《分式方程的解法》

复 习 提 问1、 什 么 是 一 元 一 次 方 程 ？ 什 么 是 方 程 的解 ？2、 解 一 元 一 次 方 程 的 基 本 方 法 和 步 骤 是什 么 ？3、 分 式 有 意 义 的 条 件 是 什 么 ？4、 分 式 的 基 本 性 质 是 怎 样 的 ？ 轮 船 在 顺 水 中 航 行 80千 米 所 需 的 时间 和 逆 水 航 行 60千 米 所 需 的 时 间 相 同 .已知 水 流 的 速 度 是 3千 米 /时 ， 求 轮 船 在 静水 中 的 速 度 .分析：设 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为 x千 米 /时 ， 根 据 题 意 ， 得 360380 xx 这 个 方 程 有 何 特 点 ？ 360380 xx 分 式 方 程 的 主 要 特 征 ：（ 1） 含 有 分 式 （ 2） 分 母 中 含 有 未 知 数 . 方 程 中 含 有 分 式 ， 并 且 分 母中 含 有 未 知 数 ， 像 这 样 的 方 程 叫 做 分 式 方 程 .360380 xx你还能举出一个分式方程吗？ 判 断 下 列 各 式 哪 个 是 分 式 方 程 (2)(3)(4)(5)(1) (1)、 (2)是 整 式 方 程 .(3)是 分 式 .(4)(5)是 分 式 方 程 2 3(1) 01 32(2) 42(3) 3 0 1 xx xx x x 下 列 方 程 哪 些 是 分 式 方 程 ： 2 3 3 4(4) 2 4 9 141(5) 1(6) 1x xx xxxxy 思 考 ： 怎 样 解 分 式 方 程 呢 ？为 了 解 决 这 个 问 题 ， 请 同 学 们 先 思 考 并回 答 以 下 问 题 ：1） 、 回 顾 一 下 解 一 元 一 次 方 程 时 是 怎 么去 分 母 的 ， 从 中 能 否 得 到 一 点 启 发 ？2） 、 有 没 有 办 法 可 以 去 掉 分 式 方 程 的 分母 把 它 转 化 为 整 式 方 程 呢 ？ 试 动 手 解 一 解 方 程 ： 360380 xx方 程 两 边 同 乘 以 （ x+3） (x-3)， 约去 分 母 ， 得 80（ x-3） =60(x+3)解 这 个 整 式 方 程 ， 得 x=21所 以 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为 21千 米 /时 . 275 xx解 方 程 ：方 程 两 边 同 乘 以 x（ x-2） ， 约 去 分母 ， 得 5（ x-2） =7x解 这 个 整 式 方 程 ， 得 x=-5 上 述 解 分 式 方 程 的 过 程 ， 实 质 上 是 将 方程 的 两 边 乘 以 同 一 个 整 式 ， 约 去 分 母 ， 把 分式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 来 解 .所 乘 的 整 式 通常 取 方 程 中 出 现 的 各 分 式 的 最 简 公 分 母 .解 方 程 ： 1211 2 xx 例 题 讲 解 与 练 习例 1 解 方 程 ： 1211 2 xx解 ： 方 程 两 边 同 乘 以 (x+1)(x-1),约 去 分 母 ， 得 x+1=2解 这 个 整 式 方 程 ， 得 x =1事 实 上 ， 当 x=1时 ， 原 分 式 方 程 左 边 和 右 边 的 分母 （ x 1） 与 （ x2 1） 都 是 0， 方 程 中 出 现 的 两个 分 式 都 没 有 意 义 ， 因 此 ， x=1不 是 原 分 式 方 程的 根 ， 应 当 舍 去 .所 以 原 分 式 方 程 无 解 . 在 将 分 式 方 程 变 形 为 整 式 方 程 时 ， 方 程两 边 同 乘 以 一 个 含 未 知 数 的 整 式 ， 并 约 去 了分 母 ， 有 时 可 能 产 生 不 适 合 原 分 式 方 程 的 解（ 或 根 ） ， 这 种 根 通 常 称 为 增 根 .因 此 ， 在 解 分 式 方 程 时 必 须 进 行 检 验 .那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 对 于 原 分 式 方 程 的 解 来 说 ， 必 须 要 求使 方 程 中 各 分 式 的 分 母 的 值 均 不 为 零 ， 但变 形 后 得 到 的 整 式 方 程 则 没 有 这 个 要 求 .如 果 所 得 整 式 方 程 的 某 个 根 ， 使 原 分 式 方程 中 至 少 有 一 个 分 式 的 分 母 的 值 为 零 ， 也就 是 说 使 变 形 时 所 乘 的 整 式 （ 各 分 式 的 最简 公 分 母 ） 的 值 为 零 ， 它 就 不 适 合 原 方 程 ，即 是 原 分 式 方 程 的 增 根 . 验 根 的 方 法 解 分 式 方 程 进 行 检 验 的 关 键 是 看 所求 得 的 整 式 方 程 的 根 是 否 使 原 分 式 方 程 中的 分 式 的 分 母 为 零 .有 时 为 了 简 便 起 见 ，也 可 将 它 代 入 所 乘 的 整 式 （ 即 最 简 公 分母 ） ， 看 它 的 值 是 否 为 零 .如 果 为 零 ， 即为 增 根 .1.代 入 原 方 程 进 行 检 验2.代 入 最 简 公 分 母 进 行 检 验 例 题 讲 解 与 练 习307x 2 100 x例 解 方 程方 程 两 边 同 乘 以 x（ x-7） ， 约 去 分 母 ， 得 100（ x-7） =30 x解 这 个 整 式 方 程 ， 得 x=10 x（ x-7） ， 得10 （ 10-7） 0所 以 ， 例 题 讲 解 与 练 习例 3 解 方 程 ： 解 ： 方 程 两 边 同 乘 以 x-4， 得 4 5 1x x 检 验 ： 把 x = 5 代 入 x -4， 得 x-40 x = 5是 原 方 程 的 解 . 解 这 个 整 式 方 程 得 x = 5 41451)1( xxx 22 16 22 4 2x xx x x 解 ： 方 程 两 边 同 乘 以 （ x-2)(x+2） ， 得2 2( 2) 16 ( 2)x x 2 24 4 16 4 4x x x x 检 验 ： 把 x=-2代 入 x2-4得 x2-4=0 x=-2是 增 根 ， 从 而 原 方 程 无 解 . 解 这 个 整 式 方 程 ， 得 x=-2例 3 解 方 程 ： 例 题 讲 解 与 练 习(2) 注 意 ： 分式 方 程 的求 根 过 程不 一 定 是同 解 变 形 ，所 以 分 式方 程 一 定要 验 根 ！ 解 下 列 分 式 方 程 ： 01141 xx 1112 2 x xxx 2142 4563 523 xxxx 16234 222 xxxxx )5)(4( 1)3)(2( 15 xxxx 1；2化 为 整 式 方 程 得 xx2122x x把 分 式 方 程3 1；的 解 是 x1x11xx方 程2 2；1的 解 是 xx2x 1x方 程1 2 1、 你 学 到 了 哪 些 知 识 ？要 注 意 什 么 问 题 ？2、 在 学 习 的 过 程 中 你有 什 么 体 会 ？ 课 堂 小 结 验 根 的 方 法 有 ： 代 入 原 方 程 检 验 法 和 代 入 最 简 公 分 母 检 验 法 . (1)代 入 原 方 程 检 验 ， 看 方 程 左 ， 右 两 边 的 值是 否 相 等 ， 如 果 值 相 等 ， 则 未 知 数 的 值 是 原 方程 的 解 ， 否 则 就 是 原 方 程 的 增 根 。(2)代 入 最 简 公 分 母 检 验 时 ， 看 最 简 公 分 母 的值 是 否 为 零 ， 若 值 为 零 ， 则 未 知 数 的 值 是 原 方程 的 增 根 ， 否 则 就 是 原 方 程 的 根 。课 堂 小 结 （ 1） 去 分 母 时 ， 先 确 定 最 简 公分 母 ； 若 分 母 是 多 项 式 ， 要 进 行 因式 分 解 ； （ 2） 去 分 母 时 ， 不 要 漏 乘 不 含分 母 的 项 ； （ 3） 最 后 不 要 忘 记 验 根 。课 堂 小 结