第12讲-二元一次不等式组及简单的线性规划-简单难度-讲义

二元一次不等式组及简单的线性规划引入思考1：在平面直角坐标系中，方程 xy60表示一条直线，对于坐标平面内任意一点P，它与该直线的相对位置有哪几种可能情形？思考2：若点P（x，y）是直线左上方平面区域内一点，那么xy6是大于0？还是小于0？为什么？思考3：如果点P（x，y）的坐标满足xy60，那么点P一定在直线xy60左上方的平面区域吗？解读1、二元一次不等式表示的平面的区域（1）二元一次不等式及其解得定义含两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式使不等式成立的未知数的值叫做它的解（2）二元一次不等式表示的平面区域一般地，二元一次不等式所表示的区域为在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有的点组成的平面区域我们把直线化成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式表所示的区域时，此区域包括边界直线，则边界直线画成实线因为对在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线的那一侧的平面区域特别地，当，常把原点作为特殊点（3）二元一次不等式表示平面区域的四种情形 2、二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域时各二元一次不等式表示的平面区域的公共部分3、线性规划的有关概念（1）约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件如：不等式组就是的一个约束条件（2）线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件如：不等式组就是的一个约束条件（3）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数（4）线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数（5）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题（6）可行解：满足约束条件的解（7）可行域：所有可行解组成的集合（8）最优解：使目标函数取得最值的可行解4、线性规划的图解法（1）画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点（3）求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值（4）答：给出正确答案探究要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：思考1:用第一种钢板x张，第二种钢板y张，可截得A、B、C三种规格的小钢板各多少块？A种:2xy块 B种:x2y块C种:x3y块思考2：生产中需要A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，那么x、y应满足什么不等关系？用不等式如何表示？ 思考3：考虑到x、y的实际意义，x、y还应满足什么不等关系？思考4：按实际要求，x、y应满足不等式组，如何画出该不等式组表示的平面区域？典例精讲一选择题（共15小题）1（2018春慈利县期中）若点M（m，1）在不等式2x+3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是（）A1，+）B（，1C（1，+）D（，1）2（2017秋朝阳区期末）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（x+2y1）（xy+3）0表示的平面区域内的是（）A（0，0）B（2，0）C（0，1）D（0，2）3（2018重庆模拟）不等式组-2x20y4表示的点集记为A，不等式组x-y+20yx2表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为（）A932B732C916D7164（2017秋南充期末）不等式组(x-y+5)(x+y)00x3表示的平面区域是（）A矩形B三角形C直角梯形D等腰梯形5（2018江西模拟）若A为不等式组x0y0y-x2表示的平面区域，则a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A913B313C72D746（2017丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是（）A（3，4）B（3，2）C（3，4）D（0，3）7（2017湖南学业考试）不等式2x+y30表示的平面区域（用阴影表示）是（）ABCD8（2016河南模拟）下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面区域内的是（）A（0，0）B（2，0）C（1，0）D（2，3）9（2016广东模拟）在平面直角坐标系中，不等式组x2|y-2|x表示的平面区域的面积是（）A82B8C42D410（2016黄浦区一模）已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线xy+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）Ak=1，b2Bk=1，b2Ck1，b2Dk1，b211（2018秋上杭县校级期中）已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|3x2，则不等式cx2+bx+a0的解集为（）Ax|13x12Bx|x13或x12Cx|3x2Dx|x3或x212（2018春台州期末）不等式（x1）（x2）0的解集是（）Ax|x2，或x1Bx|x2，或x1Cx|1x2Dx|1x213（2018浙江模拟）若实数x，y满足x-10x+y-10x-y+10，则y的最大值是（）A1B2C3D414（2018春温州期中）若实数x，y满足x-y+10x12y02x+3y-60，则z=y2x的最大值为（）A1B12C13D1415（2018越城区校级模拟）设不等式组x-y0x+y4x1表示的平面区域为M，点P（x，y）是平面区域内的动点，直线l：y=k（x2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是（）A（，3B1，+）C3，1D（，1二填空题（共4小题）16（2018秋新罗区校级月考）点（2，1）和（4，3）在直线3x2y+m=0的同侧，则实数m的取值范围是17（2018春江阴市校级期中）不等式组x-y+20x+y0x3所表示的平面区域的面积是18（2018南通模拟）已知实数x，y满足2x+y-20x+2y-40x-y-10，且（k1）xy+k20恒成立，则实数k的最小值是19（2018建邺区校级模拟）设变量x，y满足约束条件x-10x+y+10x-y+30，则目标函数z=2x+y的最大值是三解答题（共3小题）20（2018春田家庵区校级期末）设x、y满足约束条件3x-y-60x-y+20x0y0（1）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；（2）若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为4，求1a+23b的最小值21变量x，y满足x-4y+303x+5y-250x1（1）设z=y+2xx，求z的最大值；（2）设z=x2+y24x+2y+3，求z的取值范围22某厂使用A、B两种原料生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品需A原料2吨及B原料1吨，纯利润100万元，生产1吨乙产品需A原料1吨及B原料4吨，纯利润80万元，现有A原料6吨及B原料10吨，问如何安排生产才能使利润最大？最大利润为多少？归纳总结1、二元一次不等式（组）与平面区域（1）满足二元一次不等式（组）或的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标所以，二元一次不等式（组）的解集是直角坐标系内的点构成的集合（2）在平面直角坐标系中，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域当点在直线上时，；当点不在这条直线上时，则或于是直线把平面分成两部分，此直线是这两部分平面区域的边界若其中一部分平面的点用表示，则保持相同的符号；若另一部分平面上的点用表示，则保持相同的符号且与前者符号相反所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由的正负即可判断表示的是直线哪一侧的平面区域特别地，当时，常有原点作为特殊点画不等式表示的平面区域是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线2、简单的线性规划问题（1）一般地说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解（2）线性目标函数的几何意义：是直线在轴上的截距（3）生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小（4）求线性规划问题的步骤图解法是解决线性规划问题的有效方法，其步骤是：设未知数；确定目标函数； 列出约束条件；画出不等式（组）表示的平面区域，即可行域；作平行直线系使之与可行域有交点；求最优解并作答；写出目标函数的最值3、应注意的问题（1）易错点：对可行域、最优解的判断出现问题或对目标函数的几何意义理解不清都容易出现错误（2）课本习题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有：无可行解：这是约束条件组成的不等式组无解的情况；有无穷多个最优解：这是目标函数和可行域的边界线平行的情况；有可行解，无最优解：这种情况只会出现在可行域是开区域的时候如果线性规划中的可行域是闭区域，那么一定有最优解（3）课本习题中出现的都是“截距型”目标函数（不同时为零），即线性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数：“斜率型”目标函数（为常数）最优解为点（）与可行域上的点的斜率的最值；“两点间距离型”目标函数（为常数）最优解为点（）与可行域上的点之间的距离的平方的最值；“点到直线距离型”目标函数（为常数，且不同时为零）最优解为可行域上的点到直线的距离的最值