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第 二 章 函 数 、 导 数 及 其 应 用第 1 讲 函 数 与 映 射 的 概 念 考 纲 要 求 考 情 风 向 标1.了 解 构 成 函 数 的 要 素 .2.会 求 一 些 简 单 函 数 的 定 义域 和 值 域 .3.了 解 映 射 的 概 念 . 对 函 数 概 念 的 理 解 是 学 好 函 数 的关 键 ， 函 数 的 概 念 比 较 抽 象 ， 不 易 理解 ， 应 做 适 量 练 习 ， 通 过 练 习 弥 补 理解 的 缺 陷 ， 纠 正 理 解 上 的 错 误 本 节重 点 解 决 求 函 数 的 定 义 域 . 1 映 射 的 概 念设 A， B 是 两 个 非 空 集 合 ， 如 果 按 照 某 种 对 应 关 系 f， 对 于集 合 A 中 的 任 意 一 个 元 素 ， 在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与之 对 应 ， 那 么 这 样 的 对 应 关 系 叫 做 从 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 ，通 常 记 为 f： AB. 2 函 数 的 概 念(1)函 数 的 定 义 ：设 A， B 是 两 个 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应 关系 f， 使 对 于 集 合 A 中 的 任 意 一 个 数 x， 在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确定 的 数 和 它 对 应 ， 那 么 就 称 f： AB 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一个 函 数 ， 通 常 记 为 y f(x)， x A.(2)函 数 的 定 义 域 、 值 域 ：定 义 域 值 域在 函 数 y f(x)， x A 中 ， x 叫 做 自 变 量 ， x 的 取 值 范 围 A叫 做 函 数 y f(x)的 _； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 的 值 叫 做 函数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f(x)|x A称 为 函 数 y f(x)的 值 域 (3)函 数 的 三 个 要 素 ： 定 义 域 、 _和 对 应 关 系 f. DA 2， )C ( ， 3) (3， ) B 2,3)D 2,3) (3， ) 4 设 M x|0 x2， N y|0y3， 给 出 如 图 2-1-1所 示 的 四 个 图 象 ， 其 中 能 表 示 从 集 合 M 到 集 合 N 的 函 数 关 系 的是 _(填 序 号 ) 图 2-1-1 考 点 1 有 关 映 射 与 函 数 的 概 念例 1： 若 集 合 A 1,2,3， k到 集 合 B 4,7， a4， a2 3a是 一 个 映 射 ， 对 应 关 系 为 f： xy 3x 1， 则 自 然 数 a _，自 然 数 k _； 集 合 A _， B _.解 析 ： 令 y f(x)， f(1) 3 1 1 4， f(2) 3 2 1 7，f(3) 3 3 1 10， f(k) 3k 1.由 映 射 的 定 义 知 ， a N， 方 程 组 (1)无 解 解 方 程 组 (2)， 得 a 2 或 a 5(舍 去 )则 3k 1 16,3k 15， k 5. A 1,2,3,5， B 4,7,10,16答 案 ： 2 5 1,2,3,5 4,7,10,16 【 规 律 方 法 】 理 解 映 射 的 概 念 ， 应 注 意 以 下 几 点 ： 集 合 A， B 及 对 应 法 则 f 是 确 定 的 ， 是 一 个 整 体 系 统 ； 对 应 法 则 有 “ 方 向 性 ” ， 即 强 调 从 集 合 A 到 集 合 B 的 对应 ， 它 与 从 集 合 B 到 集 合 A 的 对 应 关 系 一 般 是 不 同 的 ； 集 合 A 中 每 一 个 元 素 ， 在 集 合 B 中 都 有 象 ， 并 且 象 是 唯一 的 ， 这 是 映 射 区 别 于 一 般 对 应 的 本 质 特 征 ； 集 合 A 中 不 同 的 元 素 ， 在 集 合 B 中 对 应 的 象 可 以 是 同 一个 ； 不 要 求 集 合 B 中 的 每 一 个 元 素 在 集 合 A 中 都 有 原 象 【 互 动 探 究 】1 给 定 集 合 P x|0 x2， Q y|0y4， 下 列 从 P到 Q 的 对 应 关 系 f 中 ， 不 是 映 射 的 是 ( )CA f： xy 2x 5 2 B f： xy x2D f： xy 2xC f： xy x 考 点 2 判 断 两 个 函 数 是 否 为 同 一 个 函 数 (5) 函 数 的 定 义 域 和 对 应 关 系 都 相 同 ， 它 们 是 同 一 个 函 数 【 规 律 方 法 】 构 成 函 数 的 三 个 要 素 是 定 义 域 、 对 应 关 系 和值 域 由 于 值 域 是 由 定 义 域 和 对 应 关 系 确 定 的 ， 所 以 如 果 两 个函 数 的 定 义 域 和 对 应 关 系 完 全 一 致 ， 即 称 这 两 个 函 数 为 同 一 个函 数 第 (5)小 题 易 错 判 断 成 它 们 是 不 同 的 函 数 ， 原 因 是 对 函 数的 概 念 理 解 不 透 在 函 数 的 定 义 域 及 对 应 法 则 f 不 变 的 条 件 下 ，自 变 量 变 换 字 母 对 于 函 数 本 身 并 无 影 响 ， 比 如 f(x) x2 1， f(t) t2 1， f(u 1) (u 1)2 1 都 可 视 为 同 一 个 函 数 【 互 动 探 究 】 )D2 下 列 四 组 函 数 中 ， 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( 考 点 3 求 函 数 的 定 义 域A (0,2)C (2， ) B (0,2D 2， )解 析 ： 由 已 知 ， 得 log2x 10， log2x1， 解 得 x2.答 案 ： C 【 规 律 方 法 】 (1)求 定 义 域 的 一 般 步 骤 ： 写 出 使 得 函 数 式 有 意 义 的 不 等 式 (组 )； 解 不 等 式 (组 )； 写 出 函 数 的 定 义 域 (2)常 见 的 一 些 具 体 函 数 的 定 义 域 ：有 分 母 的 保 证 分 母 不 为 零 ； 有 开 偶 次 方 根 的 要 保 证 被 开 方数 为 非 负 数 ； 有 对 数 函 数 的 保 证 真 数 大 于 零 ， 底 数 大 于 零 ， 且不 等 于 1. 【 互 动 探 究 】 CA ( 1， )B 1， )C ( 1,1) (1， )D 1,1) (1， ) x|x R， x 1， 且 x 2 易 错 、 易 混 、 易 漏 对 复 合 函 数 的 定 义 域 理 解 不 透 彻例 题 ： (1)若 函 数 f(x)的 定 义 域 为 2,3， 则 f(x 1)的 定 义 域为 _；(2)若 函 数 f(x 1)的 定 义 域 为 2,3 ， 则 f(x)的 定 义 域 为_， f(2x 1)的 定 义 域 为 _；(3)若 函 数 f(x)的 值 域 为 2,3， 则 f(x 1)的 值 域 为 _，f(x) 1 的 值 域 为 _ 答 案 ： (1)3,4 (2)1,2 0， 12 (3)2,3 1,2【 失 误 与 防 范 】 对 于 求 抽 象 的 复 合 函 数 的 定 义 域 ， 主 要 理解 三 种 情 形 ： 已 知 f(x)的 定 义 域 为 a， b， 求 fu(x)的 定 义 域 ，只 需 求 不 等 式 au(x)b 的 解 集 即 可 ； 已 知 fu(x)的 定 义 域为 a， b， 求 f(x)的 定 义 域 ， 只 需 求 u(x)的 值 域 ； 已 知 fu(x)的 定 义 域 为 a， b， 求 fg(x)的 定 义 域 ， 必 须 先 利 用 第 (2)小 题 的方 法 求 f(x)的 定 义 域 ， 然 后 利 用 第 (1)小 题 的 方 法 求 解
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