第13讲--因式分解及其应用

第13讲 因式分解及其应用考点方法破译1因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如的多项式，当pab，qab时可分解为（xa）（xb）的形式；5利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.经典考题赏析【例】若是完全平方式，则k_若是完全平方式，则k_【解法指导】形如的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：有三项；有两项是平方和的形式；还有一项是乘积的2倍，符号自由.解：是完全平方式， ；是完全平方式， 【变式题组】01若是一个完全平方式，则k_02若，求x、y的值.03若，求a、b的值.04（四川省初二联赛试题）已知a、b、c满足，求的值.【例2】（北京）把分解因式，结果正确的是（）ABCD（杭州）在实数范围内分解因式_（安徽）因式分解_【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解：【变式题组】【例3】要使二次三项式在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（）A2个 B4个C6个D无数多个【解法指导】由可知，在整数范围内分解因式，p为的积为整数，p有无数多个，因而选D【变式题组】已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（）A2个B4个C6个D8个在1100间，若存在整数n，使能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有_个【例4】分解因式：2134【解法指导】解： 设，则原式可变为原式 3 2【变式题组】01分解因式：【例5】（上海竞赛试题）求方程的整数解；（希望杯）设x、y为正整数，且，求xy的值【解法指导】结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；将等式左边适当变形后进行配方，利用x、y为正整数的特点，结合不等式求解.解：，x、y都是整数 ，方程的整数解为，x为正整数，x1，2，10 ，又是平方数，x6或8当x6时64，y6，当x8时36，y 4，xy36或32【变式题组】01.设x、y是正整数，并且，则代数式的值是_02.（第二届宗沪杯）已知a、b为整数，则满足abab2008的有序数组（a，b）共有_03（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（）A16种 B14种C12种D10种04方程的正整数解的个数为（）A0个 B1个C2个D不少于3个05一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.【例6】已知k、a都是正整数，2004ka、2004（k1）a都是完全平方数请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？试指出a的最小值，并说明理由.解： ，这里m、n都是正整数，则故注意到，、奇偶性相同，则，解得，当n502，m500时，由得2004ka250000，所以由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，124，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共124组当n170，m164时，由得2004ka26896所以由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，13，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共13组从而，满足要求的正整数组（k、a）共有12413137（组）满足式的最小正整数a的值为1504，满足式的最小正整数a的值为844，所以，所求的a的最小值为844【变式题组】01（北京竞赛）已知a是正整数，且是一个正整数的平方，求a的最大值.02设x、y都是整数，求y的最大值演练巩固 反馈提高01如果分解因式，那么n的值为（）A2 B4C6D802若多项式，则p、q的值依次为（）A， B6， C， D，03下列各式分解因式正确的是（ ）ABCD04多项式的公因式是（ ）A BCD不存在05分解因式的结果是（ ）A BCD06若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（）A4个 B6个C8个D无数个07已知，则的值为（）A3 BCD08分解因式：_09分解因式：_10分解因式：_11已知，那么的值等于_12分解因式：_13分解因式：_14分解因式：_15已知，则的值为_16求证：能被45整除17已知可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数培优升级 奥赛检测01（四川省初二数学联赛试题）使得为完全平方数的正整数n的值为（）A2 B3C4D502（四川省初二数学联赛试题）设m、n是自然数，并且，则mn的最小值是（ ）A100 B102C200D不能确定03（四川省初二数学联赛试题）满足方程的正整数对（x，y）有（ ）A0对 B1对C3对D无数对04（全国初中数学竞赛试题）方程的整数解（x，y）的个数是（）A0 B1C3D无穷多05（四川省初二数学试题）已知，其中p、q为质数，且满足，则M（）A2009 B2005 C2003 D200006（仙桃竞赛试题）不定方程的所有整数解为_07已知多项式可以分解为的形式，那么的值是_08对于一个正整数n，如果能找到a、b，使得nabab，则称n为一个“好数”，例如：31111，3就是一个好数，在120这20个正整数中，好数有_个09一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，如，64就是一个完全平方数；若，求证a是一个完全平方数10已知实数a、b、x、y满足，求的值11若a为自然数，则是质数还是合数？请你说明理由12正数a、b、c满足，求的值13某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn9m11n145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.