平面任意力系简化与平衡

第四章第四章 平面任意力系平面任意力系力系中各力的作用线在同一平面内，既不完全力系中各力的作用线在同一平面内，既不完全交于一点也不完全相互平行分布交于一点也不完全相互平行分布平面任意力系：平面任意力系：本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题平面任意力系实例平面任意力系实例第一节第一节 平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点的简化 作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力一、力的平移定理一、力的平移定理偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩反之：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力反之：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力 二、平面任意力系向一点的简化二、平面任意力系向一点的简化 平面任意力系向其作用面内任一点平面任意力系向其作用面内任一点 O 简简化，化，结结果一般果一般为为一个力和一个力和一个力偶。一个力偶。矢；矢；称称为为原力系的主矩。原力系的主矩。主矢：主矢：主矩：主矩：2）主矩与简化中心的选择有关）主矩与简化中心的选择有关说明：说明：1）主矢与简化中心的选择无关）主矢与简化中心的选择无关该该力矢等于原力系中各力的矢量和，称力矢等于原力系中各力的矢量和，称为为原力系的主原力系的主该该力偶的矩等于原力系中各力力偶的矩等于原力系中各力对简对简化中心化中心 O 的矩的代数和，的矩的代数和，yxO1O2F2F1F4F3例 如图中所示一个平面任意力系，其中F1=F，F2=22F，F3=2F，F4=3F，图中每格距离为，图中每格距离为a，求：1）力系分别向O1和O2的简化结果。三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论 1）但但 MO 0：原力系合成原力系合成为为一个合力偶一个合力偶三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论 2）但但 MO=0：的合力的合力原力系合成原力系合成为为一个作用一个作用线线通通过简过简化中心化中心 O3）且且 MO 0：O 的合力的合力原力系合成原力系合成为为一个作用一个作用线线不通不通过简过简化中心化中心三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论 三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论 4）且且 MO=0 yxO1O2F2F1F4F3补充例1 如图中所示一个平面任意力系，其中F1=F，F2=22F，F3=2F，F4=3F，图中每格距离为，图中每格距离为a，求：1）力系分别向O1和O2的简化结果；2）力系简化的最终结果。yxO1O2FR补充例2 在正方形木板上作用三个大小均为F的力，此三力首尾连接构成一边长为a的等边三角形，求此力系合力。2.分布载荷的合成结果分布载荷的合成结果四、若干重要结论四、若干重要结论1.平面固定端的约束力平面固定端的约束力平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶均布载荷均布载荷线性分布载荷线性分布载荷三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论 4）且且第二节第二节 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 一、平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的平衡方程 1.基本形式基本形式1）可解）可解 3 个未知量个未知量说明：说明：两两投影一矩式投影一矩式 2）投影轴与矩心位置均可任意选择）投影轴与矩心位置均可任意选择2.一投影两矩式一投影两矩式 其中，其中，A、B 两点两点连线连线不垂直于不垂直于 x 轴轴3.三矩式三矩式其中，其中，A、B、C 三点不共三点不共线线二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程1.基本形式基本形式2.两矩式两矩式其中，其中，A、B 两点两点连线连线不平行于不平行于 y 轴轴1）可解）可解 2 个未知量个未知量说明：说明：2）矩心位置可任意选择）矩心位置可任意选择一一投影一矩式投影一矩式 例例2 如图，悬臂梁如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为上作用有矩为 M 的力偶和集度为的力偶和集度为 q 的均的均布载荷，在梁的自由端还受一集中力布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为的作用，梁长为 l，试求试求固定端固定端 A 处的约束力。处的约束力。解：解：2）受力分析）受力分析1）选取梁）选取梁 AB 为研究对象为研究对象3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程4）求解未知量）求解未知量解得固定端解得固定端 A 处的约束力处的约束力例例3 外伸梁外伸梁 AB 如如图图所示，沿全所示，沿全长长有均布有均布载载荷荷 q=8 kN/m 作用，两作用，两支座中支座中间间有一集中力有一集中力 F=8 kN 作用。已知作用。已知 a=1 m，若不，若不计计梁自重，梁自重，试试求求铰铰支座支座 C、B 的的约约束力。束力。解：解：1）选取）选取外伸梁外伸梁 AB 为研究对象为研究对象2）受力分析）受力分析3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程4）求解未知量）求解未知量解得解得铰铰支座支座 C、B 的的约约束力束力分别为分别为解：解：例例2-4 如图，重如图，重 P=5 kN 的电动机放在水平梁的电动机放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定铰支座的约束，端受固定铰支座的约束，B 端以撑杆端以撑杆BC 支持。若不计梁与撑杆自重，支持。若不计梁与撑杆自重，试求铰支座试求铰支座 A 处的约束力以及撑杆处的约束力以及撑杆 BC 所受的力。所受的力。2）受力分析）受力分析1）选取）选取 AB 梁梁（包括电动机）（包括电动机）为研究对象为研究对象4）求解未知量）求解未知量解得解得FBC 为正值，表示其假设方向与实际方向相同，即杆为正值，表示其假设方向与实际方向相同，即杆 BC 受压；受压；而而 FA 为负值，则表明其假设方向与实际方向相反。为负值，则表明其假设方向与实际方向相反。3）选）选取坐标取坐标轴轴，列平衡方程列平衡方程解：解：例例2-4 如图，重如图，重 P=5 kN 的电动机放在水平梁的电动机放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定铰支座的约束，端受固定铰支座的约束，B 端以撑杆端以撑杆BC 支持。若不计梁与撑杆自重，支持。若不计梁与撑杆自重，试求铰支座试求铰支座 A 处的约束力以及撑杆处的约束力以及撑杆 BC 所受的力。所受的力。2）受力分析）受力分析1）选取）选取 AB 梁梁（包括电动机）（包括电动机）为研究对象为研究对象4）求解未知量）求解未知量解得解得3）选）选取坐标取坐标轴轴，列平衡方程列平衡方程例例4 一重一重 P=1.8 kN 的物块悬挂在图的物块悬挂在图示构架上。已知示构架上。已知 =45，若若不计构架自重，试求支座不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆处的约束力以及杆 BC 所受的力。所受的力。解：解：2）受力分析）受力分析1）选取滑轮、杆）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象与物块组成的系统为研究对象4）求解未知量）求解未知量杆杆 BC 所受的力与所受的力与 FB 是作用力与反作用力的关系，即杆是作用力与反作用力的关系，即杆 BC 所受的所受的力为力为 0.85 kN，是拉力，是拉力3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程解得解得例例5 横梁横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。用三根杆支撑，受图示载荷。已知已知 F=10 kN，M=50 kNm，若不计构件自重，试求三杆若不计构件自重，试求三杆 所受的力。所受的力。解：解：2）受力分析）受力分析1）选取横梁）选取横梁 AB 为研究对象为研究对象3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程4）求解未知量）求解未知量解得三杆所受的力分别为解得三杆所受的力分别为说明：说明：还可利用平衡方程还可利用平衡方程MD(Fi)=0 校核上述计算结果校核上述计算结果例例6 图示塔式起重机，已知机架自重为图示塔式起重机，已知机架自重为 G，作用线距右轨，作用线距右轨 B为为 e；满载时荷重为满载时荷重为 P，距右轨，距右轨 B 为为 l；平衡块重为；平衡块重为 W，距左轨，距左轨 A 为为 a；轨；轨道道 A、B 的间距为的间距为 b。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，试问。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，试问平衡块重平衡块重 W 应为多少？应为多少？解：解：1）确定空载时平衡块的重量）确定空载时平衡块的重量当空载时，当空载时，P=0。为使起重机不。为使起重机不绕点绕点 A 翻倒，必须满足翻倒，必须满足FB 0解得解得列平衡方程列平衡方程 选取起重机整体为研究对象选取起重机整体为研究对象受力分析受力分析 解得解得将其代入条件将其代入条件 FB 0，即，即得空得空载时载时平衡平衡块块的重量的重量应满应满足足2）确定满载时平衡块的重量）确定满载时平衡块的重量当满载时，为使起重机不绕点当满载时，为使起重机不绕点 B 翻翻倒，必须满足倒，必须满足 FA 0列平衡方程列平衡方程 将其代入条件将其代入条件 FA 0，即，即得得满满载时载时平衡平衡块块的重量的重量应满应满足足所以，所以，要保要保证证起重机在空起重机在空载载和和满载时满载时都不翻倒，平衡都不翻倒，平衡块块重重应应满满足不等式足不等式