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2012学年四区联考（静杨青宝）高三年级高考模拟考试 数学试卷(理科)2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知全集，集合，则 . 2若复数满足（是虚数单位），则 .3已知直线的倾斜角大小是，则 .4若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围（第9题图） 开始 输入p n=1 np？输出S S=0 结 束 S=S+2n n=n+1 是 否 是 .5已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为 . 6已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7函数的最小正周期 .8若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数 .9执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 . 10已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 11某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示) 12各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值范围是 .13已知两个不相等的平面向量，()满足|2，且与的夹角为120，则|的最大值是 .14给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15已知，则的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）16已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的 （ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件17 若直线经过点，则 （ ）（A） （B） （C） （D）18已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合： 其中所有“集合”的序号是（ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分在棱长为的正方体中，分别为的中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小 20（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点（1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求面积的最大值及此时的值21（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由 22（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知点，、是平面直角坐标系上的三点，且、成等差数列，公差为，（1）若坐标为，点在直线上时，求点的坐标；（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；（3）若、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标23（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且满足 ()，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由15 / 4四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4给分或扣分均以1分为单位一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1； 2； 3； 4； 5； 6；7（文、理）；8（文）4（理）；9；10；11（文）（理）；12；13（文）（理）；14（文）（理） 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15 D ； 16（文）B （理）A ； 17 B ；18（文）C（理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是 (2)如图，取底面边长的中点，连接， 答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板 （理）19（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面的一个法向量为 因为，可知直线的一个方向向量为 设直线与平面成角为，与所成角为，则 19（1）解法二：平面，即为在平面内的射影，故为直线与平面所成角，在中， , 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则 由图知二面角为锐二面角，故其大小为 19（2）解法二：过作平面的垂线，垂足为，即为所求，过作的垂线设垂足为，即 在中 所以二面角的大小为 20（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解:（1）在中，由 得，解得（2），在中，由正弦定理得，即 ,又 （文）记的周长为，则=时，取得最大值为. （理）解法一：记的面积为，则， 时，取得最大值为. 解法二： 即，又即当且仅当时等号成立, 所以 时，取得最大值为. 21（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 （文）解：(1)依题意， 由，得， 设， ； (2)如图，由得，依题意，设，线段的中点，则，由，得，（理）解:（1）是偶函数， 即， 又恒成立即当时 当时， 当时， 综上： （2）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数 令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （文）解:（1）过原点， 得或 (2)(3)同理21（理）解（1），所以，设则，消去，得，（2分）解得，,所以的坐标为或 （2）由题意可知点到圆心的距离为（6分）（）当时，点在圆上或圆外，又已知，所以 或 （）当时，点在圆内，所以，又已知，即或结论：当时， 或 ；当时，或（3）因为抛物线方程为，所以是它的焦点坐标，点的横坐标为，即 设，则，所以 直线的斜率，则线段的垂直平分线的斜率则线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点为定点 23（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（文）解：（1）令得，即；又 （2）由和， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以 解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，对任何正整数，只要取，即是数列的第项最小的公比所以（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比所以（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得 ，所以（理）解：（1），当时，=2，所以为等比数列 ， （2） 由（1）可得 ； ， ， 所以，且所以的最小值为（3）由（1）当时，当时，所以对正整数都有 由，(且)，只能是不小于3的奇数当为偶数时，因为和都是大于1的正整数，所以存在正整数，使得，,，所以且，相应的，即有，为“指数型和”； 当为奇数时，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”
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