理论力学哈版第五章

第 五 章点 的 运 动 学 点 的 三 维 变 速 曲 线 运 动 5-1 矢 量 法 r r t 运 动 方 程加 速 度 单 位 2m/s22d dd dv ra v rt t 提 问 ： 如 何 确 定 速 度 和 加 速 度 的 方 向 ？单 位 速 度 ddrv rt m/s 矢 端 曲 线 速 度矢 径 矢 端 曲 线 切 线 加 速 度速 度 矢 端 曲 线 切 线 直 角 坐 标 与 矢 径 坐 标 之 间 的 关 系 ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k 运 动 方 程 ( )( )( )x x ty y tz z t 5-2 直 角 坐 标 法 ddx xv t ddy yv t dd z zv t d d d dd d d d x y zr x y zv i j k v i v j v kt t t t 速 度 22d dd dyy v ya t t 22d dd dzz v za t t 22d dd dxx v xa t t 加 速 度 dd ddd d d dyx z x y zvv vva i j k a i a j a kt t t t 求 ： M 点 的 运 动 方 程 ； 轨 迹 ； 速 度 ； 加 速 度 。 已 知 ： 椭 圆 规 的 曲 柄 OC 可 绕 定 轴 O 转 动 ， 其 端 点 C 与 规尺 AB 的 中 点 以 铰 链 相 连 接 ， 而 规 尺 A， B 两 端 分 别 在 相 互垂 直 的 滑 槽 中 运 动 ， taMClBCACOC , 例 5-1 点 M作 曲 线 运 动 ， 取 坐 标 系 Oxy如 图 所 示 。运 动 方 程( )cos ( )cosx OC CM l a t talAMy sin)(sin消 去 t, 得 轨 迹 1 )( 2222 al yal x ） 解 ： 速 度 talxvx sin talyvy cos)( 2 2( )sincos( , ) 2 cos2xv l a tv i v l a al t 2 2( )coscos( , ) 2 cos2yv l a tv j v l a al t 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) sin ( ) cos2 cos2x yv v v l a t l a tl a al t 加 速 度 talxva xx cos2 talyva yy sin2 taltalaaa yx 24224222 sin(cos ） 2 2 2 2 cos 2l a al t 2 2( )coscos( , ) 2 cos 2xa l a ta i a l a al t 2 2( )sincos( , ) 2 cos 2ya l a ta j a l a al t 已 知 ： 正 弦 机 构 如 图 所 示 。 曲 柄 OM长 为 r， 绕 O轴 匀 速 转 动 ，它 与 水 平 线 间 的 夹 角 为 其 中 为 t = 0时 的 夹 角 ， 为 一 常 数 。 动 杆 上 A， B两 点 间 距 离 为 b。, t 例 5-2求 ： 点 A和 B的 运 动 方 程 及 点 B的 速 度 和 加 速 度 。 A， B点 都 作 直 线 运 动 ， 取 Ox轴 如 图 所 示 。 运 动 方 程 )sin(sin trbrbxA )sin(sin trrxBB点 的 速 度 和 加 速 度 trxv BB cos 2 2sinB B Ba x r t x 周 期 运 动 ( )x t T x t 频 率Tf 1 解 ： 已 知 ： 如 图 所 示 ， 当 液 压 减 振 器 工 作 时 ， 它 的 活 塞 在 套筒 内 作 直 线 往 复 运 动 。 设 活 塞 的 加 速 度 （ 为 活 塞 的 速 度 ， 为 比 例 常 数 )， 初 速 度 为 。a kv v 0vk例 5-3求 ： 活 塞 的 运 动 规 律 。 活 塞 作 直 线 运 动 ， 取 坐 标 轴 Ox如 图 所 示ddva kvt 由 0 0d dv tv v k tv 得 00ln , e ktv kt v vv 0d ed ktxv vt 由 0 00d e dx t ktx x v t 得 00 1 e ktvx x k 解 ： 分 析 齿 轮 上 一 点 的 运 动外 啮 合 齿 轮 5-3 自 然 法( )s f t1.弧 坐 标副 法 线 单 位 矢 量 b n 切 向 单 位 矢 量 n主 法 线 单 位 矢 量2.自 然 轴 系 自 然 法 ： 利 用 点 的 运 动 轨 迹 建 立 弧 坐 标 和 自 然 轴 系 ， 利 用 它 们 描 述 和 分 析 点 的 运 动 的 方 法 。 曲 线 在 P点 的 密 切 面 形 成 自 然 坐 标 轴 的 几 何 性 质 d d d d 1d d d ds s s 因 为 方 向 同 nddn s 所 以 ? d d d dd d d dr r s sv vt s t t 3.速 度 d d dd d dv va vt t t 4.加 速 度 d d dd d ds vnt s t 代 入 2dd t nv va n a a nt 则 切 向 加 速 度法 向 加 速 度曲 线 匀 变 速 运 动 22t dddd tstva 22n )dd(1 tsva n2t2 aaa 曲 线 匀 速 运 动 常 数 tvssvva 000t ,0 常 数 2t00t0t 21, tatvsstavva 已 知 ： 列 车 沿 半 径 为 R=800m的 圆 弧 轨 道 作 匀 加 速运 动 。 如 初 速 度 为 零 ， 经 过 2min后 ， 速 度 到 达54km/h。例 5-4求 ： 列 车 起 点 和 未 点 的 加 速 度 。 列 车 作 曲 线 加 速 运 动 ， 取 弧 坐 标 如 上 图 。 120smin2 t 2n2t2 m/s308.0 aaa 222n m/s281.0800mm/s)15( Rva 0,0 n at 2t m/s125.0 aa 2t m/s125.0120sm/s15 tva tav t有0, 0t va由 常 数 解 ： 由 点 M的 运 动 方 程 ， 得 txatxv xx 4sin32,4cos8 tyatyv yy 4cos32,4sin8 4, 0zzv z a z 2 2 2 2 2 2 280m s, 32m s x y z x y zv v v v a a a a 从 而 2n 2.5mva 故 已 知 点 的 运 动 方 程 为 x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。 求 ： 点 运 动 轨 迹 的 曲 率 半 径 。 2nt m/s32,0dd aatva 例 5-5 解 ： 已 知 ： 半 径 为 r的 轮 子 沿 直 线 轨 道 无 滑 动 地 滚 动（ 称 为 纯 滚 动 ） ， 设 轮 子 转 角 为 常 值 ） ，如 图 所 示 。 求 用 直 角 坐 标 和 弧 坐 标 表 示 的 轮 缘 上 任 一点 M的 运 动 方 程 ， 并 求 该 点 的 速 度 、 切 向 加 速 度 及 法向 加 速 度 。 (t 例 5-6 M点 作 曲 线 运 动 ， 取 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 。OC MC r r t 由 纯 滚 动 条 件 )sin(sin 1 ttrMOOCx trMOCOy cos1cos11 从 而 解 ： 1 cos , sinx yv x r t v y r t )202sin2)cos1(222 ttrtrvvv yx （2 2sin , cos x ya x r t a y r t 222 raaa yx 0 0d 2 sin d 4 (1 cos ) (0 2)2 2t t t ts v t r t r t 又 点 M的 切 向 加 速 度 为 2cos2t trva 2sin22t2n traaa