1.1-空间向量及其运算(精讲)(原卷版+解析版)

1.1 空间向量及其运算（精讲） 思维导图 常见考法 考点一 概念的辨析 【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【一隅三反】 1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若向量共线，则所在的直线平行； ②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面； ③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面； ④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 考法二 空间向量的线性运算 【例2】（2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。 【一隅三反】 1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，，且，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（ ） A． B． C． D． 考点三 空间向量的共面问题 【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ） A． B． C． D． 与，，一定共面的充要条件是， 【一隅三反】 1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______． 2．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x＝________. 3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，．求证：四点E，F，G，H共面 考点四 空间向量的数量积 【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. （1）求AC′的长；（如图所示） （2）求与的夹角的余弦值． 求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： (1) 结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小 (2) 先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 【一隅三反】 1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ） A． B．46 C． D．32 3．（2020·四川雨城.雅安中学高二月考（理））若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 4．（2020·全国高二课时练习）.⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角. 1.1 空间向量及其运算（精讲） 思维导图 常见考法 考点一 概念的辨析 【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为0的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D. 【一隅三反】 1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若向量共线，则所在的直线平行； ②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面； ③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A 2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面； ④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错； ②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错； ③若、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错； ④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错. 故选：A. 考法二 空间向量的线性运算 【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以 ，即. 故选：B. 根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。 【一隅三反】 1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又因为， 所以.故选：C 2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算可知 因为,，则即， 故选：D. 3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】-＝，，∴+（-）． 故选C． 考点三 空间向量的共面问题 【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面. 对于B选项，由于，所以不能得出共面. 对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面. 对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C 与，，一定共面的充要条件是， 【一隅三反】 1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______． 【答案】 【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为: 2．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x＝________. 【答案】 【解析】已知且M，A，B，C四点共面， 则 ，解得x= 3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A 4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，．求证：四点E，F，G，H共面 【答案】证明见解析 【解析】 ∵；∴； EF//AB，且EF＝|k|AB； 同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC； ∴EF//HG，且EF＝HG； ∴四边形EFGH为平行四边形； ∴四点E，F，G，H共面. 考点四 空间向量的数量积 【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. （1）求AC′的长；（如图所示） （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）可得＝＝， ＝＝+2（） ＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85 故AC′的长等于＝ （2）由（1）可知＝，＝ 故＝（）（） ＝ ＝＝ 又＝＝＝＝5 故与的夹角的余弦值＝＝ 求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： (3) 结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小 (4) 先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 【一隅三反】 1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，= 所以有=，于是有= ==25 所以，答案选A 2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ） A． B．46 C． D．32 【答案】C 【解析】由,. 由底面为矩形得；，，另；， , 3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为. 而， 则 所以.故选：D 4．（2020·全国高二课时练习）.⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角. 【答案】60° 【解析】如图所示. 因为 故 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 故 故 又 故. 而，故可得， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴异面直线BA1与AC成60°角.