 化 的 三 阶 BF： 如 果 要 还 原 的 话 ， 则 有 3254323 , jcpcpjcp eSSeS )()()( 543 3 ppp ca SSSSSSsH 1 c 122 1)( 23 SSSsHa 1)/(2)/(2)/( 1)( 23 ccca ssssH 2） 切 比 雪 夫 （ chebyshev） 滤 波 器 (切 比 雪 夫 多 项 式 逼 近 ) 特 点 ： 误 差 值 在 规 定 的 频 段 上 等 幅 变 化 。 巴 特 沃 兹 滤 波 器 在 通 带 内 幅 度 特 性 是 单 调 下 降 的 ， 如 果 阶次 一 定 ， 则 在 靠 近 截 止 频 率 处 ， 幅 度 下 降 很 多 ， 或 者 说 ，为 了 使 通 常 内 的 衰 减 足 够 小 ， 需 要 的 阶 次 （ N） 很 高 ， 为 了 克服 这 一 缺 点 ， 采 用 切 比 雪 夫 多 项 式 逼 近 所 希 望 的 。 切 比 雪 夫 滤 波 器 的 在 通 带 范 围 内 是 等 幅 起 伏 的 ，所 以 同 样 的 通 带 衰 减 ， 其 阶 数 较 巴 特 沃 兹 滤 波 器 要 小 。 可 根 据需 要 对 通 带 内 允 许 的 衰 减 量 （ 波 动 范 围 ） 提 出 要 求 ， 如 要 求 波动 范 围 小 于 1db。 c 2)( jH2)( jH 振 幅 平 方 函 数 为 有 效 通 带 截 止 频 率 与 通 带 波 纹 有 关 的 参 量 ， 大 ， 波 纹 大 。 0 1 VN（ x） N阶 切 比 雪 夫 多 项 式 ， 定 义 为)(1 1)()( 2222 cNa VjHA c 1)coshcosh( 1)coscos()( 11 xxN xxNxVN )(,1 1)(,1 xVxx xVx NN时 如 图 1,通 带 内 变 化 范 围 1 c ， 随 /c ， 0 (迅 速 趋 于 零 )当 =0时 ， N为 偶 数 ， ， min ， N为 奇 数 ， ， max， )2(cos1 1)0arccos(cos1 1)( 2222 0 NNjHa 22 0 1 1)( jHa 1)( 02 jH a 1)2(cos2 N 0)2(cos2 N 21 11c 2a )( jH 2a )( jH 切 比 雪 夫 滤 波 器 的 振 幅 平 方 特 性 有 关 参 数 的 确 定 : a、 通 带 截 止 频 率 ， 预 先 给 定 b、 由 通 带 波 纹 表 为 给 定 通 带 波 纹 值 分 贝 数 后 ， 可 求 。 c 2minmax 111lg20)( )(lg20 jH jH aa)1lg(10 2 110 1.02 )(dB 22 1)(, AjH as 时 c、 阶 数 N由 阻 带 的 边 界 条 件 确 定 。 （ 、 A事 先 给 定 ） 222 11 1 AV csN s 22 1)(, AjH as 时 )/cosh( /1cosh( )coshcosh()(,1 2 csNar AarN xNarxVx 得 时 3、 椭 圆 滤 波 器 （ 考 尔 滤 波 器 ） 特 点 ： 幅 值 响 应 在 通 带 和 阻 带 内 都 是 等 波 纹 的 ， 对 于 给 定的 阶 数 和 给 定 的 波 纹 要 求 ， 椭 圆 滤 波 器 能 获 得 较 其 它 滤 波 器 更窄 的 过 渡 带 宽 ， 就 这 点 而 言 ， 椭 圆 滤 波 器 是 最 优 的 。 其 振 幅 平 方 函 数 为 R N（ ， L） 雅 可 比 椭 圆 函 数L表 示 波 纹 性 质 的 参 量 ),(1 1)()( 2222 LRjHA Na N=5， 的 特 性 曲 线 可 见 ， 在 归 一 化 通 带 内 （ -11） ， 在 （ 0，1） 间 振 荡 ， 而 超 过 L后 ， 在 间 振 荡 。 。 这 一 特 点 使 滤 波 器 同 时 在 通 常 和 阻 带 具 有 任 意衰 减 量 。 ),(25 LR LL , 2L ),(25 LR ),(25 LR 下 图 为 典 型 的 椭 园 滤 波 器 振 幅 平 方 函 数 椭 圆 滤 波 器 的 振 幅 平 方 函 数 图 中 和 A的 定 义 同 切 比 雪 夫 滤 波 器r r 当 c、 s、 和 A确 定 后 ， 阶 次 N的 确 定 方 法 为 ：式 中 为 第 一 类 完 全 椭 圆 积 分 查 阅 有 关 模 拟 滤 波 器 手 册 ， 确 定 。 )1()( )1()( 1/ 21 2121 kKkK kKkKN Akk sc 确 定 参 量确 定 参 数 2/1222/1210 )1()1()( tkt dtkK )( 2A 上 面 讨 论 了 三 种 最 常 用 的 模 拟 低 通 滤 波 器 的 特 性 和设 计 方 法 ， 设 计 时 按 照 指 标 要 求 ， 合 理 选 用 。 一 般 ， 相 同 指 标 下 ， 椭 圆 滤 波 器 阶 次 最 低 ， 切 比 雪夫 次 之 ， 巴 特 沃 兹 最 高 。 以 上 讨 论 了 由 A（ 2 ） Ha (s),下 面 讨 论 由Ha(s) H(Z)的 变 换 设 计 法 。