定积分的换元法和分部积分法

5.3 定 积 分 的 换 元 法和 分 部 积 分 法一 、 定 积 分 的 换 元 法二 、 定 积 分 的 分 部 积 分 法三 、 小 结 、 作 业 微积分基本公式定 积 分 法 ，不 定 积 分 法且 使 用 方 法 与 相 应 的 不 定 积 分 法 类 似 。 一 、 定 积 分 的 换 元 法 我 们 知 道 ， 不 定 积 分 的 换 元 法 有 两 种 ， 下 面 就 分 别介 绍 对 应 于 这 两 种 换 元 法 的 定 积 分 的 换 元 法 。1. 第 一 类 换 元 积 分 法 （ 凑 微 分 法 ） 设 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 那 么 )(xf , ba CxFdxxf )()( abxFxdxfdxxxf baba )()()()()( 例 1 计 算 30 3 dxe x解 30 3 dxe x 30 )3(3 3 xde x 3033 xe)1(3 e例 2 计 算 10 24 1 dxx解 10 24 1 dxx 10 2)2(1 121 dxx 102arcsin x 2 10 2 )2()2(1 1 xdx20 6 cossin xdxx例 3 计 算 解 20 6 cossin xdxx )sin(sin20 6 xxd2077sin x 71 例 4 计 算 e dxx x1 ln1 解 e dxx x1 ln1 e xdx1 )ln1()ln1(ex 1 22 )ln1( 212 23例 5 计 算 46 2cos xdx 46 2cos xdx解 46 2 2cos1 dxx 4646 )2(cos2 21 21 xxddx sin221)64(21 46x )211(211221 8124 2. 第 二 类 换 元 积 分 法 设 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 函 数 )(xf , ba )(tx 满 足 ,)()1( a b )( ba dtttfdxxf )()()( 在 （ 或 ） 上 具 有 连 续导 数 ， 且 )()2( t , , ,)( bat ， 于 是注 意 :（ 1）换元前后，上限对上限、下限对下限； （ 2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。 例 6 计 算 30 1 dxxx（ 1） 根 号 下 为 的 一 次 式x解 ，设 tx 1 ，即 12 tx ，则 dttdx 2时 ，且 当 0 x ；1t 时 ，当 3x 因 此，2t 21 2 )1(2 dtt 30 1 dxxx dtttt 2121 2 2 1332 tt 38 例 7 计 算 解 ，设 tx ,2tx 即 ，则 dttdx 2 时 ，且 当 0 x；0t 时 ，当 4x 因 此，2t 40 1 1 dxx tdtt 21 120 40 1 1 dxx 20 )1 11(2 dtt 2 0|1|ln2 tt 3ln24（ 2） 根 号 下 为 的 二 次 式x 例 8 计 算 解 t，x sin设 ，t 22 ，则 dttdx cos时 ，且 当 0 x ；0t 时 ，当 21x 因 此，6t 210 221 dxxx 210 221 dxxx tdttt coscossin 60 2 60 2sin tdtdtt 60 2 2cos1 602sin2121 tt 3sin21621 8312 例 9 计 算 解 t，x tan设 ，t 22 ，则 dttdx 2sec时 ，且 当 0 x ；0t 时 ，当 1x 因 此，4t 10 232 )x1( dx tdtt 223240 sec)tan1( 40 232 sec)sec( 1 dttt 40sin t 10 232 )x1( dx 40 sec1 dtt 40 cos dtt 22 证 ,)()()( 00 aa aa dxxfdxxfdxxf 0 )(atx dttf a dxxf0 )( a dxxf0 )( a dxxf0 )( a dxxfxf0 )()( 为 偶 函 数 ；)( ,)(2 0 xfdxxfa 为 奇 函 数 。)( , 0 xf 证 毕 。 奇 函 数例 10 计 算解 .1 sin33 42 25 dxxx xx 22 cossin2 xdxx 0 33 42 251 sin dxxx xx例 11 计 算解 22 cossin2 xdxx偶 函 数 20 2 cossin2 xdxx 20 2 )sin(sin2 xxd 2033sin2 t 32 ),( ),()()( xv xua,bxvxu 上 具 有 连 续 的 导 数在 区 间、设 二 、 定 积 分 的 分 部 积 分 法则 由 导 数 公 式 )()()()()()( xvxuxvxuxvxu 上 求 积 分 ， 有对 等 式 两 边 分 别 在 区 间 a,b ba baba dxvuvdxudxuv )(即 ba baba udvvduuv移 项 有 b ababa vduuvudv 分 部 积 分 公 式 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式 的 用 法 与 不 定 积 分 的 分 部积 分 公 式 的 用 法 类 似 。例 12 计 算解 xdxx0 cos xdxx0 cos 0 0 sinsin xdxxx )sin(0 xxd 0cos0 x2 例 13 计 算 10 2 dxxe x解 10 2 dxxe x 10 2 )(21 xexd 10 210221 dxexe xx 1 022 2121 xee )1(41 2 e 例 14 计 算 3 0 arctan xdxx解 3 0 arctan xdxx )2(arctan30 2 xxd 30 230 2 )(arctan2arctan2 xdxxx dxxx 230 2 1 12 2 30 2 )1 11(212 dxx 2332 30 arctan212 xx 例 15 计 算 .arcsin210 xdx解 法 1 210arcsin xdx 210arcsin xx 210 21 xxdx621 )1(1 121 20 221 xdx 12 21021 x .12312 210 )(arcsin xxd 解 法 2 210 arcsinxdx 60sin tt分 部 积 分 60 sin tdt216 60cos t .12312 )(sin 60sinarcsin tdttx xt则换 元 ： 例 16 计 算 10 )1ln(e- dxx解 10 )1ln(e- dxx 10 10 )1ln()1ln( ee xxdxx )()1ln(10 e- xdx 1 0 1 11 e- dxxxe 1 0 )1 11(1 e- dxxe 10 |1|ln1 exxe1 例 17 40 2cos1 xxdx 半 角 公 式 xdx tan240 分 部 积 分 40tan21 xx xdxtan21 40 40secln218 x.42ln8 40 2cos2 xxdx 三 、 小 结1、 使 用 定 积 分 的 换 元 法 时 要 注 意 积 分 限 的 对 应 。3、 定 积 分 分 部 积 分 公 式 的 用 法 与 不 定 积 分 分 部 积 分公 式 的 用 法 类 似 。2、 不 引 入 新 的 变 量 记 号 ， 积 分 限 不 变 ； 引 入 新 的 变量 记 号 ， 积 分 限 跟 着 变 。