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第 三 节等 比 数 列 及 其 前 n项 和 【 知 识 梳 理 】1.等 比 数 列 的 有 关 概 念(1)定 义 : 文 字 语 言 :从 _起 ,每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 _都等 于 _一 个 常 数 . 符 号 语 言 :_(n N*,q为 非 零 常 数 ).第 2项 比n 1na qa 同 (2)等 比 中 项 :如 果 a,G,b成 等 比 数 列 ,那 么 _叫 做 a与 b的 等 比 中 项 .即 :G是 a与 b的 等 比 中 项 a,G,b成 等 比 数列 G2=_. Gab 2.等 比 数 列 的 有 关 公 式(1)通 项 公 式 :an=_.(2)前 n项 和 公 式 :Sn= _ q 1_ _ q 1. ，a1qn-1na1 n1a 1 q1 q 1 na a q1 q 3.等 比 数 列 的 性 质(1)通 项 公 式 的 推 广 :an=am qn-m(m,n N*).(2)对 任 意 的 正 整 数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则 _=_.特 别 地 ,若 m+n=2p,则 _. am anap aq am an=ap2 (3)若 等 比 数 列 前 n项 和 为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍 成 等比 数 列 ,即 (S2m-Sm)2=_(m N*,公 比 q -1).(4)数 列 an是 等 比 数 列 ,则 数 列 pan(p 0,p是 常 数 )也 是 _数 列 . Sm(S3m-S2m)等 比 (5)在 等 比 数 列 an中 ,等 距 离 取 出 若 干 项 也 构 成 一 个等 比 数 列 ,即 an,an+k,an+2k,an+3k, 为 等 比 数 列 ,公 比 为_.qk 【 特 别 提 醒 】1.等 比 数 列 的 概 念 的 理 解(1)等 比 数 列 中 各 项 及 公 比 都 不 能 为 零 .(2)由 an+1=qan(q 0),并 不 能 断 言 an为 等 比 数 列 ,还要 验 证 a1 0.(3)等 比 数 列 中 奇 数 项 的 符 号 相 同 ,偶 数 项 的 符 号 相 同 . 2.等 比 数 列 an的 单 调 性(1)满 足 或 时 ,an是 递 增 数 列 .(2)满 足 或 时 ,an是 递 减 数 列 .(3)当 时 ,an为 常 数 列 .(4)当 q1,所 以 q=2,所 以 a1=1.故 数 列 an的 通 项 为 an=2n-1.答 案 :2n-1 1 2 31 3 2a a a 7a 3 a 4 3a .2 ，2q 2q 12 【 规 律 方 法 】 等 比 数 列 运 算 的 思 想 方 法(1)方 程 思 想 :设 出 首 项 a1和 公 比 q,然 后 将 通 项 公 式 或前 n项 和 公 式 转 化 为 方 程 (组 )求 解 .(2)整 体 思 想 :当 所 给 条 件 只 有 一 个 时 ,可 将 已 知 和 所 求结 果 都 用 a1,q表 示 ,寻 求 两 者 联 系 ,整 体 代 换 即 可 求 . (3)利 用 性 质 :运 用 等 比 数 列 性 质 ,可 以 化 繁 为 简 、 优 化解 题 过 程 .易 错 提 醒 :在 使 用 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 时 ,如 果 不 确定 q与 1的 关 系 ,一 般 要 用 分 类 讨 论 的 思 想 ,分 q=1和 q 1两 种 情 况 . 【 变 式 训 练 】 (2016 芜 湖 模 拟 )在 等 比 数 列 an中 ,a3=7,前 3项 和 S3=21,则 公 比 q的 值 为 ( )A.1 B.-C.1或 - D.-1或1212 12 【 解 析 】 选 C.根 据 已 知 条 件 得 得 整 理 得 2q2-q-1=0,解 得 q=1或 q=- . 21 21 1 1aq 7,a aq aq 21, 221 q q 3.q 12 【 加 固 训 练 】1.已 知 x,y,z R,若 -1,x,y,z,-3成 等 比 数 列 ,则 xyz的值 为 ( )A.-3 B. 3C.-3 D. 33 3 【 解 析 】 选 C.由 等 比 中 项 知 y2=3,所 以 y= ,又 因 为 y与 -1,-3符 号 相 同 ,所 以 y=- ,y2=xz,所 以 xyz=y3=-3 . 333 2.已 知 an为 等 比 数 列 ,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10= ( )A.7 B.5 C.-5 D.-7 【 解 析 】 选 D.设 数 列 an的 公 比 为 q,所 以 a 1+a10=-7.4 7 4 47 75 6 4 71 13 31 110 10a a 2 a 4 a 2a 2 a 4a a a a 8a 8 a 11q q 22a 8 a 1a 1 a 8 ，由得或，所以或，所以或， 3.(2016 长 治 模 拟 )已 知 等 比 数 列 an为 递 增 数 列 ,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数 列 an的 通 项 公 式 an= . 【 解 析 】 设 公 比 为 q,由 a52=a10得 (a1q4)2=a1 q9,即 a1=q.又 由 2(an+an+2)=5an+1,得 2q2-5q+2=0,解 得 所 以 an=a1 qn-1=2n.答 案 :2n 1q 2(q )2 舍， 考 向 二 等 比 数 列 前 n项 和 及 性 质 的 应 用【 典 例 2】 (1)(2016 岳 阳 模 拟 )设 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,若 则 = ( )63S 3S ，96SS7 8A.2 B. C. D.33 3 (2)(2016 成 都 模 拟 )设 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,a1=1,且 数 列 Sn是 以 2为 公 比 的 等 比 数 列 . 求 数 列 an的 通 项 公 式 ; 求 a1+a3+ +a2n+1. 【 解 题 导 引 】 (1)将 已 知 及 所 求 结 果 都 用 a1,q表 示 ,或利 用 等 比 数 列 的 和 的 性 质 求 解 .(2)先 求 出 Sn,再 求 出 an,最 后 转 化 为 等 比 数 列 求 和 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 B.方 法 一 :若 公 比 q=1,则 所 以 公 比 q 1,由 得6 13 1S 6a 2 3S 3a ，63S 3S 61 3 331 91 33 39 2 26 36 1a 1 q1 q 1 q 3 q 2a 1 q1 q a 1 q 1 qS 1 2 71 q .S 1 2 3a 1 q 1 q1 q ，所以 方 法 二 :因 为 an为 等 比 数 列 ,由 ,设 S6=3a,S3=a,所 以 S3,S6-S3,S9-S6为 等 比 数 列 ,即 a,2a,S9-S6成 等 比 数列 ,所 以 S9-S6=4a,解 得 S9=7a,所 以 63S 3S 96S 7a 7.S 3a 3 (2) 因 为 S1=a1=1,且 数 列 Sn是 以 2为 公 比 的 等 比 数 列 ,所 以 Sn=2n-1,又 当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.所 以 n n 21,n 1,a 2 ,n 2. a3,a5, ,a2n+1是 以 2为 首 项 ,4为 公 比 的 等 比 数 列 ,所 以 a3+a5+ +a2n+1= 所 以 a1+a3+ +a2n+1= n n2 1 4 2 4 1 .1 4 3 n 2n 12 4 1 2 11 .3 3 【 易 错 警 示 】 解 答 典 例 2(2)会 出 现 以 下 错 误 :把 a3,a5, ,a2n+1认 为 是 以 1为 首 项 ,以 2为 公 比 的 等 比 数列 ,项 数 误 认 为 是 2n-1. 【 规 律 方 法 】1.与 等 比 数 列 前 n项 和 Sn相 关 的 分 类 讨 论(1)运 用 求 和 公 式 时 针 对 公 比 q的 讨 论 .(2)针 对 项 数 n的 奇 偶 的 讨 论 . 2.与 等 比 数 列 前 n项 和 Sn相 关 的 结 论(1)项 的 个 数 的 “ 奇 偶 ” 性 质 :等 比 数 列 an中 ,公 比 为 q. 若 共 有 2n项 ,则 S偶 S奇 =q; 若 共 有 2n+1项 ,则 S奇 -S偶 = (q 1且 q -1).(2)分 段 求 和 :Sn+m=Sn+qnSm qn= (q为 公 比 ).1 2n 1a a q1 q n m nmS SS 【 变 式 训 练 】 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q,前 n项 和Sn0(n=1,2,3, ).则 q的 取 值 范 围 为 .【 解 析 】 因 为 an为 等 比 数 列 ,Sn0,可 以 得 到 a1=S10,q 0,当 q=1时 ,Sn=na10;当 q 1时 ,Sn= 0, n1a 1 q1 q 即 0(n=1,2,3, ),上 式 等 价 于 不 等 式 组 (n=1,2,3, ),或 (n=1,2,3, ).解 式 得 q1,解 式 ,由 于 n可 为 奇 数 ,可 为 偶 数 ,得 -1q0,因 此 ,S20=30,S20-S10=20,S40=70+80=150. 2.(2016 抚 州 模 拟 )已 知 等 比 数 列 an的 首 项 为 1,项数 是 偶 数 ,所 有 的 奇 数 项 之 和 为 85,所 有 的 偶 数 项 之 和为 170,则 这 个 等 比 数 列 的 项 数 为 ( )A.4 B.6 C.8 D.10 【 解 析 】 选 C.由 题 意 得 a1+a3+ =85,a2+a4+ =170,所以 数 列 an的 公 比 q=2,由 数 列 an的 前 n项 和 Sn=得 85+170= ,解 得 n=8. n1a 1 q ,1 qn1 21 2 3.已 知 an是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ,a1=1,且 a1,a3,a9成 等 比 数 列 .(1)求 数 列 an的 通 项 .(2)求 数 列 的 前 n项 和 Sn.na2 【 解 析 】 (1)由 题 设 知 公 差 d 0,由 a1=1,a1,a3,a9成 等比 数 列 得 解 得 d=1或 d=0(舍 去 ),故 an的 通 项 an=1+(n-1) 1=n.(2)由 (1)知 =2n,由 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 得 Sn=2+22+23+ +2n=2n+1-2. 1 2d 1 8d,1 1 2d na2 n2 1 21 2 考 向 三 等 比 数 列 的 识 别 与 证 明【 考 情 快 递 】命 题 方 向 命 题 视 角等 比 数 列 的 识别 在 具 体 的 问 题 情 境 中 ,识 别 数 列 的 等比 关 系 ,并 解 决 相 应 的 问 题等 比 数 列 的 证明 主 要 考 查 等 比 数 列 的 定 义 及 递 推 关系 的 处 理 【 考 题 例 析 】命 题 方 向 1:等 比 数 列 的 识 别【 典 例 3】 (1)(2014 重 庆 高 考 )对 任 意 等 比 数 列 an,下 列 说 法 一 定 正 确 的 是 ( )A.a1,a3,a9成 等 比 数 列 B.a2,a3,a6成 等 比 数 列C.a2,a4,a8成 等 比 数 列 D.a3,a6,a9成 等 比 数 列 (2)(2016 赣 南 模 拟 )在 等 比 数 列 an中 ,若 a1= ,a4=-4,则 |a1|+|a2|+ +|an|= . 12 【 解 题 导 引 】 (1)由 an是 等 比 数 列 ,寻 找 各 选 项 中 三个 项 的 关 系 即 可 识 别 .(2)先 求 出 an,再 求 出 |an|后 求 解 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 D.设 等 比 数 列 的 公 比 为 q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满 足 (a1q5)2=a1q2 a1q8,即 a62=a3 a9. (2)因 为 a4= q3=-4,所 以 q=-2,所 以 an= 所 以 |an|=2n-2,故 数 列 |an|是 首 项 为 ,公 比 为 2的 等 比 数 列 ,所 以 |a1|+|a2|+ +|an|= (1+2+22+ +2n-1)=答 案 :2n-1- 12 n 11 ( 2)2 ，12 12 n n 11 1 2 12 2 .1 2 2 12 【 母 题 变 式 】1.若 本 例 题 (2)条 件 不 变 ,求 【 解 析 】 因 为 an= 所 以 故 数 列 是 首 项 为 4,公 比 为 的 等 比 数 列 ,所 以 2 2 21 2 n1 1 1 .a a a n 11 ( 2)2 ，n 12n1 14( )a 4 ，2n1a 14n2 2 2 n1 2 n 14(1 )1 1 1 16 14 (1 ).1a a a 3 41 4 2.若 本 例 题 (2)条 件 不 变 ,求 a1a2+a2a3+ +anan+1.【 解 析 】 因 为 an= 所 以 an an+1= (-2)n-1 (-2)n= (-2)2n-1. n 11 ( 2)2 ，12 1214 故 数 列 an an+1是 首 项 为 - ,公 比 为 4的 等 比 数 列 ,a1a2+a2a3+a3a4+ +anan+1 12 n n1 1 4 12 1 41 4 6 命 题 方 向 2:等 比 数 列 的 证 明【 典 例 4】 (2016 深 圳 模 拟 )数 列 an的 前 n项 和 为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n N*),设 bn=an+1-2an.(1)求 证 :bn是 等 比 数 列 .(2)设 cn= 求 证 :cn是 等 比 数 列 .na3n 1， 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 等 比 数 列 的 定 义 证 明 .(2)先 求 出 an,再 根 据 定 义 证 明 . 【 规 范 解 答 】 (1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an. n 1 n 2 n 1n n 1 nn 1 n n 1n 1 nn 1 nn 1 nb a 2ab a 2a4a 4a 2aa 2a2a 4a 2.a 2a 因 为 S2=a1+a2=4a1+2,所 以 a2=5.所 以 b1=a2-2a1=3.所 以 数 列 bn是 公 比 为 2,首 项 为 3的 等 比 数 列 . (2)由 (1)知 bn=3 2n-1=an+1-2an,所 以 所 以 数 列 是 等 差 数 列 ,公 差 为 3,首 项 为 2.所 以 =2+(n-1) 3=3n-1.所 以 an=(3n-1) 2n-2,所 以 cn=2n-2.n 1 nn 1 n 2a a 3.2 2 nn 2a2 nn 2a2 所 以 所 以 数 列 cn为 等 比 数 列 .n 1n 1 n 2nc 2 2.c 2 【 技 法 感 悟 】1.等 比 数 列 的 识 别 依 据(1)若 数 列 an,bn(项 数 相 同 )是 等 比 数 列 ,则 an, ,an2,an bn, ( 0)仍 然 是 等 比 数 列 .(2)an=c qn(c,q均 是 不 为 0的 常 数 ,n N*) an是 等比 数 列 .n1 a nna b (3)数 列 an的 前 n项 和 Sn=k qn-k(k为 常 数 且 k 0,q 0,1) an是 等 比 数 列 .2.证 明 等 比 数 列 的 两 种 基 本 方 法(1)定 义 法 :证 明 为 常 数 .(2)等 比 中 项 法 :证 明 an+12=an an+2(an an+1 an+2 0,n N*). n 1naa 【 题 组 通 关 】1.(2016 淮 南 模 拟 )设 an是 各 项 为 正 数 的 无 穷 数列 ,Ai是 边 长 为 ai,ai+1的 矩 形 的 面 积 (i=1,2, ),则 An为 等 比 数 列 的 充 要 条 件 是 ( )A.an是 等 比 数 列B.a1,a3, ,a2n-1, 或 a2,a4, ,a2n, 是 等 比 数 列 C.a1,a3, ,a2n-1, 和 a2,a4, ,a2n, 均 是 等 比 数 列D.a1,a3, ,a2n-1, 和 a2,a4, ,a2n, 均 是 等 比 数 列 ,且 公 比 相 同 【 解 析 】 选 D.An=anan+1,故 满 足 该 条件 的 只 有 A,D,而 显 然 D的 范 围 较 大 ,符 合 题 意 .2 3 3 3 4 41 2 1 2 3 2a a a a a aaa a a a a ， 2.(2016 长 沙 模 拟 )已 知 an是 首 项 为 1的 等 比 数 列 ,Sn是 an的 前 n项 和 ,且 9S3=S6,则 数 列 的 前 5项 和为 . n1 a 【 解 析 】 显 然 公 比 q 1,由 S6=S3+q3S3且 由 已 知 S6=9S3,所 以 S3+q3 S3=9S3,故 q3=8,解 得 q=2,则 数 列 是 以1为 首 项 , 为 公 比 的 等 比 数 列 ,由 求 和 公 式 可 得 数 列的 前 5项 和 T5= .答 案 : n1 a12 n1 a3116 3116 3.(2016 武 汉 模 拟 )设 an是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ,|q|1,令 bn=an+1(n=1,2, ).若 数 列 bn有 连 续 四 项 在 集 合-53,-23,19,37,82中 ,则 6q= . 【 解 析 】 因 为 bn=an+1,所 以 an=bn-1,而 bn有 连 续 四 项 在 集 合 -53,-23,19,37,82中 ,所 以 an有 连 续 四 项 在 集 合 -54,-24,18,36,81中 ,因 为 an是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ,|q|1.又 an中 连 续 四 项 至 少 有 一 项 为 负 ,所 以 q0, 所 以 an中 的 连 续 四 项 为 -24,36,-54,81,因 为 q= 所 以 6q=-9.答 案 :-9 36 324 2 ， 4.(2016 成 都 模 拟 )设 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,若 对于 任 意 的 正 整 数 n都 有 Sn=2an-3n,设 bn=an+3(an -3).求 证 :数 列 bn是 等 比 数 列 ,并 求 an.【 解 析 】 由 Sn=2an-3n对 于 任 意 的 正 整 数 都 成 立 ,得 Sn+1=2an+1-3(n+1),两 式 相 减 ,得 Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n,所 以 a n+1=2an+1-2an-3,即 an+1=2an+3, 所 以 an+1+3=2(an+3),又 an+3 0,故 对 一切 正 整 数 都 成 立 ,所 以 数 列 bn是 公 比 为 2的 等 比 数 列 .由 已 知 得 :S1=2a1-3,即 a1=2a1-3,所 以 a1=3,所 以 b1=a1+3=6,即 bn=6 2n-1.故 an=6 2n-1-3=3 2n-3. n 1 n 1n nb a 3 2b a 3
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