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单元检测（十一） 概 率（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A至少有1个黑球，都是黑球B至少有1个黑球，至少有1个红球C恰有1个黑球，恰有2个红球D至少有1个黑球，都是红球解析：选项A、B所表示的两对事件不是互斥事件，应排除；而选项D表示的一对事件是互斥事件，也是对立事件，也应排除，故选C答案：C2甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为、，现在三人同时射击一个目标，目标被击中的概率是（ ）A B C D解析：所求概率为.答案：C3某交往式计算机有20个终端,这些终端由各个单位独立操作,使用率均为0.8,则20个终端中至少有一个没有使用的概率为（ ）A0.220 B0.820 C10.820 D10.220解析：由相互独立事件的概率公式知20个终端全部使用的概率为0.820,由对立事件的概率公式,20个终端中至少有一个没有使用的概率为10.820,故选C答案：C4袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是（ ）A颜色全同 B颜色全不同C颜色无红色 D颜色不全同解析：先计算颜色全相同的概率为，所以是颜色不全同的概率.答案：D5在100张奖券中,有4张中奖,从这100张奖券中任意抽取2张,2张都中奖的概率是（ ）A B C D解析：从总体100张奖券中任取2张的方法有4 950种,从4张有奖奖券中抽取2张的方法有6种,故所求概率.答案：C6一个坛子里有编号为1,2,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A B C D解析：从中任取两个球共有66种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的取法有种,概率为.答案：D7一个学生通过某英语听力测试的概率是,他连续测试三次,其中恰好有一次通过的概率是（ ）A B C D解析：连续测试三次,可看成3次独立重复试验,其中恰有一次通过的概率为.答案：D8某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是P，则这段时间内每个仪表不能工作的概率是（ ）APm B（1P）m C1Pm D1（1P）m解析：有一个电子元件损坏则仪表就不能正常工作，所以所求概率P1（1P）m.答案：D9设两个独立事件A和B均不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P（A）是（ ）A B C D解析：设A、B发生的概率分别为p1、p2,由题意，知解得p1p2.故选D答案：D10从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数,其中各位数字之和不等于9的概率为（ ）A B C D解析：数字之和为9包含1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4;3,3,3五种情况,共可组成数字之和为9的数共有2219个.而共可组成三位数字53125个,所以概率.答案：D11从圆的10等分点中任取3个点，可组成一个三角形，现从这10个点中任取3个点，可构成直角三角形的概率是 （ ）A B C D解析：10个分点共构成个三角形,其中直角三角形有5840个,所求概率为.故选C答案：C12电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ ）A B C D解析：对于每一时刻的数字组成,从左起第一位只能是0,1,2,当首位为0或1时,第二位有09共10个选择,而首位为2时,第二位只能从03中选,共4个选择,一天中所有时刻共（2104）6101 440（种）.对于四个数字之和为23的时刻,首位为0时,由于第三位最大为5,只有09：59符合要求;首位为1时,因第二、四位和最大为18,第三位只能为4或5,故共有19：49，18：59和19：58三种情况；首位为2时，各位最大情况为23：59，和仍小于23，故此时不能符合题意.所求概率为.答案：C二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为_.解析：所求概率为.答案：14在三角形的每条边上各取三个分点（如右图）,以这9个分点为顶点可画出若干个三角形.若从中任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为_.（用数字作答）解析：共作三角形数为,三顶点在三边上的三角形数为.答案：15若随机从集合2，22，23，210中选出两个不同的元素a、b，则logab为整数的概率为_.解析：a2时,有9个;a22时,b24或26或28或210,共4个;a24时,b28有1个;a23时,b26或29有2个;a25时,b210有1个;使logab为整数的有17个,概率为.答案：16若在二项式（x1）n（n3且nN*）的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是1，则在二项式（x1）n1的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是p，为偶数的概率是q，那么pq_.解析：由题意n为奇数，所以n1为偶数，并且（x1）n1的展开式有n项，其中奇数项比偶数项多一项，所以,.所以.答案：三、解答题（本大题共6小题,共70分）17（本小题满分10分）甲、乙两人进行投篮训练,已知甲投球命中的概率是,乙投球命中的概率是.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（1）如果两人各投球1次,求恰有1人投球命中的概率;（2）如果两人各投球2次,求这4次投球中至少有1次命中的概率.解：（1）记“甲投球1次命中”为事件A,“乙投球1次命中”为事件B根据互斥事件的概率加法公式和相互对立事件的概率乘法公式,所求的概率是.（2）事件“两人各投球2次均不命中”的概率为,两人各投球2次,这4次投球中至少有1次命中的概率为.18（本小题满分12分）从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取1件,假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）0.96.（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;（2）若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）.解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”,则A0,A1互斥,且AA0A1.故P（A）P（A0A1）P（A0）P（A1）（1p）2p（1p）1p2,于是0.961p2,解得p10.2,p20.2（舍去）.（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,则.若该批产品共100件,由（1）知其中二等品有1000.220件,故,.19（本小题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）若以A表示和为6的事件，求P（A）.（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.解：（1）基本事件空间与点集中S（x,y）|xN,yN,1x5,1y5的元素一一对应.因为S中点的总数为5525（个）,所以基本事件总数为n25.事件A包含的基本事件数共5个：（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）,所以.（2）B与C不是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合.（3）这种游戏规则不公平,由（1）知和为偶数的基本事件数为13个：（1,1）、（1,3）、（1,5）、（2,2）、（2,4）、（3,1）、（3,3）、（3,5）、（4,2）、（4,4）、（5,1）、（5,3）、（5,5）所以甲赢的概率为,乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平.20（本小题满分12分）为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施.在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.解：方案一：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案二：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元.由表可知联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1（10.9）（10.7）0.97.方案三：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1（10.8）（10.7）（10.6）10.0240.976.综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过120万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.21（本小题满分12分）某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.（1）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;（2）求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.解：（1）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”.P（）（10.6）30.064,P（A）1P（）10.0640.936.（2）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”,B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”,B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则BB0B1.P（B0）0.630.216,P（B1）0.620.40.432,P（B）P（B0B1）P（B0）P（B1）0.2160.4320.648.22（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求：（1）甲试跳三次,第三次才成功的概率;（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;（3）甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.解：（1）记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P（Ai）0.7,P（Bi）0.6,且Ai,Bi（i1,2,3）相互独立.“甲第三次试跳才成功”为事件,且三次试跳相互独立，P（）P（）P（）P（A3）0.30.30.70.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.（2）记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C方法一：，且，A1B1彼此互斥，P（C）P（）P（）P（A1B1）P（A1）P（）P（）P（B1）P（A1）P（B1）0.70.40.30.60.70.60.88.方法二：P（C）1P（）P（）10.30.40.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（3）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni（i0,1,2）,事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，所求的概率为P（M1N0M2N1）P（M1N0）P（M2N1）P（M1）P（N0）P（M2）P（N1）0.70.30.420.720.60.40.067 20.235 20.302 4.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.
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