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3.2 函 数 模 型 及 其 应 用3.2.1 几 类 不 同 增 长 的 函 数 模 型 【 知 识 提 炼 】三 种 函 数 模 型 的 性 质 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0)在 (0,+ )上的 增 减 性 _ _ _图 象 的 变 化趋 势 随 x增 大 逐 渐 近 似与 _平 行 随 x增 大 逐 渐 近似 与 _平 行 随 n值 而 不 同增 函 数 增 函 数 增 函 数y轴 x轴 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0)增 长 速 度 y=ax(a1):随 着 x的 增 大 ,y增 长 速 度 _,会 远远 大 于 y=xn(n0)的 增 长 速 度 ,y=logax(a1)的 增 长 速 度_ 存 在 一 个 x0,当 xx0时 ,有 _越 来 越 快越 来 越 慢 axxnlogax 【 即 时 小 测 】1.思 考 下 列 问 题(1)在 区 间 (0,+ )上 ,当 a1,n0时 ,是 否 总 有 logaxxn1,n0,xx0时 ,logaxxnx0时 ,数 量 增 加 特 别快 ,足 以 体 现 “ 爆 炸 ” 的 效 果 . 2.已 知 变 量 y=1+2x,当 x减 少 1个 单 位 时 ,y的 变 化 情 况 是 ( )A.y减 少 1个 单 位 B.y增 加 1个 单 位C.y减 少 2个 单 位 D.y增 加 2个 单 位【 解 析 】 选 C.由 y=1+2x可 知 ,当 x减 少 1个 单 位 时 ,y相 应 减 少 2个 单 位 . 3.某 超 市 每 月 的 利 润 的 平 均 增 长 率 为 2%,若 12月 份 的 利 润 是 当 年 1月 份利 润 的 m倍 ,则 m等 于 ( )A.(1.02)12 B.(1.02)11 C.(0.98)12 D.(0.98)11【 解 析 】 选 B.设 1月 份 的 利 润 为 a,则 当 年 12月 份 的 利 润 为 a(1+2%)11,故 m=(1.02)11. 4.在 函 数 y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中 增 长 速 度 最 快 的 是 .【 解 析 】 由 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 一 次 函 数 的 增 长 差 异 可 判断 出 y=3x的 增 长 速 度 最 快 .答 案 :y=3x 5.如 图 所 示 曲 线 反 映 的 是 函 数 模 型 的 增 长 趋 势 . 【 解 析 】 由 图 象 知 ,此 函 数 的 增 长 速 度 越 来 越 慢 ,因 此 反 映 的 是 幂 函 数模 型 或 对 数 型 函 数 模 型 的 增 长 速 度 .答 案 :幂 函 数 或 对 数 型 【 知 识 探 究 】知 识 点 几 类 函 数 模 型 的 增 长 差 异观 察 图 形 ,回 答 下 列 问 题 : 问 题 1:函 数 t(x),f(x),g(x),h(x)随 着 x的 增 大 ,函 数 值 有 什 么 共 同 的变 化 趋 势 ?问 题 2:函 数 t(x),f(x),g(x),h(x)增 长 的 速 度 有 什 么 不 同 ? 【 总 结 提 升 】1.四 类 不 同 增 长 的 函 数 模 型(1)增 长 速 度 不 变 的 函 数 模 型 是 一 次 函 数 模 型 .(2)增 长 速 度 最 快 即 呈 现 爆 炸 式 增 长 的 函 数 模 型 是 指 数 型 函 数 模 型 .(3)增 长 速 度 较 慢 的 函 数 模 型 是 对 数 型 函 数 模 型 .(4)增 长 速 度 平 稳 的 函 数 模 型 是 幂 函 数 模 型 . 2.几 类 函 数 模 型 的 选 择(1)一 次 函 数 模 型 :当 x增 加 一 个 单 位 时 ,y增 加 或 减 少 的 量 为 定 值 ,则 y是 x的 一 次 函 数 ,一 次 函 数 的 图 象 为 直 线 .(2)二 次 函 数 模 型 :二 次 函 数 是 常 用 的 重 要 模 型 ,y是 x或 其 他 量 的 二 次函 数 ,常 用 来 求 最 大 值 或 最 小 值 问 题 ,要 注 意 定 义 域 .(3)指 数 函 数 模 型 、 对 数 函 数 模 型 :当 问 题 中 每 期 (或 每 年 、 每 段 等 )的增 长 率 相 同 ,则 为 指 数 函 数 模 型 或 对 数 函 数 模 型 ,一 般 与 增 长 率 、 衰 减率 、 利 息 等 现 实 生 活 联 系 紧 密 . 【 知 识 拓 展 】 求 解 数 学 应 用 题 必 须 突 破 的 三 关(1)阅 读 理 解 关 :一 般 数 学 应 用 题 的 文 字 阅 读 量 都 比 较 大 ,要 通 过 阅 读审 题 ,找 出 关 键 词 、 句 ,理 解 其 意 义 .(2)建 模 关 :即 建 立 实 际 问 题 的 数 学 模 型 ,将 其 转 化 为 数 学 问 题 .(3)数 理 关 :运 用 恰 当 的 数 学 方 法 去 解 决 已 建 立 的 数 学 模 型 . 【 题 型 探 究 】类 型 一 几 类 函 数 模 型 的 增 长 差 异【 典 例 】 1.(2015 怀 柔 高 一 检 测 )四 个 变 量 y1,y2,y3,y4随 变 量 x变 化的 数 据 如 下 表 :关 于 x呈 指 数 函 数 变 化 的 变 量 是 .x 1 5 10 15 20 25 30y 1 1 25 100 225 400 625 900y2 2 32 1 024 32 768 1.1 106 3.4 107 1.1 109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.32 5.32 5.91 6.32 6.64 6.91 2.函 数 f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)= 的 图 象 如 图 所 示 ,试 分 别 指 出各 曲 线 对 应 的 函 数 ,并 比 较 三 个 函 数 的 增 长 差 异 (以 1,e,a,b,c,d为 分界 点 ). 12x 【 解 题 探 究 】 1.典 例 1表 格 中 四 个 变 量 y1,y2,y3,y4随 变 量 x变 化 最 快 的是 哪 一 组 ?提 示 :由 表 中 的 数 据 可 以 看 出 y2随 着 x变 化 ,数 值 增 长 的 速 度 最 快 .2.典 例 2中 判 断 各 曲 线 对 应 的 函 数 的 关 键 是 什 么 ?1,e,a,b,c,d的 含 义是 什 么 ?提 示 :关 键 是 依 据 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 的 增 长 速 度 ,判 断 各 曲线 对 应 的 函 数 .1,e,a,b,c,d的 含 义 是 相 应 曲 线 交 点 的 横 坐 标 . 【 解 析 】 1.从 表 格 观 察 函 数 值 y1,y2,y3,y4的 增 加 值 ,哪 个 变 量 的 增 加值 最 大 ,则 该 变 量 关 于 x呈 指 数 函 数 变 化 .从 表 格 中 可 以 看 出 ,变 量y2,y3,y4均 是 从 2开 始 变 化 ,变 量 y1,y2,y3,y4都 是 越 来 越 大 ,但 是 增 长 速度 不 同 ,其 中 变 量 y2的 增 长 速 度 最 快 ,根 据 指 数 函 数 变 化 的 特 点 ,可 知变 量 y2随 着 x变 化 呈 指 数 函 数 变 化 .答 案 :y2 2.由 指 数 爆 炸 、 对 数 增 长 、 幂 函 数 增 长 的 差 异 可 得 曲 线 C1对 应 的 函 数是 f(x)=1.1x,曲 线 C2对 应 的 函 数 是 h(x)= ,曲 线 C3对 应 的 函 数 是g(x)=lnx+1.由 题 图 知 ,当 0 xh(x)g(x);当 1xg(x)h(x);当 exf(x)h(x);当 axh(x)f(x);当 bxg(x)f(x);当 cxf(x)g(x);当 xd时 ,f(x)h(x)g(x). 12x 【 方 法 技 巧 】 常 见 的 函 数 模 型 及 增 长 特 点(1)线 性 函 数 模 型 :线 性 函 数 模 型 y=kx+b(k0)的 增 长 特 点 是 直 线 上 升 ,其 增 长 速 度 不 变 .(2)指 数 函 数 模 型 :能 用 指 数 型 函 数 f(x)=abx+c(a,b,c为 常 数 ,a0,b1)表 达 的 函 数 模 型 ,其 增 长 特 点 是 随 着 自 变 量 x的 增 大 ,函 数 值 增 长 的 速度 越 来 越 快 ,常 称 之 为 “ 指 数 爆 炸 ” . (3)对 数 函 数 模 型 :能 用 对 数 型 函 数 f(x)=mlogax+n(m,n,a为 常数 ,m0,x0,a1)表 达 的 函 数 模 型 ,其 增 长 的 特 点 是 开 始 阶 段 增 长 得 较快 ,但 随 着 x的 逐 渐 增 大 ,其 函 数 值 变 化 得 越 来 越 慢 ,常 称 之 为 “ 蜗 牛 式增 长 ” .(4)幂 函 数 模 型 :能 用 幂 型 函 数 f(x)=ax +b(a,b, 为 常 数 ,a 0, 1)表 达 的 函 数 模 型 ,其 增 长 情 况 由 a和 的 取 值 确 定 ,常 见 的 有 二次 函 数 模 型 和 反 比 例 函 数 模 型 . 【 变 式 训 练 】 有 一 组 数 据 如 下 表 :现 准 备 用 下 列 函 数 中 的 一 个 近 似 表 示 这 些 数 据 满 足 的 规 律 ,则 其 中 最接 近 的 一 个 是 ( )A.v=log2t B.v= tC.v= D.v=2t-2t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.04 7.5 12 18.0112log2t 12 【 解 析 】 选 C.取 t=1.99 2,代 入 A,得 v=log22=1 1.5,代 入 B,得 v= =-1 1.5,代 入 C,得 v= =1.5,代 入 D,得 v=2 2-2 1.5.经 计 算 可 知 最 接 近 的 一 个 是 选 项 C.12log 2 22 12 类 型 二 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 模 型 的 比 较【 典 例 】 (2015 赤 峰 高 一 检 测 )函 数 f(x)=2x和 g(x)=x3的 图 象 如 图 所示 .设 两 函 数 的 图 象 交 于 点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所 以1x12,9x2g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所 以1x12,9x210,所 以 x16x2.从 图 象 上 可 以 看 出 ,当 x1xx2时 ,f(x)g(x),所 以 f(6)x2时 ,f(x)g(x),所 以f(2011)g(2011).又 因 为 g(2011)g(6),所 以 f(2011)g(2011)g(6)f(6). 【 延 伸 探 究 】1.(改 变 条 件 )若 将 “ 函 数 f(x)=2x” 改 为 “ f(x)=3x” ,又 如 何 求 解 (1)呢 ?【 解 析 】 由 图 象 的 变 化 趋 势 以 及 指 数 函 数 和 幂 函 数 的 增 长 速 度 可知 :C1对 应 的 函 数 为 g(x)=x3,C2对 应 的 函 数 为 f(x)=3x. 2.(改 变 问 法 )本 例 条 件 不 变 ,(2)中 结 论 若 改 为 :试 结 合 图 象 ,判 断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的 大 小 .【 解 析 】 因 为 f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所 以1x12,9x210,所 以 x18x2.从 图 象 上 可 以 看 出 ,当 x1xx2时 ,f(x)g(x),所 以 f(8)x2时 ,f(x)g(x),所 以 f(2015)g(2015).又 因 为 g(2015)g(8),所以 f(2015)g(2015)g(8)f(8). 【 方 法 技 巧 】 由 图 象 判 断 指 数 函 数 、 对 数 函 数 和 幂 函 数 的 方 法 根 据 图 象 判 断 增 长 型 的 指 数 函 数 、 对 数 函 数 和 幂 函 数 时 ,通 常 是观 察 函 数 图 象 上 升 得 快 慢 ,即 随 着 自 变 量 的 增 长 ,图 象 最 “ 陡 ” 的 函 数是 指 数 函 数 ,图 象 趋 于 平 缓 的 函 数 是 对 数 函 数 . 【 补 偿 训 练 】 (2015 包 头 高 一 检 测 )函 数 f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的 图象 如 图 所 示 : (1)试 根 据 函 数 的 增 长 差 异 指 出 曲 线 C1,C2分 别 对 应 的 函 数 .(2)比 较 两 函 数 的 增 长 差 异 (以 两 图 象 交 点 为 分 界 点 ,对 f(x),g(x)的 大小 进 行 比 较 ). 【 解 析 】 (1)曲 线 C1对 应 的 函 数 为 g(x)=0.3x-1,C2对 应 的 函 数 为f(x)=lgx.(2)当 0 xf(x);当 x1xg(x);当 xx2时 ,g(x)f(x);当 x=x1或 x=x2时 ,g(x)=f(x). 【 延 伸 探 究 】1.(改 变 问 法 )本 题 条 件 不 变 ,试 根 据 图 象 确 定 x1与 1,x2与 10的 大 小 关系 .【 解 析 】 根 据 C2对 应 的 函 数 关 系 式 为 f(x)=lgx,结 合 图 象 与 x的 交 点 为(1,0)可 知 ,x1f(10),根 据 图 象 ,可 知 x20,g(3)=0.3 3-1f(10),结 合 图 象 可 知 3x210,由 于 当 1xg(x),故f(1.5)g(1.5);由 于 x210时 ,g(x)f(x),故g(2015)f(2015),又 因 为 f(2015)f(1.5),所 以g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5). 类 型 三 函 数 模 型 的 选 择 问 题【 典 例 】 1.(2015 临 汾 高 一 检 测 )某 公 司 为 了 适 应 市 场 需 求 ,对 产 品结 构 做 了 重 大 调 整 .调 整 后 初 期 利 润 增 长 迅 速 ,后 来 增 长 越 来 越 慢 ,若要 建 立 恰 当 的 函 数 模 型 来 反 映 该 公 司 调 整 后 利 润 y与 产 量 x的 关 系 ,则可 选 用 ( )A.一 次 函 数 B.二 次 函 数C.指 数 型 函 数 D.对 数 型 函 数 2.(2015 邯 郸 高 一 检 测 )某 工 厂 生 产 某 种 产 品 ,每 件 产 品 的 出 厂 价 为50元 ,其 成 本 价 为 25元 ,因 为 在 生 产 过 程 中 平 均 每 生 产 一 件 产 品 有 0.5立 方 米 污 水 排 出 ,为 了 净 化 环 境 ,工 厂 设 计 两 套 方 案 对 污 水 进 行 处 理 ,并 准 备 实 施 .方 案 一 :工 厂 的 污 水 先 净 化 处 理 后 再 排 出 ,每 处 理 1立 方 米 污 水 所 用 原料 费 2元 ,并 且 每 月 排 污 设 备 损 耗 费 为 30000元 ;方 案 二 :工 厂 将 污 水 排 到 污 水 处 理 厂 统 一 处 理 ,每 处 理 1立 方 米 污 水 需付 14元 的 排 污 费 .问 : (1)工 厂 每 月 生 产 3000件 产 品 时 ,你 作 为 厂 长 ,在 不 污 染 环 境 ,又 节 约 资金 的 前 提 下 应 选 择 哪 种 方 案 ?通 过 计 算 加 以 说 明 .(2)若 工 厂 每 月 生 产 6000件 产 品 ,你 作 为 厂 长 ,又 该 如 何 决 策 呢 ? 【 解 题 探 究 】 1.典 例 1中 由 “ 初 期 利 润 增 长 迅 速 ,后 来 增 长 越 来 越 慢 ” ,联 想 到 哪 类 函 数 的 增 长 特 性 ?提 示 :符 合 对 数 函 数 的 增 长 特 点 .2.典 例 2中 要 进 行 两 种 方 案 的 选 择 ,需 对 两 种 方 案 进 行 什 么 比 较 ?提 示 :需 分 为 每 月 生 产 3000件 产 品 ,每 月 生 产 6000件 产 品 两 种 情 况 下 分别 计 算 出 两 种 方 案 的 利 润 ,进 行 比 较 利 润 大 小 ,作 出 选 择 . 【 解 析 】 1.选 D.一 次 函 数 保 持 均 匀 的 增 长 ,不 符 合 题 意 ;二 次 函 数 在 对称 轴 的 两 侧 有 增 也 有 降 ;而 指 数 函 数 是 爆 炸 式 增 长 ,不 符 合 “ 增 长 越 来越 慢 ” ;因 此 ,只 有 对 数 函 数 最 符 合 题 意 ,先 快 速 增 长 ,后 来 越 来 越 慢 . 2.设 工 厂 每 月 生 产 x件 产 品 时 ,依 方 案 一 的 利 润 为 y1,依 方 案 二 的 利 润为 y2,由 题 意 知y1=(50-25)x-2 0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14 0.5x=18x.(1)当 x=3000时 ,y1=42000,y2=54000,因 为 y1y2,所 以 应 选 择 方 案 一处 理 污 水 . 【 方 法 技 巧 】 解 函 数 应 用 题 的 四 个 步 骤第 一 步 :阅 读 、 理 解 题 意 ,认 真 审 题 .读 懂 题 中 的 文 字 叙 述 ,理 解 叙 述 所 反 映 的 实 际 背 景 ,领 悟 从 背 景 中 概 括出 来 的 数 学 实 质 .审 题 时 要 抓 住 题 目 中 的 关 键 量 ,善 于 联 想 、 化 归 ,实现 应 用 问 题 向 数 学 问 题 的 转 化 . 第 二 步 :引 进 数 学 符 号 ,建 立 数 学 模 型 .一 般 地 ,设 自 变 量 为 x,函 数 为 y,并 用 x表 示 各 相 关 量 ,然 后 根 据 已 知 条件 ,运 用 已 掌 握 的 数 学 知 识 、 物 理 知 识 及 其 他 相 关 知 识 建 立 函 数 关 系式 ,将 实 际 问 题 转 化 为 一 个 数 学 问 题 ,实 现 问 题 的 数 学 化 ,即 所 谓 建 立数 学 模 型 .第 三 步 :利 用 数 学 方 法 解 答 得 到 的 常 规 数 学 问 题 (即 数 学 模 型 ),求 得 结果 .第 四 步 :再 转 译 成 具 体 问 题 作 出 解 答 . 【 变 式 训 练 】 (2015 抚 顺 高 一 检 测 )某 文 具 店 出 售 软 皮 本 和 铅 笔 ,软皮 本 每 本 2元 ,铅 笔 每 枝 0.5元 ,该 店 推 出 两 种 优 惠 办 法 :(1)买 一 本 软 皮本 赠 送 一 枝 铅 笔 ;(2)按 总 价 的 92%付 款 .现 要 买 软 皮 本 4本 ,铅 笔 若 干 枝(不 少 于 4枝 ),若 购 买 铅 笔 数 为 x枝 ,支 付 款 数 为 y元 ,试 分 别 建 立 两 种 优惠 办 法 中 y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ,并 说 明 使 用 哪 种 优 惠 办 法 更 合 算 ? 【 解 题 指 南 】 根 据 题 意 列 出 两 个 一 次 函 数 关 系 式 ,办 法 (1)的 函 数 模 型增 长 得 快 ,办 法 (2)的 函 数 模 型 增 长 得 慢 . 【 解 析 】 由 优 惠 办 法 (1)得 到 y与 x的 函 数 关 系 式 为 :y=2 4+0.5(x-4)=0.5x+6(x 4,且 x N).由 优 惠 办 法 (2)得 到 y与 x的 函 数 关 系 式 为 :y=(0.5x+2 4) 92%=0.46x+7.36(x 4,且 x N).令 0.5x+6=0.46x+7.36,解 得 x=34,且 当 4 x34时 ,0.5x+634时 ,0.5x+60.46x+7.36,即 当 购 买 铅 笔 数 少 于 34枝 (不 少 于 4枝 )时 ,用优 惠 办 法 (1)合 算 ;当 购 买 铅 笔 数 多 于 34枝 时 ,用 优 惠 办 法 (2)合 算 ;当购 买 铅 笔 数 是 34枝 时 ,两 种 优 惠 办 法 支 付 的 总 钱 数 是 相 同 的 ,即 一 样 合算 . 【 补 偿 训 练 】 有 甲 ,乙 两 家 健 身 中 心 ,两 家 设 备 和 服 务 都 相 当 ,但 收 费方 式 不 同 .甲 中 心 每 小 时 5元 ;乙 中 心 按 月 计 费 ,一 个 月 中 30小 时 以 内(含 30小 时 )90元 ,超 过 30小 时 的 部 分 每 小 时 2元 .某 人 准 备 下 个 月 从 这两 家 中 选 择 一 家 进 行 健 身 活 动 ,其 活 动 时 间 不 少 于 15小 时 ,也 不 超 过 40小 时 .(1)设 在 甲 中 心 健 身 活 动 x小 时 的 收 费 为 f(x)元 ,在 乙 中 心 健 身 活 动 x小时 的 收 费 为 g(x)元 ,试 求 f(x)和 g(x).(2)问 :选 择 哪 家 比 较 合 算 ?为 什 么 ? 【 解 析 】 (1)f(x)=5x,15 x 40,(2)当 5x=90时 ,x=18,即 当 15 x18时 ,f(x)g(x);当 x=18时 ,f(x)=g(x),当 18g(x);所 以 当 15 x18时 ,选 甲 比 较 合 算 ;当 x=18时 ,两 家 一 样 合 算 ;当18 ,得 出 100 2x比 ex增 大速 度 快 的 错 误 结 论 . 1100 1100 【 自 我 矫 正 】 选 A.指 数 爆 炸 式 形 如 指 数 函 数 .由 于 影 响 指 数 型 函 数 增长 速 度 的 量 是 指 数 函 数 的 底 数 ,因 为 e2,所 以 ex比 100 2x增 大 速度 快 . 1100 【 防 范 措 施 】 明 确 影 响 指 数 函 数 增 长 的 因 素 影 响 指 数 函 数 增 长 速 度 的 量 是 指 数 函 数 的 底 数 ,而 非 其 系 数 .如 本题 y= ex与 y=100 2x,底 数 e2,因 此 系 数 对 其 影 响 可 以 忽 略 ,故y= ex的 增 长 速 度 大 于 y=100 2x的 增 长 速 度 .11001100
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