傅里叶变换__经典ppt

1 积 分 变 换Fourier变 换Recall: 周 期 函 数 在 一 定 条 件 下 可 以 展 开 为 Fourier级 数 ；但 全 直 线 上 的 非 周 期 函 数 不 能 用 Fourier表 示 ；引 进 类 似 于 Fourier级 数 的 Fourier积 分 (周 期 趋 于 无 穷 时 的 极 限 形 式 ) 2 1 Fourier积 分 公 式1.1 Recall: 在 工 程 计 算 中 , 无 论 是 电 学 还 是 力 学 , 经 常 要 和 随 时 间变 化 的 周 期 函 数 fT(t)打 交 道 . 例 如 :具 有 性 质 f T(t+T)=fT(t), 其 中 T称 作 周 期 , 而 1/T代 表单 位 时 间 振 动 的 次 数 , 单 位 时 间 通 常 取 秒 , 即 每 秒 重 复多 少 次 , 单 位 是 赫 兹 (Herz, 或 Hz). t 3 最 常 用 的 一 种 周 期 函 数 是 三 角 函 数 。 人 们 发 现 , 所 有的 工 程 中 使 用 的 周 期 函 数 都 可 以 用 一 系 列 的 三 角 函 数 的线 性 组 合 来 逼 近 . Fourier级 数方 波4个 正 弦 波 的 逼 近 100个 正 弦 波 的 逼 近 4 0 1 cos sin2T n nnaf t a n t b n t 研 究 周 期 函 数 实 际 上 只 须 研 究 其 中 的 一 个 周 期 内 的情 况 即 可 , 通 常 研 究 在 闭 区 间 -T/2,T/2内 函 数 变 化 的情 况 . 是 以 T为 周 期 的 函 数 ， 在 上 满 足 Tf t ,2 2T T Dirichlet条 件 ： Tf t 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ； Tf t 只 有 有 限 个 极 值 点 ； Tf t 可 展 开 成 Fourier级 数 ， 且 在 连 续 点 t处 成 立 ： 5 22222 ,2 cos 0,1,2,2 sin 1,2,Tn TTTn TT Ta f t n tdt nTb f t n tdt nT 其 中 0 10 0 cos sin2 2T T n nnf t f t a a n t b n t ：t在 间 断 点 处 成 立引 进 复 数 形 式 ：cos , sin2 2in t in t in t in te e e en t n t i 6 0 10 12 2 22 2 2in t in t in t in tn nn in t in tn n n nna e e e ea b ia a ib a ibe e 200 0 22 22 22 22 21, , ,2 2 21 1cos sin1 1cos sin1,2, Tn n n nn n TTT T in tTn TT TT T in tTn T nT Tn na a ib a ibc c d c f t dtTc f t n t i n t dt f t e dtT Td f t n t i n t dt f t e dt cT Tn c c 令 则 级 数 化 为 ： 7 221 0, 1, 2,T in tn TTc f t e dt nT 221 Tin t in in tn TTn nc e f e d eT nc F n Tn f tc 的 离 散 频 谱 ； arg Tnf tc 的 离 散 振 幅 频 谱 ； .Tf t n 的 离 散 相 位 频 谱 ；合 并 为 ：级 数 化 为 ：若 以 描 述 某 种 信 号 ， Tf t 则 可 以 刻 画 的 特 征 频 率 。nc Tf t 8 lim TT f t f t 对 任 何 一 个 非 周 期 函 数 f (t)都 可 以 看 成 是 由 某 个 周 期函 数 fT(t)当 T时 转 化 而 来 的 . 作 周 期 为 T的 函 数 fT(t), 使 其 在 -T/2,T/2之 内 等 于f (t), 在 -T/2,T/2之 外 按 周 期 T延 拓 到 整 个 数 轴 上 , 则 T越 大 , fT(t)与 f (t)相 等 的 范 围 也 越 大 , 这 就 说 明 当 T时 ,周 期 函 数 fT(t)便 可 转 化 为 f (t), 即 有 9 例 矩 形 脉 冲 函 数 为 1 10 1tf t t 如 图 所 示 : 1-1 O tf (t)1 10 4 4 ,2 2 ,4 2 2n nf t f t n nnT 1-1 3T=4f4(t) t 现 以 f (t)为 基 础 构 造 一 周 期 为 T的 周 期 函 数 fT(t), 令 T=4, 则 11 则 222 142 111 14 411 14 41sin1 1 sinc 0, 1, 2,2 2T nT n n n n n j tn T j t j tj t j j n nn nn c f t e dtT f t e dt e dte e ej j n 12 0sinsinc sinc sin0 , lim 1sinsinc 0 1, 1,0 xxx x xx xxx x 函 数 定 义 为严 格 讲 函 数 在 处 是 无 定 义 的 但 是 因 为所 以 定 义 用 不 严 格 的 形 式 就 写 作则 函 数 在 整 个 实 轴 连 续 。sinc(x) xsinc函 数 介 绍 13 前 面 计 算 出 1 sinc 0, 1, 2,2 2 ,2n nnc nnn n T 可 将 以 竖 线 标 在 频 率 图 上nc 14 8 8 ,2 2 ,8 4 4n nf t f t n nnT 1-1 7T=8f8(t) t 现 在 将 周 期 扩 大 一 倍 , 令 T=8, 以 f (t)为 基 础 构 造一 周 期 为 8的 周 期 函 数 f8(t) 15 则 224 184 111 18 811 18 81sin1 1 sinc 0, 1, 2,4 4T nT n n n n n j tn T j t j tj t j j n nn nn c f t e dtT f t e dt e dte e ej j n 16 则 在 T=8时 , 1 sinc 0, 1, 2,4 2 ,8 4n nnc nnn n 再 将 以 竖 线 标 在 频 率 图 上nc 17 如 果 再 将 周 期 增 加 一 倍 , 令 T=16, 可 计 算 出 1 sinc 0, 1, 2,8 2 ,16 8n nnc nnn n 再 将 以 竖 线 标 在 频 率 图 上nc 18 一 般 地 , 对 于 周 期 T 221111 11 11sin2 2 sinc 0, 1, 2,T nT n n n n j tn T j tj t j j n nn nn c f t e dtT e dtT e e eT j T j nT T 19 当 周 期 T越 来 越 大 时 , 各 个 频 率 的 正 弦 波 的 频 率 间隔 越 来 越 小 , 而 它 们 的 强 度 在 各 个 频 率 的 轮 廓 则 总 是sinc函 数 的 形 状 , 因 此 , 如 果 将 方 波 函 数 f (t)看 作 是 周期 无 穷 大 的 周 期 函 数 , 则 它 也 可 以 看 作 是 由 无 穷 多 个 无穷 小 的 正 弦 波 构 成 , 将 那 个 频 率 上 的 轮 廓 即 sinc函 数 的形 状 看 作 是 方 波 函 数 f (t)的 各 个 频 率 成 份 上 的 分 布 , 称作 方 波 函 数 f (t)的 傅 里 叶 变 换 . 20 2 2 , Dirichlet ,2 2Fourier ,12 , n n TT i tin tT n nn n T i t n n TT T Tf t Tf tf t c e c en n T c f t e dtT 设 为 周 期 函 数 ， 在 上 满 足 条 件则 可 展 开 为 级 数 : 22 j j1 ( ) d .T n nT tT Tnf t f e eT 即 lim TT f t f t 由 1.2 Fourier积 分 公 式 与 Fourier积 分 存 在 定 理 21 22 j j1lim d, T n nT tTT n nf t f e eTn 可 知当 取 一 切 整 数 时 所 对 应 的 点 便 均 匀 分布 在 整 个 数 轴 上 :T2 O 1 2 3 n-1nT2 )(,0 2)(21 连 续 变 量为此 时 视 ，无 关与令 nnn T TnT 22 22 22 j jj j0 1lim d1lim d2 T n nT T n nTn tTT n tT nnf t f e eT f e e 22 j j0 d1lim 2T nT nnT n T tT n nnF f ef t F e 令 22 n TT i iT n TTF f e d f e d F 12 i tf t F e d 由 定 积 分 定 义 （ 注 ： 积 分 限 对 称 ） . 23 FourierDirichlet12 0 02 i i t f tf e d e df t tf t f t t 定 理 积 分 存 在 定 理 若 在 任 何 有 限 区 间上 满 足 条 件 ， 且 在 ， 绝 对 可 积 ， 则为 连 续 点 ；为 间 断 点 。 , | | df t t 在 绝 对 可 积 是 指 的 收 敛 。 12 i i tf t f e d e d 即 f t 付 氏 积 分 公 式 24 j jj1 d d21 d d21 cos d2 sinsin , 1 cos d d2 ttf t f e ef ef tj f t d df t d f t f t 因 是 的 奇 函 数 。 付 氏 积 分 公 式 也 可 以 转 化 为 三 角 形 式 f t 25 又 考 虑 到 积 分 cos ,f t d 是 的 偶 函 数 1 cos d d2f t f t 从 01 cos d df t f t 可 得 。 26 2 Fourier变 换2.1 Fourier变 换 的 定 义 12 i i tf t f e d e d 已 知 ： ， ( )Fourier i tF f t e dtf t f t 实 自 变 量 的 复 值 函 数称 为 的 变 换 ， 记 为 。F 11 Fourier2 .i tF e d FF 称 为 的 逆 变 换 ，记 为 F 27 Fourierf t Ff t F ： 一 一 对 应 ， 称 为 一 组 变 换 对 。称 为 原 像 函 数 ， 称 为 像 函 数 。 11 , ,f t F F f tF f t f t F 若 则 ；若 则F FF F Fourier积 分 存 在 定 理 的 条 件 是 Fourier变 换 存 在 的一 种 充 分 条 件 . 28 在 频 谱 分 析 中 , 傅 氏 变 换 F()又 称 为 f(t)的 频 谱 函数 , 而 它 的 模 |F()|称 为 f (t)的 振 幅 频 谱 (亦 简 称 为 频 谱 ).由 于 是 连 续 变 化 的 , 我 们 称 之 为 连 续 频 谱 , 对 一 个 时 间函 数 f (t)作 傅 氏 变 换 , 就 是 求 这 个 时 间 函 数 f (t)的 频 谱 . F f tF 的 频 谱 密 度 函 数 ； arg f tF 的 振 幅 频 谱 ； f t 的 相 位 频 谱 。 29 例 1 求 矩 形 脉 冲 函 数 的 付 氏 变 换 及 其 积 分 表 达 式 。 1, 1( ) 0, 1tf t t 111 11 2sin i ti t i ti i eF f t e dt e dt ie ei 00 01 1 cos21 2 sin 2 sin coscosi tf t F e d F tdttd d 30 240 0 0 1sin cos d 10 10 , sin d sinc d 2tt tttx x x xx 因 此 可 知 当 时 有 2F sin另 外 ， 由 = 可 作 出 频 谱 图 : 2 F 2 3sin 0k 31 jj j 2 20 0e d 1 je e d e d jtt t tF f t tt t 0, 0( ) e , 0, 0. t tf t t 例 2 求 指 数 衰 减 函 数 的 傅 氏 变 换 及 其积 分 表 达 式 其 中 tf (t) j j2 22 201 1 je d e d2 21 cos sin dt tf t F t t 32 2 20 0 0cos sin d / 2 0e 0t tt t tt 因 此2.2 单 位 脉 冲 函 数 及 其 傅 氏 变 换 在 物 理 和 工 程 技 术 中 , 常 常 会 碰 到 单 位 脉 冲 函 数 .因 为 有 许 多 物 理 现 象 具 有 脉 冲 性 质 , 如 在 电 学 中 , 要研 究 线 性 电 路 受 具 有 脉 冲 性 质 的 电 势 作 用 后 产 生 的 电流 ; 在 力 学 中 , 要 研 究 机 械 系 统 受 冲 击 力 作 用 后 的 运动 情 况 等 . 研 究 此 类 问 题 就 会 产 生 我 们 要 介 绍 的 单 位脉 冲 函 数 . 33 在 原 来 电 流 为 零 的 电 路 中 , 某 一 瞬 时 (设 为 t=0)进 入一 单 位 电 量 的 脉 冲 , 现 在 要 确 定 电 路 上 的 电 流 i(t). 以 q(t)表 示 上 述 电 路 中 的 电 荷 函 数 , 则 0, 0;1, 0.tq t t 0d limd tq t q t t q ti t t t 当 t0时 , i(t)=0, 由 于 q(t)是 不 连 续 的 , 从 而 在 普 通导 数 意 义 下 , q(t)在 这 一 点 是 不 能 求 导 数 的 . 34 如 果 我 们 形 式 地 计 算 这 个 导 数 , 则 得 0 00 0 10 lim limt tq t qi t t 这 表 明 在 通 常 意 义 下 的 函 数 类 中 找 不 到 一 个 函 数 能够 表 示 这 样 的 电 流 强 度 . 为 了 确 定 这 样 的 电 流 强 度 , 引 进一 个 称 为 狄 拉 克 (Dirac)函 数 , 简 单 记 成 d-函 数 : 0 00tt td 有 了 这 种 函 数 , 对 于 许 多 集 中 于 一 点 或 一 瞬 时 的 量 , 例如 点 电 荷 , 点 热 源 , 集 中 于 一 点 的 质 量 及 脉 冲 技 术 中 的非 常 窄 的 脉 冲 等 , 就 能 够 象 处 理 连 续 分 布 的 量 那 样 , 以统 一 的 方 式 加 以 解 决 . 35 0 0 01 00 0 0lim 0tt tttt t t d d d 给 函 数 序 列 ，定 义 。 d(t)1/ O 00 0 1d lim d lim 1t t t t dt d d （ 在 极 限 与 积 分 可 交 换 意 义 下 ）工 程 上 将 d-函 数 称 为 单 位 脉 冲 函 数 。 36 可 将 d-函 数 用 一 个 长 度 等 于 1的 有 向 线 段 表 示 , 这 个线 段 的 长 度 表 示 d-函 数 的 积 分 值 , 称 为 d-函 数 的 强 度 .tO d (t)1d-函 数 有 性 质 ： 0 0d 0 d .t f t t f t t f t t f tf td d 及（ 为 连 续 函 数 ）可 见 d-函 数 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 实 轴 上 的 积 分都 有 明 确 意 义 。 37 d-函 数 的 傅 氏 变 换 为 : 0 e d e 1j t j t tt F t t d d F于 是 d t与 常 数 1构 成 了 一 傅 氏 变 换 对 . 1 11 2 i tt e dd F 2i te d t d 证 法 2： 若 F(=2d , 由 傅 氏 逆 变 换 可 得 01 2 e d 12 j t j tf t e d 例 1 证 明 ： 1和 2d ()构 成 傅 氏 变 换 对 .证 法 1： 1 1 2 .j t j se dts t e ds d F 38 000 00 1 e d21 2 e d e e .2e 2 j t j tj t j tj tf t F d d 证 ：即 和 构 成 了 一 个 傅 氏 变 换 对 。 0 02 e 2j t d 例 ： 证 明 和 构 成 一 个 傅 氏 变 换 对 。由 上 面 两 个 函 数 的 变 换 可 得 0jj 0e d 2e d 2t tt t d d 39例 如 常 数 , 符 号 函 数 , 单 位 阶 跃 函 数 以 及 正 , 余 弦 函 数等 , 然 而 它 们 的 广 义 傅 氏 变 换 也 是 存 在 的 , 利 用 单 位 脉冲 函 数 及 其 傅 氏 变 换 就 可 以 求 出 它 们 的 傅 氏 变 换 . 所 谓广 义 是 相 对 于 古 典 意 义 而 言 的 , 在 广 义 意 义 下 , 同 样 可以 说 ,象 原 函 数 f(t)和 象 函 数 F()构 成 一 个 傅 氏 变 换 对 . 在 物 理 学 和 工 程 技 术 中 , 有 许 多 重 要 函 数 不 满 足 傅氏 积 分 定 理 中 的 绝 对 可 积 条 件 , 即 不 满 足 条 件 df t t 40 例 4 求 正 弦 函 数 f (t)=sin0t的 傅 氏 变 换 。 0 00 0 j 0j j j 0 00 0 e sin de e e d2 j1 (e e ) d2 j1 2 22 jj .tt t tj t j tF f t t tt t d d d d F 0 0O |F()| t 0sin t 41 例 5 证 明 ： 0, 0 ,1, 0tu t t 单 位 阶 跃 函 数 1 .u t j d F证 ： 1 01 1 121 1 12 21 1 cos sin2 21 1 sin 1 1 sin2 2 2 j tj t j t e dj je d e djt j t djt td d d d d F 42 0 2, 0sin 2, 0ttd t 1 1 1 0, 02 21 1 , 021 1 1, 02 2 tt u tj td F 43 3 Fourier变 换 与 逆 变 换 的 性 质 这 一 讲 介 绍 傅 氏 变 换 的 几 个 重 要 性 质 , 为 了 叙 述 方便 起 见 , 假 定 在 这 些 性 质 中 , 凡 是 需 要 求 傅 氏 变 换 的 函数 都 满 足 傅 氏 积 分 定 理 中 的 条 件 , 在 证 明 这 些 性 质 时 , 不 再 重 述 这 些 条 件 . 1 1 1 af t bg t a f t b g tA F B G A F B G F F FF F F1.线 性 性 质 : 44 2. 位 移 性 质 : 0 00 01 0 0 j tj tj tf t t e FF e f te f t F ，或 FF F 00 00 00 j t j s tj t j tj sf t t f t t e dts t t f s e dse f s e ds e F F证 明 ： 0 0 ,f t F t 若 ，F 为 实 常 数 ， 则 45 1 ( ) 0,1 1 ( ) ; ( )f t F a tf at F F at fa a a a FF F若 ， 则3. 相 似 性 质 ：证 明 ： 1 , 0 1 , 0sj as atj t sj af s e ds aaf at f at e dt f s e ds aa F 1 1 ( )j saf s e ds Fa a a 46 例 1 计 算 。 5 2 u tF方 法 1： （ 先 用 相 似 性 质 ， 再 用 平 移 性 质 ） ( ) 2 , 5 5 2g t u t g t u t 令 那 么 525 52 52 5 1 5 2 5 51 1 2 5 51 151 5 .5 5 jjju t g t g tu t e u te je j d d F F FF F 47 方 法 2： （ 先 用 平 移 性 质 ， 再 用 相 似 性 质 ） 25 , ( ) 5 25g t u t g t u t 令 则 252 25 5 525 525 2 5 2 5 1 5 ( )51 151 5 .5 5 d d jj jjju t g t e g te u t e u te je jF F FF F 48 4.微 分 性 质 ： f t j F F lim 0 0,1, 2, , 1 ,kt nn f t k nf t j F F一 般 地 ， 若 则 ( ) ( ) ( ) n n n n n nF j tf t tf t jFF j t f t t f t j F 像 函 数 的 微 分 性 ： 或 或F FF F 像 原 函 数 的 微 分 性 质 ： ( ) lim 0,tf t F f t 若 ， 且F 则 49 5.积 分 性 质 ： lim 0 0,1 .tttf t F f s ds Ff s ds Fj 设 ， 若 则F F6. 帕 塞 瓦 尔 (Parserval)等 式 2 21d .2f t t F d f t F 设 ， 则 有F 50 实 际 上 , 只 要 记 住 下 面 五 个 傅 里 叶 变 换 , 则 所 有 的傅 里 叶 变 换 都 无 须 用 公 式 直 接 计 算 而 可 由 傅 里 叶 变 换 的性 质 导 出 . 0 22j 0411j 1je 2e ettttu tu t e d d d 51 00 j0j 0221, e1 2 , e 21j d 1d j j1 j ttt t tu t jtu t j jtu t d dd d d d d d 因 由 位 移 性 质 得由 得由 例 2 利 用 傅 氏 变 换 的 性 质 求 d (t-t0),性 质 0je ,t tu t 以 及 的 傅 氏 变 换 . 性 质 52 例 3 若 f (t)=cos0t u(t), 求 其 傅 氏 变 换 。 0 0j j 00 000 02 201j e e21 12 j 1jj 2t tu tf t u tF d d d d d 53 7.卷 积 与 卷 积 定 理卷 积 定 义 ： f t g t f s g t s ds f g g ff g h f g f hf g h f g hA f g A f g f A g Ad f g t f t g t f t g tdtf t f t f td d 交 换 律 ：加 法 分 配 律 ：结 合 律 ：数 乘 ： 为 常 数求 导 ：卷 积 的 简 单 性 质 ： 54 例 1 求 下 列 函 数 的 卷 积 ： 1 20 0 0 0, ; , 0, .0 e 0t tt tf t f te t t 由 卷 积 的 定 义 有 01 2 1 2 00 0d0 e d 0 e e d1 1e e e et tt tt tt t tf t f t f f te 55 11 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )2 ( ) ( ) 2f g f g F GF G f gf g f g F GF G f g F F FFF F FF或 ： 化 简 卷 积 运 算或 ： 化 简 傅 氏 变 换 卷 积 定 理 ： 56 例 2 求 的 傅 氏 变 换 。 0j tf t e tu t 0 01 2j t j tf t e tu t e tu t F F F F 02 02011 . d d j tt j 0 20 21 1221 122 j j t dtd d d d 性 质 57 利 用 卷 积 公 式 来 证 明 积 分 公 式 ： ( )t ty t f s ds f u t d f t u t 令 ( )1 0t f s ds f t u t f t u tF jF Fj d d F F F F证 明 ： lim 0 0, 0tttf t F f s ds FFf s ds Fi d ， 若FF设则