61.4基和维数

数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1 1第第6 6章章 向量空间向量空间n6.1 向量空间的定义和例子n6.2 子空间n6.3 向量的线性相关n6.4 基和维数n6.5 坐 标n6.6 向量空间的同构n6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2 26.4 6.4 基和维数基和维数一、内容分布一、内容分布6.4.1 生成生成子空间子空间6.4.2 向量空间的基向量空间的基6.4.4 子空间的和、直和子空间的和、直和、余子空间、余子空间6.4.3 向量空间的维数向量空间的维数数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3 3二、教学目的二、教学目的 三、重点、难点三、重点、难点 1 1掌握有限维向量空间基与维数的概念掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法及其求法2理解基在向量空间理论中所起的作用理解基在向量空间理论中所起的作用基和维数的概念及求法、维数定理基和维数的概念及求法、维数定理 3了解了解子空间的和、直和子空间的和、直和、余子空间、余子空间四、难点四、难点 子空间的直和子空间的直和、余子空间、余子空间数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件4 46.4.1 6.4.1 生成生成子空间子空间1 1、设设V是数域是数域F上向量空间，上向量空间，是是V 中中r个向量，则个向量，则构成构成V的一个子空间。的一个子空间。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件5 5L L()()即L()或或L L()L()3 3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生生成成子空间。子空间。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件6 6L L()()是什么？是什么？L L()=()=F3 3 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件7 7也有也有L L()=()=Fn n 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件8 8L L()()L L()()就是数域就是数域F F上一切次数不超过上一切次数不超过n的多项式连同零多项式构成的子空间的多项式连同零多项式构成的子空间 。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件9 94 4、几点注意、几点注意(1)(1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法；生成子空间提供了一种构造子空间的方法；(2)(2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；只只有有L L(0)=0(0)=0所含向量个数是有限的；所含向量个数是有限的；(3)(3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的；无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的；(4)(4)等价的向量组生成相同的子空间。等价的向量组生成相同的子空间。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1010从而有从而有L()()=L()()=L()()数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件11 11启示：对有限生成的子空间，生成元可以精简。启示：对有限生成的子空间，生成元可以精简。问题：怎样的一组生成元所含的向量个数最少？问题：怎样的一组生成元所含的向量个数最少？5、定理、定理6.4.1 设设 是向量空间是向量空间V 的的一组不全为零的向量一组不全为零的向量,而而 是它的一是它的一个极大无关组。那么个极大无关组。那么数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1212根据这个定理根据这个定理,如果子空间如果子空间 不不等于零子空间等于零子空间,那么它总可以由一组线性无关的那么它总可以由一组线性无关的生成元生成。生成元生成。一个向量空间本身也可能由其中有限个线性无一个向量空间本身也可能由其中有限个线性无关的向量生成。关的向量生成。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件13136.4.2 向量空间的基向量空间的基（1）线性无关；线性无关；（2）V的每一个向量都可以由的每一个向量都可以由 线性线性表示。表示。1、定义、定义 设设V是数域是数域F上一个向量空间，如果在上一个向量空间，如果在V中存在一组向量中存在一组向量 满足：满足：数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1414数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1515数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1616例5、任意两个不共线的向量都构成V2的一个基；任意三个不共面的向量都构成V3的一个基；数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件17 17数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件18184 4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就是生成元组的一个极大无关组。是生成元组的一个极大无关组。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件19195 5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价的，并且所含向量个数相同。的，并且所含向量个数相同。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件20206.4.3 向量空间的维数向量空间的维数1、定义、定义 一个向量空间一个向量空间V的基所含向量个数叫的基所含向量个数叫做做V的维数。记作的维数。记作dimV。零空间的维数定义零空间的维数定义0。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2121但是，但是，Fxx 作为作为F上一个向量空间，不是有限生上一个向量空间，不是有限生成的，它自然也不能由有限个线性无关的向量生成的，它自然也不能由有限个线性无关的向量生成。成。我们说，我们说，Fxx 是无限维的。是无限维的。我们只研究有限维向量空间。我们只研究有限维向量空间。2 2、n维向量空间中任意多于维向量空间中任意多于n个向量的向量组一个向量的向量组一定线性相关。定线性相关。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件22223、定理、定理6.4.4 设设 是是n维向量空间维向量空间中一组线性无关的向量那么总可以添加中一组线性无关的向量那么总可以添加 n r 个向量个向量 ，使得，使得 作成作成的一个基。特别地，的一个基。特别地，n维向量空间中任意维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基。个线性无关的向量都可以取作基。证法一、替换定理（见证法一、替换定理（见P232）证法二、扩充法证法二、扩充法数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件23234、定理、定理6.4.5 设设 和和 都是数域都是数域上向量空上向量空间间的有限维子空间那么的有限维子空间那么 也是有限维也是有限维的，并且的，并且dim（）dim dim dim（）维数公式维数公式数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件24246.4.4 子空间的和、子空间的和、直和直和、余子空间、余子空间1、子空间的和、子空间的和数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2525数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件26262、子空间的直和、子空间的直和(1)直和的定义直和的定义数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2727数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2828数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2929(2)直和的等价条件直和的等价条件证明：（证明：（1）（2）（3）（4）数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件30303、余子空间、余子空间(1)(1)定理：设定理：设W是向量空间是向量空间V的一个子空间，的一个子空间，那么一定存在那么一定存在V的一个子空间的一个子空间U，使得，使得(2)(2)定义：设定义：设W是向量空间是向量空间V的一个子空间，的一个子空间，如果如果V的子空间的子空间U满足满足 ，则称，则称U为为W的一个余子空间。的一个余子空间。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3131例例11、在几何空间、在几何空间V3中，中，W为过原点的平面，为过原点的平面，那么那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面内的余子空间是任一过原点且不在此平面内的直线。的直线。(3)(3)余子空间不唯一。余子空间不唯一。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3232数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3333课堂练习课堂练习P235-236：1,3,5,7数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3434课外作业课外作业P235-236：2,4,6