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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点己知函数(m为常数)（1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和（2）见解析,（3）AM的解析式为【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B，连接AB，求出点B的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式【详解】（1）当=0时，该函数的零点为和（2）令y=0，得=无论取何值，方程总有两个不相等的实数根即无论取何值，该函数总有两个零点（3）依题意有，由解得函数的解析式为令y=0，解得A()，B(4,0)作点B关于直线的对称点B，连结AB，则AB与直线的交点就是满足条件的M点易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）连结CB，则BCD=45BC=CB=6，BCD=BCD=45BCB=90即B（）设直线AB的解析式为，则，解得直线AB的解析式为，即AM的解析式为2在等腰三角形ABC中，三边分别为a、b、c，其中4，若b、c是关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）0的两个实数根，求ABC的周长【答案】ABC的周长为10【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当a4为腰长时，将x4代入原方程，得：解得： 当时，原方程为x26x+80，解得：x12，x24，此时ABC的周长为4+4+210；当a4为底长时，（2k+1）2414（k）（2k3）20，解得：k，b+c2k+14b+c4a，此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形ABC的周长为10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键3解方程：（2x+1）2=2x+1【答案】x=0或x=.【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：（2x+1）2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+11）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=4关于x的一元二次方程x22x(n1)0有两个不相等的实数根(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】(1)n0；(2)x10，x22【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知， 解之得：；(2) 且为取值范围内的最小整数，则方程为，即，解得【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根）是解题关键.5已知关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；（2）4或4.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是2、3时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m无论取何值，（m2）2+440，即0.关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是1，121（m2）（2m1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为13=4.当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为13=4.6关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值【答案】（1）k4且k2.（2）m=0或m=. 【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的值.详解：(1)一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，=16-8(k-2)=32-8k0且k-20.解得：k4且k2. (2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x2-4x+3=0，解此方程得：x1=1，x2=3. 把x=1时，代入方程x2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.把x=3时，代入方程x2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=.m=0或m=.点睛：（1）知道“在一元二次方程中，当=时，方程有两个不相等的实数根；当=时，方程有两个相等的实数根；=时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.7为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100在30人基础上降低的人数2）参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可试题解析：10030=30003150，该班参加研学游活动的学生数超过30人设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为1002（x30）元，由题意得：x1002（x30）=3150，整理得x280x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为1002（3530）=9080，符合题意当x=45时，人均旅游费用为1002（4530）=7080，不符合题意，应舍去答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动考点：一元二次方程的应用8已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)证明： (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位：件）是关于时间（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间/天131020日销售量/件98948060这20天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得: 解得:k=-2,b=100关于的函数关系式为:.（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，当时，.在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：，对称轴为：，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2得出其判别式0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值【详解】（1）方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k10且=12k+130，解得：k且k1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2x1+x2=0，=0，k=又k且k1，k不存在【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q
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