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第6讲一元二次方程及其应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一考点一一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法1.如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫一元二次方程,一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a0),其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四2.解法 考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二考点二一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三考点三一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,则x1+x2=-考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四考点四一元二次方程的应用一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.一元二次方程实际问题的常见类型平均增长率(下降率)问题:(1)增长率=(增量基础量)100%;(2)设a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量,则a(1-m)n=b.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1解一元二次方程1.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点命题点2一元二次方程根的判别式定理一元二次方程根的判别式定理2.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2 D.-3或1解析:原方程可变形为x2+(a+1)x=0.该方程有两个相等的实数根,=(a+1)2-410=0,解得a=-1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3一元二次方程的应用3.(2018安徽,6,4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则(B)A.b=(1+22.1%2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)2aD.b=22.1%2a解析:在增长率问题中,若增长率设为x,在a的基础上连续两次增长后可用代数式a(1+x)2表示,故选B.4.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足(D)A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点35.(2015安徽,6,4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业迅速发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是(C )A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5解析:由于2015年的快递业务量可用1.4(1+x)2表示,又2015年的快递业务量是4.5亿件,可列方程是1.4(1+x)2=4.5,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法考法1一元二次方程的解法一元二次方程的解法例1(2012安徽)解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程化为x2-4x=1.配方,得x2-4x+4=1+4.整理,得(x-2)2=5.方法总结本题考查了解一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的四种特点是解本题的关键,通常情况下,未知数全部在平方里面用直接开方法,二次项系数为1考虑用因式分解法或配方法,其他情况考虑用公式法.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(2018山东临沂)一元二次方程y2-y-=0配方后可化为(B)对应练2(2018湖南益阳)规定a b=(a+b)b,如:2 3=(2+3)3=15,若2 x=3,则x=-3或1.对应练3(2018江苏淮安)一元二次方程x2-x=0的根是x1=0,x2=1.解析:2 x=3,(2+x)x=3,x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法考法2一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用例2(2017北京)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.(1)证明:=-(k+3)2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)20,方程总有两个实数根.(2)解:x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,x1=2,x2=k+1.方程总有一个根小于1,k+11.k0,即k的取值范围为k0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)0,进而即可得出方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练5(2017湖南益阳)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是(A)A.b2-4ac0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0D.b2-4ac0对应练6(2018四川泸州)已知关于x的一元一次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(C)A.k2B.k0C.k2D.k0,因此选A.解析:由题可知,0,即(-2)2-4(k-1)0,解得k2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法考法3一元二次方程中根与系数的关系一元二次方程中根与系数的关系例3(2018四川眉山)若,是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则 的值是()答案:C 方法总结本题考查了一元二次方程根与系数的关系,求含一元二次方程根的代数式常常利用根与系数的关系 ,可以方便快捷的解题.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练7(2018宁夏)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是(A)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练8(2018湖北咸宁)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1x2,下列结论正确的是(D)A.x1+x2=1B.x1x2=-1C.|x1|x2|D.故A、B错误;由x1+x20,x1x20可得x10,x1|x2|,故C错误;x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一个根,考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练9(2018江苏南京)设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=-2,x2=3.解析:x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,m=1.原方程为x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得:x1=-2,x2=3.故答案为:-2,3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法考法4一元二次方程的应用一元二次方程的应用例4(2018贵州安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1 280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元.(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元,1 000 户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意得1 280(1+x)2=1 280+1 600,解得x=0.5或x=-2.5(舍).答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,81 000400=3 200 0001 000.根据题意得1 0008400+(a-1 000)54005 000 000,解得a1 900.答:2017年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了增长(或降低)率问题,是列一元二次方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,弄清基数a、增长(减少)后的量a(1+x)n及增长(减少)次数n是解题关键,正确理解有关增长问题的一些词语的含义对解答这类问题也很重要,常见的词语有:增加、增加到、增加了几倍、增长到几倍、增长率等.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练10(2013安徽,7,4分)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(B)A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)2=438 D.438(1+2x)2=389解析:设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+x)2元,由题意,得389(1+x)2=438.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练11(2018黑龙江龙东地区)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?(C)A.4B.5C.6D.7解析:设有x个班级参赛,依题意列方程得 x(x-1)=15,解得x1=-5(舍去),x2=6,有6个班级参赛.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练12(2017四川巴中)巴中市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售,由于有关部门关于房地产的新政策出台后,部分购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同,求平均每次下调的百分率.解:设平均每次下调的百分率为x,由题意得5 000(1-x)2=4 050,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).答:平均每次下调的百分率为10%.
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