《运筹学建模》PPT课件

运 筹 学 建 模1.线 性 规 划2.对 偶 规 划 和 影 子 价 格3.运 输 问 题4.整 数 规 划5.动 态 规 划 运 筹 学 简 介 1.引 言 ： 运 筹 学 （ Operations Research） 主 要 研究 系 统 最 优 化 。 在 我 国 公 元 前 6世 纪 孙 子 兵 法 中 处 处 体 现 了 军 事 运 筹 的思 想 ， 贾 思 勰 的 齐 民 要 术 一 书 是 一部 体 现 运 筹 思 想 、 合 理 规 划 农 事 的 宝 贵文 献 。 欧 美 ， 在 20世 纪 前 叶 ， 1914年 提 出 了 军事 运 筹 学 中 的 兰 彻 斯 特 （ Lanchester）战 斗 方 程 ； 1917年 排 队 论 的 先 驱 者 丹 麦工 程 师 爱 尔 朗 （ Erlang） 在 哥 本 哈 根 电话 公 司 研 究 电 话 通 信 系 统 时 ， 提 出 了 排队 论 的 一 些 著 名 公 式 ； 20世 纪 20年 代 初提 出 了 存 贮 论 的 最 优 批 量 公 式 ； 20世 纪30年 代 ， 在 商 业 方 面 列 温 逊 已 经 运 用 运筹 思 想 来 分 析 商 业 广 告 和 顾 客 心 里 等 ；20世 纪 30年 代 末 ， 美 英 对 付 德 国 ，20世 纪 50年 代 中 期 ， 我 国 著 名 的 科 学 家钱 学 森 、 许 国 志 等 将 运 筹 学 从 西 方 引 入中 国 。 运 筹 学 在 管 理 方 面 的 应 用 生 产 运 作 ， 物 资 库 存 管 理 ， 物 资 运 输 ，组 织 人 事 管 理 ， 市 场 营 销 ， 财 务 管 理 和会 计 ， 计 算 机 应 用 和 信 息 系 统 开 发 ， 城市 管 理 等 。 运 筹 学 的 来 源 和 组 成 运 筹 学 的 三 个 来 源 ： 军 事 、 管 理 和 经 济 。 运 筹 学 的 三 个 组 成 部 分 ： 运 用 分 析 理 论 、竞 争 理 论 和 随 机 服 务 理 论 （ 排 队 论 ） 运 筹 学 分 支 线 性 规 划 是 由 美 国 运 筹 学 工 作 者G .B.Dantzig在 1947年 发 表 的 结 果 ， 提 出单 纯 形 法 。 列 昂 杰 夫 在 1932年 提 出 了 投入 产 出 模 型 ； 冯 诺 伊 曼 （ Von Neumman）和 O.Moogenstern合 著 （ 1944年 ） 的 对策 论 与 经 济 行 为 是 对 策 论 的 奠 基 作 ，同 时 该 书 已 隐 约 地 提 出 了 对 策 论 与 线 性规 划 对 偶 理 论 地 紧 密 联 系 。 运 筹 学 分 支 运 筹 学 一 般 包 含 ： 线 性 规 划 ， 非 线 性 规划 ， 整 数 规 划 ， 目 标 规 划 ， 动 态 规 划 ，随 机 规 划 ， 模 糊 规 划 ； 图 论 与 网 络 ， 排 队 论 ， 存 贮 论 ， 对 策 论 ，搜 索 论 ， 维 修 更 新 理 论 ， 排 序 与 运 筹 方法 等 。 运 筹 学 定 义 （ 1） 为 决 策 机 构 在 对 其 控 制 下 的 业 务 活 动 进行 决 策 时 ， 提 供 以 数 量 化 为 基 础 的 科 学 方 法（ P.M.Morse 和 G .E.Kimball给 出 的 ） 。 （ 2） 运 筹 学 是 一 门 应 用 科 学 ， 它 广 泛 应 用 现有 的 科 学 技 术 知 识 和 数 学 方 法 ， 解 决 实 际 中提 出 的 专 门 问 题 ， 为 决 策 者 选 择 最 优 决 策 提供 定 量 依 据 。 （ 3） 运 筹 学 是 给 出 问 题 坏 的 答 案 的 艺 术 ， 否则 的 话 问 题 的 结 果 会 更 坏 。 运 筹 学 的 原 则为 了 有 效 地 应 用 运 筹 学 ， 必 须 遵 循 下 列 六条 原 则 ：（ 1） 合 伙 原 则（ 2） 催 化 原 则（ 3） 互 相 渗 透 原 则（ 4） 独 立 原 则（ 5） 宽 容 原 则（ 6） 平 衡 原 则 线 性 规 划 例 引 例 ： 某 工 厂 拥 有 A、 B、 C三 种 类 型 的 设 备 ，生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 ， 每 种 产 品 在 生 产 中 需要 占 用 的 设 备 机 时 数 ， 每 件 产 品 可 以 获 得 的利 润 以 及 三 种 设 备 可 利 用 的 机 时 数 如 下 表 产 品 甲 产 品 乙 设 备 能 力 （ h）设 备 A 3 2 65设 备 B 2 1 40设 备 C 0 3 75利 润 （ 元 /件 ） 1500 2500 线 性 规 划 例 问 ： 工 厂 应 如 何 安 排 生 产 可 获 得 最 大 的总 利 润 ？ 解 ： 设 xj为 第 j种 （ 甲 、 乙 ） 产 品 的 生 产件 数 j 1， 2 ， 则 由 题 意 知 ， 问 题 可 转化 为 线 性 规 划 例 注 ： Max为 Maximize求 f的 最 大 值 ， s.t.为 Subject to约 束 ， 限 制 ， 满 足 于 1 21 21 2 21 21500 25003 2 652 40. . 3 75, 0Max f x xx xx xs t xx x 线 性 规 划 例 求 解 方 法 一 ： 图 解 法 线 性 规 划 例 求 解 方 法 二 ： 单 纯 形 法 1 2 1 2 31 2 42 51500 25003 2 652 40. . 3 750, 1,2,3,4,5jMax f x xx x xx x xs t x xx j 线 性 规 划 例 第 一 次 迭 代 ：（ 1） 取 x3， x4， x5为 基 变 量 ， x1， x2为 非基 变 量 ， 基 本 可 行 解 为 （ 0， 0， 65， 40，75） ， f 0 1 23 1 24 1 25 21500 250065 3 240 275 3f x xx x xx x xx x 线 性 规 划 例 （ 2） 选 择 进 基 变 量 ： 目 标 函 数 中 非 基变 量 的 系 数 全 为 负 时 ， 则 刚 才 的 基 本 可行 解 即 为 最 优 解 。 若 有 正 的 ， 选 择 系 数大 的 非 基 变 量 为 进 基 变 量 ， 本 例 为 x2 （ 3） 出 基 变 量 为 当 进 基 变 量 增 大 时 ，首 先 下 降 为 零 的 基 变 量 ， 本 例 为 x5 线 性 规 划 例 第 二 次 迭 代（ 1） 取 x2， x3， x4为 基 变 量 ， x1， x5为 非基 变 量 ， 可 行 解 为 （ 0， 25， 15， 15，0） ， f 62500 1 52 53 1 54 1 562500 1500 2500 /325 /315 3 2 /315 2 /3f x xx xx x xx x x 线 性 规 划 例 （ 2） 选 择 进 基 变 量 ： 方 法 同 第 一 次 迭代 ， 本 例 为 x1 （ 3） 出 基 变 量 ： 方 法 同 第 一 次 迭 代 ，本 例 为 x3 线 性 规 划 例 第 三 次 迭 代 ：（ 1） 取 x1， x2， x4为 基 变 量 ， x3， x5为 非基 变 量 ， 可 行 解 为 （ 5， 25， 0， 5， 0） ，f 70000 3 51 3 52 54 1 570000 500 5005 /3 2 /925 /35 2 /3 /9f x xx x xx xx x x 线 性 规 划 例 2） 选 择 进 基 变 量 ： 已 无 ， 因 此 该 可 行解 即 为 最 优 解 ， 结 束 。 线 性 规 划 一 般 模 型 目 标 函 数 ： 约 束 条 件 ： 1 1 2 2 n nMax f c x c x c x 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 2 1 1 2 21 2. . , , , 0 n nn nm m mn n mna x a x a x ba x a x a x bs t a x a x a x bx x x 称 xj为 决 策 变 量 ， cj为 价 值 系 数 和 费 用 系 数 ，aij为 约 束 系 数 或 技 术 系 数 ， bi为 资 源 系 数 。 线 性 规 划 一 般 模 型 其 它 形 式 11 1, ,. . 0 1, ,n j jjn ij j ij jMax f c xa x b i ms t x j n . . 0TMax f C XAX bst X 线 性 规 划 中 的 一 些 名 词 和 术 语 线 性 规 划 模 型 三 要 素 ： 决 策 变 量 约 束 条 件 目 标 函 数 线 性 规 划 中 的 一 些 名 词 和 术 语 可 行 解 满 速 线 性 规 划 全 部 约 束 条 件的 解 可 行 域 全 体 可 行 解 的 集 合 最 优 解 使 得 目 标 函 数 实 现 最 小 值（ 或 最 大 值 ） 的 可 行 解 最 优 值 最 优 解 的 目 标 函 数 值 线 性 规 划 模 型 标 准 型 LP 11min 1, ,. . 0 1, ,n j jjn ij j ij jf c xa x b i mst x j n min. . 0Tf C XAX bst X min | , 0TC X AX b X 求 线 性 规 划 方 法 单 纯 形 法 G .B.Danting在 1947年 提 出 了 求 解 线 性规 划 问 题 的 方 法 单 纯 形 法 (simplex method)， 其 原 理 是 ： 如 果 （ LP） 的 可行 域 K不 是 空 集 ， 我 们 从 K的 某 一 顶 点X0出 发 ， 判 别 它 是 否 为 最 优 解 ？ 若 不 是 ，沿 着 边 界 找 它 邻 近 的 另 一 个 顶 点 ， 它 应比 原 来 的 顶 点 优 ， 看 它 是 否 为 最 优 解 ？若 不 是 ， 再 沿 着 边 界 找 它 邻 近 的 顶 点 。通 过 逐 次 迭 代 ， 直 至 找 出 最 优 解 。 求 线 性 规 划 方 法 软 件 LINDO软 件 包 首 先 由 Linus Schrage开发 ， 现 在 ， 美 国 的 LINDO系 统 公 司（ LINDO System Inc.） 拥 有 版 权 ， 是一 种 专 门 求 解 数 学 规 划 （ 优 化 问 题 ） 的软 件 包 。 它 能 求 解 线 性 规 划 、 （ 0， 1）规 划 、 整 数 规 划 、 二 次 规 划 等 优 化 问 题 ，并 能 同 时 给 出 灵 敏 度 分 析 、 影 子 价 格 以及 最 优 解 的 松 弛 分 析 ， 非 常 方 便 实 用 。 与 线 性 规 划 有 关 的 名 字 改 进 单 纯 形 法 人 工 变 量 法 （ 大 M法 和 两 节 段 法 ） 对 偶 问 题 ， 对 偶 理 论 ， 对 偶 单 纯 形 法 影 子 价 格 灵 敏 度 分 析 线 性 规 划 有 关 的 问 题 1.生 产 计 划 问 题 ： m种 资 源 B1, B2, , Bm， 生 产 n种 产 品 A1, A2, An， 单 位产 品 所 需 资 源 数 aij， 所 得 利 润 cj， 可 供应 的 资 源 总 量 bi， 问 应 如 何 组 织 生 产 才能 使 利 润 最 大 ？ 2.合 理 下 料 问 题 ： 一 维 下 料 ， 二 维 下 料 ，三 维 下 料 线 性 规 划 有 关 的 问 题 3.合 理 配 料 问 题 ： m种 原 料 B1, B2, , Bm混 合 调 制 n种 产 品 A1, A2, An， 产品 的 规 格 要 求 、 单 位 价 格 ， 原 料 供 应 量 ，原 料 的 价 格 要 求 如 下 ， 问 应 如 何 组 织 生产 才 能 使 利 润 最 大 ？ 线 性 规 划 有 关 的 问 题 4.运 输 问 题 ： m个 物 资 产 地 B1, B2, , Bm， n个 物 资 销 地 A1, A2, An， si为产 地 Bi产 量 ， dj为 销 地 Aj的 销 量 ， cij表示 把 物 资 从 产 地 Bi运 到 销 地 Aj的 单 位运 价 ， xij表 示 把 物 资 从 产 地 Bi运 到 销地 Aj的 运 输 量 ， 问 应 如 何 运 输 才 能 使运 费 最 小 ？ 对 偶 问 题 引 例 ： 某 工 厂 计 划 在 下 一 生 产 周 期 生 产 3种产 品 A1, A2, A3， 这 些 产 品 都 要 在 甲 、 乙 、丙 、 丁 4种 设 备 上 加 工 ， 根 据 设 备 性 能 和 以往 的 生 产 情 况 知 道 单 位 产 品 的 加 工 工 时 、各 种 设 备 的 最 大 加 工 工 时 限 制 ， 以 及 每 种产 品 的 单 位 利 润 ， 如 下 表 。 问 如 何 安 排 生产 计 划 ， 才 能 使 工 厂 得 到 最 大 利 润 ？ 对 偶 问 题产 品设 备 A1 A2 A3 总 工 时 限制 /h甲 2 1 3 70乙 4 2 2 80丙 3 0 1 15丁 2 2 0 50单 位 利 润/千 元 8 10 2 对 偶 问 题 解 ： 设 xj为 产 品 Aj的 生 产 件 数 j 1,2,3， 则 由题 意 知 ， 问 题 可 转 化 为 如 下 的 线 性 规 划 问 题1 2 3 1 2 31 2 31 31 21 2 38 10 22 3 704 2 2 803 15. . 2 2 50, , 0Max f x x xx x xx x xx xs t x xx x x 对 偶 问 题 现 在 从 另 一 个 角 度 来 讨 论 问 题 ： 假 设 工 厂 考虑 不 安 排 生 产 ， 而 准 备 将 所 有 设 备 出 租 ， 收取 租 费 。 于 是 需 要 为 每 种 设 备 的 台 时 进 行 估价 。 设 y1, y2, y3, y4分 别 表 示 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4种 设 备 的 台 时 估 价 ， 下 面 分 析 约 束 条 件 和 目标 函 数 对 偶 问 题 由 上 面 的 表 可 知 ， 生 产 一 件 产 品 A1需 要 各 设备 台 时 分 别 为 2h， 4h， 3h， 2h， 如 果 将 2h，4h， 3h， 2h不 用 于 生 产 产 品 A1， 而 是 用 于 出租 ， 租 费 应 满 足 （ 为 了 不 蚀 本 ， 租 费 不 能 少于 利 润 ， 否 则 还 不 如 自 己 生 产 产 品 合 算 呢 ！ ） 2 y1+4y2+3 y3+2 y48， 依 次 可 分 析 得 线 性 规 划模 型 如 下 对 偶 问 题 说 明 ： 企 业 为 了 能 够 得 到 租 用 设 备 的 用 户 ，使 出 租 设 备 的 计 划 成 交 ， 在 价 格 满 足 约 束 条件 下 ， 应 将 设 备 价 格 定 得 尽 可 能 低 。1 2 3 41 2 3 41 2 31 2 3 1 2 370 80 15 502 4 3 2 82 2 10. . 3 2 2, , 0Min f y y y yy y y yy y ys t y y yy y y 对 偶 规 划原 有 问 题 （ P） 对 偶 问 题 （ D）1 1min 1, ,. . 0 1, ,n j jjn ij j ij jf c xa x b i ms t x j n 11max 1, ,. . 0 1, ,m i iim ij i ji iz bya y c j ns t y i m 设 为 对 偶 问 题 （ D） 的 最 优 解 ，则 称 为 原 有 问 题 （ P） 第 i个 约 束 对 应 的 影 子 价 格（ Shadow Price）* * * *1 2 ( , , , )Tmy y y y *iy 对 偶 规 划 影 子 价 格 影 子 价 格 的 经 济 含 义 ： （ 1） 影 子 价 格 是 对 现有 资 源 实 现 最 大 效 益 的 一 种 估 价 。 根 据 上 例 ，企 业 可 以 根 据 现 有 资 源 的 影 子 价 格 ， 对 资 源的 使 用 有 两 种 考 虑 ： 第 一 ， 是 否 将 设 备 用 于出 租 ， 若 租 费 高 于 某 设 备 的 影 子 价 格 ， 可 考虑 出 租 该 设 备 ， 否 则 不 宜 出 租 ； 第 二 ， 是 否将 投 资 用 于 购 买 设 备 ， 以 扩 大 生 产 能 力 ， 若市 价 低 于 某 设 备 的 影 子 价 格 ， 可 考 虑 买 进 该设 备 ， 否 则 不 宜 买 进 。 对 偶 规 划 影 子 价 格 （ 2） 影 子 价 格 表 明 资 源 增 加 对 总 效 益 产 生 的影 响 。 易 见 有 从 而 ， 如 果 增 加 一 个 单 位 ， 目 标 函 数 值 的 增量 将 是 ， 据 此 ， 由 影 子 价 格 的 大 小 可 以 知道 哪 种 资 源 的 增 加 可 以 给 企 业 带 来 较 大 的 收益 。 * * * * *1 1 2 2 m mf z b y b y b y ib*iy 对 偶 规 划 影 子 价 格 应 用 例 某 外 贸 公 司 准 备 购 进 两 种 产 品 A1, A2。 购 进产 品 A1每 件 需 要 10元 ， 占 用 5m3的 空 间 ， 待每 件 A1卖 出 后 ， 可 获 纯 利 润 3元 ； 购 进 产 品A2每 件 需 要 15元 ， 占 用 3m3的 空 间 ， 待 每 件A2卖 出 后 ， 可 获 纯 利 润 4元 。 公 司 现 有 资 金1400元 ， 有 430 m3的 仓 库 空 间 存 放 产 品 ， 如何 安 排 可 以 获 得 最 大 利 润 ？ 对 偶 规 划 影 子 价 格 应 用 例 现 在 公 司 有 另 外 一 笔 资 金 585元 ， 准 备 用 于 投资 ， 到 底 是 购 买 产 品 呢 ？ 还 是 增 加 仓 库 容 量 ？（ 假 设 增 加 1m3的 仓 库 空 间 需 要 0.8元 ） 灵 敏 度 分 析 最 优 解 是 在 参 数 cj、 bi、 aij都 固 定 不 变 的 条 件下 取 得 的 。 但 是 ， 在 实 际 问 题 中 ， 对 一 个 具体 的 企 业 来 说 ， 参 数 cj、 bi、 aij不 是 固 定 不 变的 ， 或 者 说 得 到 的 这 些 参 数 有 一 定 的 误 差 。 如 产 品 的 市 场 价 格 可 能 有 所 变 动 ； 国 家 分 配的 原 材 料 可 能 有 所 增 减 ； 动 力 供 应 情 况 可 能随 季 审 而 变 化 f添 置 新 设 备 而 使 生 产 台 时 增 加 ；由 于 产 品 设 计 结 构 有 所 改 进 ， 使 单 位 产 品 的原 材 料 消 耗 定 额 有 所 增 减 ， 灵 敏 度 分 析 现 实 诸 因 素 的 种 种 变 化 都 会 引 起 已 建 立 的 数学 模 型 的 参 数 变 化 。 或 者 ， 当 运 用 线 性 规 划编 制 完 生 产 计 划 并 即 将 付 诸 应 用 时 ， 又 发 生了 新 的 情 况 ， 某 些 原 来 未 加 限 制 的 资 源 现 在有 了 限 制 ， 从 而 出 现 一 个 新 的 追 加 约 束 条 件 。或 者 ， 企 业 准 备 增 加 新 产 品 ， 使 工 厂 的 生 产计 划 发 生 整 个 变 化 。 灵 敏 度 分 析 从 而 ， 我 们 面 临 这 样 的 问 题 ： 上 述 种 种 情 况的 发 生 ， 将 对 已 求 得 的 最 优 解 产 生 什 么 影 响 ?或 者 说 ， 我 们 如 何 在 原 有 的 最 优 单 纯 形 表 的基 础 上 用 最 少 的 计 算 量 ， 去 获 得 修 改 后 的 线性 规 划 问 题 的 最 优 解 ?这 就 是 我 们 要 讨 论 的 灵敏 度 分 析 （ Sensitivity Analysis） 问 题 。 灵 敏 度 分 析 一 般 分 下 面 5个 问 题 来 进 行 灵 敏 度 分 析 ： 1 变 量 xj的 目 标 函 数 系 数 cj在 何 范 围 内 变 动 ， 问 题(LP)的 最 优 基 (最 优 解 )不 变 ?如 果 超 出 这 个 范 围 ， 如 何求 最 优 解 ? 2 第 s种 资 源 bs在 何 范 围 内 变 动 ， 最 优 基 不 变 ?如 果 bs超 出 这 个 范 围 ， 如 何 求 最 优 解 ? 3 变 量 xj在 矩 阵 A中 的 系 数 列 向 量 发 生 变 化 ， 如 何求 新 问 题 的 最 优 解 ? 4 追 加 新 的 约 束 条 件 ， 如 何 求 新 的 线 性 规 划 的 最 优解 ? 5 增 加 新 的 变 量 x j， 如 何 求 新 问 题 的 最 优 解 ? 特 殊 规 划 运 输 问 题一 般 模 型 ： m个 物 资 产 地 （ 发 点 ） A1, A2, Am，n个 物 资 销 地 （ 收 点 ） B1, B2, , Bn， ai为 发点 Ai的 物 资 供 应 量 （ 发 量 ） ， bj为 收 点 Bj对 物资 的 需 求 量 （ 收 量 ） ， cij表 示 把 物 资 从 Ai运到 Bj的 单 位 运 价 ， xij表 示 把 物 资 从 Ai运 到 Bj的 运 输 量 ， 问 应 如 何 运 输 才 能 使 运 费 最 小 ？（ 假 定 收 发 平 衡 ） 特 殊 规 划 运 输 问 题Ai Bj B1 Bj Bn aiA1 c11 c1j c1n a1 A i ci1 cij cin ai Am cm1 cmj cmn ambj b1 bj bn运 输 收 发 平 衡 单 位 运 价 表 （ 简 称 运 输 表 格 ） 特 殊 规 划 运 输 问 题称 之 为 运 输 问 题 的 标 准 模 型 ， 此 为 产 销 平 衡 模 型 ， 产销 不 平 衡 时 ， 增 加 虚 拟 的 收 点 和 发 点 （ 松 弛 变 量 ） 即可 达 到 产 销 平 衡 。 1 11 1min. . 0m n ij iji jn ij ijm ij ji ijf c xx as t x bx 特 殊 规 划 运 输 问 题 求 解 方 法 ： 线 性 规 划 的 解 法 也 适 用 运 输 问 题 ，但 是 针 对 运 输 问 题 的 特 殊 性 有 其 特 殊 解 法 表 上 作 业 法 （ 详 见 有 关 书 籍 ） 。 一 些 名 词 ： 闭 回 路 ， 孤 立 点 ， 寻 找 初 始 基 本可 行 解 方 法 （ 西 北 角 法 ， 最 小 元 素 法 ） ， 计算 检 验 数 方 法 （ 位 势 法 ）一 般 模 型 有 ： 平 衡 运 输 问 题 ， 不 平 衡 运 输 问 题 ， 有 界发 量 运 输 问 题 ， 运 量 有 界 的 运 输 问 题 ， 转 运 问 题 ， 多品 种 物 资 运 输 问 题 ， 空 车 调 度 问 题 特 殊 规 划 整 数 规 划 决 策 变 量 为 整 数 时 的 线 性 规 划 称 为 整 数 规 划 ，如 ： 1 21 2 1 21 214 9 51. . 6 3 1, 0Min f x xx xs t x xx x 整 数 去 掉 整 数 要 求 后 的 最 优 解 为 （ 1.5, 3.33） 是 否通 过 作 舍 入 处 理 ， 就 可 得 到 最 优 解 ？ 特 殊 规 划 整 数 规 划 我 们 发 现 （ 2, 3） ,（ 1, 3） ,（ 2, 4） ,（ 1, 4） 都不 是 ， 其 实 （ 2, 2） 或 （ 3, 1） 才 是 。 另 一 方面 ， 这 种 舍 入 的 计 算 量 也 是 相 当 大 的 （ 多大 ？ ） 由 此 可 见 ， 整 数 规 划 有 其 自 己 独 到 的 一 些 解法 ！ 割 平 面 法 ， 柯 莫 力 割 ， 柯 莫 力 割 平 面 法 ,分 支 定 界 法 （ 隐 式 枚 举 法 ） 整 数 规 划 含 纯 整 数 规 划 （ AIP） 、 混 合 整 数 规划 （ MIP） 和 0 1规 划 （ BIP）