工程弹塑性力学-浙大

工 程 弹 塑 性 力 学浙 江 大 学 建 筑 工 程 学 院 第 五 章 简 单 应 力 状 态 的 弹 塑 性 问 题5.1 基 本 实 验 资 料5.2 应 力 应 变 的 简 化 模 型5.3 应 变 的 表 示 法5.4 理 想 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架5.6 加 载 路 径 对 桁 架 内 应 力 和 应 变 的 影 响 5.1 基 本 实 验 资 料一 、 应 力 -应 变 曲 线（ 1） 单 向 拉 伸 曲 线1 2 3A B DOsssa Ds ee p e e e p pEse e e e （ a） 有 明 显 屈 服 流 动 阶 段 拉 伸 试 验 和 静 水 压 力 试 验 是 塑 性 力 学中 的 两 个 基 本 试 验 ， 塑 性 应 力 应 变 关系 的 建 立 是 以 这 些 实 验 资 料 为 基 础 。屈 服 应 力 （ b） 无 明 显 屈 服 流 动 阶 段Os0.2 Ds eep ee CA B0.2% 屈 服 应 力如 :低 碳 钢 ,铸 铁 ,合 金 钢 等 如 :中 碳 钢 ,高 强 度 合 金 钢 ,有 色 金 属 等00 0l lll le 0PAs 5.1 基 本 实 验 资 料一 、 应 力 -应 变 曲 线经 过 屈 服 阶 段 后 ， 材 料 又 恢 复 了 抵 抗 变 形 的 能 力 。 在 第 二 次 加 载 过 程 中 ，弹 性 系 数 仍 保 持 不 变 ， 但 弹 性 极 限 及 屈 服 极 限 有 升 高 现 象 ， 其 升 高 程 度 与塑 性 变 形 的 历 史 有 关 ， 决 定 与 前 面 塑 性 变 形 的 程 度 。 这 种 现 象 称 为 材 料 的应 变 强 化 (或 加 工 硬 化 )。材 料 在 塑 性 阶 段 的 一 个 重 要 特 点 ： 在 加 载 和 卸 载 的 过 程 中 应 力 和 应 变 服 从不 同 的 规 律 ： 0ds s 0ds s 加 载卸 载 td Eds ed Eds e简 单 拉 伸 试 验的 塑 性 阶 段 ： 5.1 基 本 实 验 资 料一 、 应 力 -应 变 曲 线（ 2） 拉 伸 与 压 缩 曲 线 的 差 异 （ 一 般 金 属 材 料 ）O 拉s e压 应 变 10%时 ， 基 本 一 致 ； 应 变 10%时 ， 较 大 差 异 。 一 般 金 属 的 拉 伸 与 压 缩 曲 线 比 较用 简 单 拉 伸 试 验 代 替 简 单 压 缩 试验 进 行 塑 性 分 析 是 偏 于 安 全 的 。 5.1 基 本 实 验 资 料一 、 应 力 -应 变 曲 线（ 3） 反 向 加 载卸 载 后 反 向 加 载 ， ss ssBauschinger效 应O BAssss s ss eBB O 拉 伸 塑 性 变 形 后 使压 缩 屈 服 极 限 降 低的 现 象 。 即 正 向 强化 时 反 向 弱 化 。 5.1 基 本 实 验 资 料一 、 应 力 -应 变 曲 线(4) 断 裂 特 性伸 长 率 : 标 志 材 料 的 塑 性特 性 ， 其 值 越 大则 材 料 破 坏 后 的残 余 变 形 越 大 。0 100%kk ll 0 0 100%kk F FF 截 面 收 缩 率 : k 5%： 塑 性 材 料 ； 低 碳 钢 k=20% 30% k 5%： 脆 性 材 料 。 5.1 基 本 实 验 资 料塑 性 变 形 有 以 下 特 点 ： (2)、 由 于 应 力 应 变 关 系 的 非 线 性 ， 应 力 与 应 变 间 不 存 在 单 值 对应 关 系 ， 同 一 个 应 力 可 对 应 不 同 的 应 变 ， 反 过 来 也 是 如 此 。 这 种非 单 值 性 是 一 种 路 径 相 关 性 ， 即 需 要 考 虑 加 载 历 史 。 (1)、 由 于 塑 性 应 变 不 可 恢 复 ， 所 以 外 力 所 作 的 塑 性 功 具 有 不 可 逆性 ， 或 称 为 耗 散 性 。 在 一 个 加 载 卸 载 的 循 环 中 外 力 作 功 恒 大 于 零 ，这 一 部 分 能 量 被 材 料 的 塑 性 变 形 损 耗 掉 了 。 (3)、 当 受 力 固 体 产 生 塑 性 变 形 时 ， 将 同 时 存 在 有 产 生 弹 性 变 形 的弹 性 区 域 和 产 生 塑 性 变 形 的 塑 性 区 域 。 并 且 随 着 载 荷 的 变 化 ， 两区 域 的 分 界 面 也 会 产 生 变 化 。 5.1 基 本 实 验 资 料二 、 静 水 压 力 (各 向 均 匀 受 压 )试 验(1)、 体 积 变 化 20 1 01 1(1 )m V Vp p ap bpV K K Ve 或体 积 应 变 与 压 力 的 关 系 (bridgman实 验 公 式 )体 积 压 缩 模 量 派 生 模 量铜 铝 铅a 7.31x10 -7 13.34x10-7 23.73x10-7b 2.7x10-12 3.5x10-12 17.25x10-12 铜 ： 当 p 1000MPa时 ， ap7.31 10-4， 而 bp2 2.7 10-6。 说 明第 二 项 远 小 于 第 一 项 ， 可 以 略 去 不计 。 因 此 根 据 上 述 试 验 结 果 ， 在 塑性 理 论 中 常 认 为 体 积 变 形 是 弹 性 的 。因 而 对 钢 、 铜 等 金 属 材 料 ， 可 以 认 为 塑 性 变 形 不 受 静 水 压 力的 影 响 。 但 对 于 铸 铁 、 岩 石 、 土 壤 等 材 料 ， 静 水 压 力 对 屈 服应 力 和 塑 性 变 形 的 大 小 都 有 明 显 的 影 响 ， 不 能 忽 略 。 5.1 基 本 实 验 资 料二 、 静 水 压 力 (各 向 均 匀 受 压 )试 验(2)、 静 水 压 力 对 屈 服 极 限 的 影 响Bridgman对 镍 、 铌 的 拉 伸 试 验 表 明 ， 静 水 压 力 增 大 ， 塑 性强 化 效 应 增 加 不 明 显 ， 但 颈 缩 和 破 坏 时 的 塑 性 变 形 增 加 了 。静 水 压 力 对 屈 服 极 限 的 影 响 常 可 忽 略 。 5.2 应 力 应 变 简 化 模 型 一 般 应 力 -应 变 曲 线 ： s =Ee ， e es (屈 服 后 )选 取 模 型 的 标 准 ： 1、 必 须 符 合 材 料 的 实 际 性 质2、 数 学 上 必 须 是 足 够 地 简 单 5.2 应 力 应 变 简 化 模 型1. 理 想 弹 塑 性 模 型| | , / s Es s e s 1, 0sign 0, 01, 0ss ss 符 号 函 数 : （ 软 钢 或 强 化 率 较 低 的 材 料 ）加 载 : 卸 载 :Osss ee s E 0, / signd Es s e s s 0, /d d d Es s e s 为 一 个 大 于 或等 于 零 的 参 数 5.2 应 力 应 变 简 化 模 型1. 理 想 弹 塑 性 模 型| | s Ee e s e 用 应 变 表 示 的 加 载 准 则 ：加 载 : 卸 载 :Osss ee s E 0, signsds e s s e 0, d d Eds e s e 1, 0sign 0, 01, 0se ss 符 号 函 数 : 公 式 只 包 括 了 材 料 常 数 E和 s， 故 不 能 描 述 应 力 应变 曲 线 的 全 部 特 征 ；在 e es处 解 析 式 有 变 化 ，给 具 体 计 算 带 来 困 难 ;理 想 弹 塑 性 模 型 抓 住 了 韧性 材 料 的 主 要 特 征 ， 因 而与 实 际 情 况 符 合 得 较 好 。缺 点 :优 点 : 5.2 应 力 应 变 简 化 模 型2. 线 性 强 化 弹 塑 性 模 型 （ 材 料 有 显 著 强 化 率 ） 0, /d d d Es s e s | | , /s Es s e s 1 10, (| | )( )signsd E E Ess s e s s s Osss ee s E E加 载 : 卸 载 : 5.2 应 力 应 变 简 化 模 型2. 线 性 强 化 弹 塑 性 模 型 用 应 变 表 示 的 加 载 准 则 ：Osss ee s E E0, d d Eds e s e | | , s Ee e s e 0, (| | )signs sd Es e s s e e e 加 载 : 卸 载 : 在 许 多 实 际 工 程 问 题 中 ，弹 性 应 变 Pe） （ 塑 性 流 动 阶 段 ）约 束 塑 性 变 形 阶 段 ： 杆 2已 屈 服 ， 杆 1、 3仍 为 弹 性2 ss s塑 性 流 动 阶 段 ： 3杆 均 屈 服 ,相 应 的 荷 载 为 塑 性 极 限 荷 载(1 2cos ) s sP As q 点 A的 位 移 ： (5.38)1 22 cos /P As q s (5.35) (5.36)1 2 3 ss s s s (5.37) 5.4 理 想 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架弹 性 与 塑 性 极 限 荷 载 （ 极 限 位 移 ） 的 关 系 ：荷 载 -挠 度 曲 线 ： 31 2cos ,1 2cossePP qq 理 想 弹 塑 性线 性 强 化 /eP/PeP1/PePs/Pe1.00 1 1/cos2q (5.39)21cosse q 5.4 理 想 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架卸 载 符 合 弹 性 规 律 。 设 荷 载 变 化 为 P ， 则 由 式 (5.33)得22 12 2 1 1, cos/ , /s se eP PP PE Es s s s qe s e s 三 、 卸 载若 加 载 至 P*（ P e P*Pe） ， 此 过 程 仍 为 弹 性 过 程 。 这 相当 于 将 弹 性 范 围 由 扩 大 了 。四 、 重 复 加 载 这 种 使 其 弹 性 范 围 扩 大 的 有 利 的 残 余 应 力 状 态 称 为安 定 状 态 。 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架 联 立 平 衡 和 协 调 方 程 可 求 得 平 衡 方 程 与 协 调 方 程 不 变加 载 过 程 ， 物 理 方 程 改 变 部 分 ： ; = ( )s s sEs s s s e e 1. 弹 性 阶 段 (P Pe)： 与 理 想 弹 塑 性 相 同2. 约 束 塑 性 变 形 阶 段 (P Pe)： 2 2= ( )s sEs s e e 3 21 3 3 22 3 3 2 3 2 1 2 1 2coscos ( 1) 12cos /(1 2cos ) /cos ( 1) 12cos /(1 2cos ) / 1 /2cos /coss es eee s PE E PE E PE E PP P E EE Eqs s q q qs s q qqe e qe e q (5.42) (5.43) 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架 21 tan1 (1 2cos )sP EP E qq (杆 1、 3进 入 屈 服 )3. 塑 性 流 动 阶 段 (P Pe)： 21 (1 2cos tan / )sP A E Es q q 1 ss s32 3 1 2coscos ( 1) 12cos /s s ePE E Pqs s q q 2(1 2cos )e sP As q (5.44)与 理 想 弹 塑 性 材 料 的 比 较 ： (5.45)如 考 虑 中 等 强 化 情 形 : 1/ 1/10, 30 , / 1.041sE E P Pq 说 明 这 时 理 想 塑 性 的 近 似 还 是 比 较 好 的 ， 考 虑 强 化 对 它 的 影 响 不 大 。 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架考 虑 随 动 强 化 ， 加 载 应 力 范 围 为 2ss ， 即 要 求 s2 2ss，4. 卸 载 ： 仍 按 弹 性 规 律 变 化卸 载 后 杆 2转 为 压 应 力 ， 是 否 会 进 入 压 缩 塑 性 状 态 ？ *0 *2 2 2 (1 ) 0sePPs s s s *(1 ) s sePP s s * 2 eP P02 ss s 最 大 安 定 荷 载 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架aN1 bP N2图 示 等 截 面 杆 ， 截 面 积 为 A， 在 x=a (ab)处 作 用 集 中力 P， 试 求 弹 性 极 限 荷 载 Pe和 塑 性 极 限 荷 载 Ps。 若 加 载至 Pe P*Ps时 卸 载 ， 试 求 残 余 应 力 和 残 余 应 变 。 材 料分 别 为 :(1)理 想 弹 塑 性 ； (2)线 性 强 化 弹 塑 性 。例 题 ：解 ： 1 2N N P 平 衡 方 程 ：1 2 /P As s 1 2 0a be e 变 形 协 调 方 程 ： 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架(1)理 想 弹 塑 性 1 2 1 20 ba b as s s s 弹 性 阶 段 ： 1 1 /Ee s 2 2 /Ee s代 入 变 形 协 调 方 程 ， 可 得 ： 1 (1 )s e saP Abs s s 时 达 到 弹 性 极 限 ， 故联 立 平 衡 方 程 ， 可 得 ： 1 2,( ) ( )Pb Paa b A a b As s 5.5 线 性 强 化 弹 塑 性 材 料 的 简 单 桁 架 弹 塑 性 阶 段 ： 由 s1=ss， 并 利 用 平 衡 方 程 得 ：2 2/ /s sP A P As s s s 卸 载 ： 加 载 至 P e P*0 2 1 30, 0, 0e e e 杆 1， 2仍 保 持 塑 性 状 态 杆 3卸 载 5.6 加 载 路 径 对 桁 架 应 力 应 变 的 影 响加 载 方 案 1 2 0s s 从 (5.47)可 得 ： (5.49)3 3 /2xE E ls e 3 3,2 2Q Q PA A As s 1 2 31 2 3, 2,4 , 23 , 2 ,s s ss sx e y es s sP P P A Q As ss s s s s e e e e e e 当 s3=-2 ss； 使 s3=- ss时 ， 杆 3进 入 压 缩 屈 服 ， 整 个 桁 架 进 入 塑 性 流 动 阶 段叠 加 上 初 始 值 后 ： 保 持 的 比 例 ， 一 直 加 载 到 方 案 一 的 最 终 状 态5.6 加 载 路 径 对 桁 架 应 力 应 变 的 影 响加 载 方 案 / 2P Q:0P 1 2(2 )2 1 2PAs 弹 性 阶 段2 2 )1 2PAs 3 2( 2)2 1 2PAs 最 大 2(1 2) /(2 3 2)e sP As 1 ss s对 应 的 应力 和 位 移 1 ,ss s 2 2 2 ,2 3 2sss 3 (2 2)2 3 2 sss 4(1 2) ,2 3 2 ex 2 22 3 2ey 再 继 续 加 载5.6 加 载 路 径 对 桁 架 应 力 应 变 的 影 响加 载 方 案 1 0s 3 22 / , (1 2) /P A P As s 2 2 ss s s / /(3 2)s sP A P As s 或对 应 的 应力 和 位 移 3 ,ss s1 2 ,ss s s 3 ,x e y e 3 3 ss s s 1 2 ,se e 2 ,se e 3 ,se e (5.50)