《隐函数的偏微分法》PPT课件

第 八 章 第 五 节 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 一 个 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 及 其 导 数 二 、 方 程 组 所 确 定 的 隐 函 数 组 及 其 导 数隐 函 数 的 求 导 方 法 本 节 讨 论 :1) 方 程 在 什 么 条 件 下 才 能 确 定 隐 函 数 .例 如 , 方 程 02 Cyx当 C 0 时 , 不 能 确 定 隐 函 数 ;2) 在 方 程 能 确 定 隐 函 数 时 , 研 究 其 连 续 性 、 可 微 性 及 求 导 方 法 问 题 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 一 个 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 及 其 导 数定 理 1. 设 函 数 ),( 00 yxP),( yxF ;0),( 00 yxF则 方 程 00),( xyxF 在 点单 值 连 续 函 数 y = f (x) , ,)( 00 xfy 并 有 连 续yxFFxy dd (隐 函 数 求 导 公 式 )定 理 证 明 从 略 ， 仅 就 求 导 公 式 推 导 如 下 ： 具 有 连 续 的 偏 导 数 ;的 某 邻 域 内 可 唯 一 确 定 一 个在 点 的 某 一 邻 域 内 满 足0),( 00 yxFy 满 足 条 件 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 导 数 0)(,( xfxF 两 边 对 x 求 导0dd xyyFxF yxFFxy dd 0yF ,0),()( 所 确 定 的 隐 函 数为 方 程设 yxFxfy 在 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内 则 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若 F( x , y ) 的 二 阶 偏 导 数 也 都 连 续 ,22ddxy 2y xxyyxx F FFFF 3 22 2 y xyyyxyxyxx F FFFFFFF yxFF)( yxFFy )(2 yxy xyyyyx FFF FFFF 二 阶 导 数 : )( yxFFx x yxxydd 则 还 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 验 证 方 程 01sin yxey x 在 点 (0,0)某 邻 域可 确 定 一 个 单 值 可 导 隐 函 数 ,)(xfy0dd,0dd 22 xxyxxy解 : 令 ,1sin),( yxeyyxF x,0)0,0( F ,yeF xx 连 续 ,由 定 理 1 可 知 , 1)0,0( yF 0 ,)(xfy导 的 隐 函 数 则xyFy cos 在 x = 0 的 某 邻 域 内 方 程 存 在 单 值 可且 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 并 求 0dd xxy 0 xFFyx 1xycos yex 0,0 yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0dd 22 xxy )cos(dd xy yex x 2)cos( xy 3 100yyx)( yex )(cos xy )( yex )1sin( yy1,0,0 yyx 0 xy30dd 22 xxy )(,01sin xyyyxey x yy cos 两 边 对 x 求 导 1两 边 再 对 x 求 导yyyy cos)(sin 2令 x = 0 , 注 意 此 时 1,0 yy 0 yxyyexxe y 0 yx )0,0(cos xy yex 导 数 的 另 一 求 法 利 用 隐 函 数 求 导 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 2 . 若 函 数 ),( 000 zyxP ),( zyxF zyzx FFyzFFxz , 的 某 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 ,则 方 程 0),( zyxF 在 点 ),( 00 yx并 有 连 续 偏 导 数 ,),( 000 yxfz 定 一 个 单 值 连 续 函 数 z = f (x , y) , 定 理 证 明 从 略 , 仅 就 求 导 公 式 推 导 如 下 :满 足0),( 000 zyxF 0),( 000 zyxFz 在 点 满 足 : 某 一 邻 域 内 可 唯 一 确 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0),(,( yxfyxF 两 边 对 x 求 偏 导xF zxFFxz zyFFyz 同 样 可 得 ,0),(),( 所 确 定 的 隐 函 数是 方 程设 yxFyxfz 则zF xz 0 0),( 000 zFzyx 的 某 邻 域 内在 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 设 ,04222 zzyx解 法 1 利 用 隐 函 数 求 导 0422 xzxzzx zxz 2 22 zxxz 22 2)(2 xz 222 xzz 04 22 xz2)(1 xz 3 22 )2( )2( z xz .22xz求 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 再 对 x 求 导 解 法 2 利 用 公 式设 zzyxzyxF 4),( 222 则 ,2xFx zxFFxz 两 边 对 x 求 偏 导)2(22 zxxxz 2)2( )2( z xzxz 3 22 )2( )2( z xz 2 zx zx242 zFz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 zxFFxz xz例 3. 设 F( x , y)具 有 连 续 偏 导 数 , ,0),( zyzxF.dz求 解 法 1 利 用 偏 导 数 公 式 . 是 由 方 程设 ),( yxfz0),( zyzxF yz 21 2 FyFx Fz 21 1 FyFx Fz yyzxxzz ddd zF 111F )( 2zx 2F )( 2zyzF 12确 定 的 隐 函 数 , )dd( 2121 yFxFFyFx z 则 )()( 22 21 zyzx FF 已 知 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 故 对 方 程 两 边 求 微 分 :1F )dd(d 2121 yFxFFyFx zz )dd( 2z zxxz zz FyFx d2 21 z yFxF dd 21 解 法 2 微 分 法 . 0),( zyzxF )dd( 2z zyyz )(d zx 2F 0)(d zy1F 2F 0 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 方 程 组 所 确 定 的 隐 函 数 组 及 其 导 数隐 函 数 存 在 定 理 还 可 以 推 广 到 方 程 组 的 情 形 . 0),( 0),( vuyxG vuyxF ),( ),( yxvv yxuu由 F、 G 的 偏 导 数 组 成 的 行 列 式 vu vu GG FFvu GFJ ),( ),(称 为 F、 G 的 雅 可 比 ( Jacobi )行 列 式 .以 两 个 方 程 确 定 两 个 隐 函 数 的 情 况 为 例 , 即 雅 可 比 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 3. ,0),( 0000 vuyxF 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏设 函 数 ),( 0000 vuyxP ),(,),( vuyxGvuyxF则 方 程 组 0),(,0),( vuyxGvuyxF ),( 00 yx在 点的 单 值 连 续 函 数 ),(,),( yxvvyxuu 且 有 偏 导 数 公 式 : 在 点的 某 一 邻 域 内 可 唯 一 确 定 一 组 满 足 条 件 满 足 :0),( ),( Pvu GFPJ ;0),( 0000 vuyxG导 数 ； ,),( 000 yxuu 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),( 000 yxvv ),( ),(1 vx GFJxu ),( ),(1 vy GFJyu ),( ),(1 xu GFJxv ),( ),(1 yu GFJyv 定 理 证 明 略 .仅 推 导 偏 导数 公 式 如 下 ： vvvu vu GFGG FF1 vvvu vu GFGG FF 1 uuvu vu GFGG FF 1 uuvu vu GFGG FF 1 (P34-P35) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxGF yyGF xxGFyyGF 0),(),(,( 0),(),(,( yxvyxuyxG yxvyxuyxF , 的 线 性 方 程 组这 是 关 于 xvxu 0),( 0),( vuyxG vuyxF 有 隐 函 数 组 则两 边 对 x 求 导 得 ,),( ),( yxvv yxuu设 方 程 组 ,0 vu vu GG FFJ 在 点 P 的 某 邻 域 内 xu xvxu xvxF uF vF 0 xG uG vG 0 公 式 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 故 得系 数 行 列 式 同 样 可 得 ),( ),(1 vy GFJyu 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),( ),(1 vx GFJxu ),( ),(1 xu GFJxv ),( ),(1 yu GFJyv 例 4. 设 ,1,0 vxuyvyux ., yvxvyuxu 解 : xy yxJ Jxu 1 22 yx vxuyyu 方 程 组 两 边 对 x 求 导 ， 并 移 项 得求vxvxxuy xv yu 22 yx vyux vy ux Jxv 1 22 yx uyvx 练 习 : 求 yvyu ,uxvyxux 022 yx 22 yx vyuxyv 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 答 案 :由 题 设故 有 例 5.设 函 数 在 点 (u,v) 的 某 一),(,),( vuyyvuxx 0),( ),( vu yx1) 证 明 函 数 组 ),( ),( vuyy vuxx( x, y) 的 某 一 邻 域 内 .),(,),( yxvvyxuu 2) 求 ),(,),( yxvvyxuu 解 : 1) 令 0),(),( vuxxvuyxF 0),(),( vuyyvuyxG 对 x , y 的 偏 导 数 .在 与 点 (u, v) 对 应 的 点邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ,且 唯 一 确 定 一 组 单 值 、 连 续 且 具 有连 续 偏 导 数 的 反 函 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),(),( ),(),( yxvyxuyy yxvyxuxx 式 两 边 对 x 求 导 , 得 uy0 xvxu1 xu xvux vx vy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 则 有 ),( ),( vu GFJ ,0),( ),( vu yx由 定 理 3 可 知 结 论 1) 成 立 .2) 求 反 函 数 的 偏 导 数 . ,0J注 意 vyvxJ 011xu xv,1 vyJ uyJ 1011 uyuxJ 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 从 方 程 组 解 得同 理 , 式 两 边 对 y 求 导 , 可 得,1 vxJyu uxJyv 1 ,0J注 意 vyvxJ 011xu xv,1 vyJ uyJ 1011 uyuxJ 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 从 方 程 组 解 得同 理 , 式 两 边 对 y 求 导 , 可 得,1 vxJyu uxJyv 1 xuxv例 5的 应 用 : 计 算 极 坐 标 变 换 sin,cos ryrx 的 反 变 换 的 导 数 . ),( ),( r yxJ xr x同 样 有 22 yx yyr 22 yx xy 所 以由 于 vyJ 1 uyJ 1cos1rr sin1r cossin sincos rr r yJ1 cos 22 yx xryJ 1 22 yx y r r 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 隐 函 数 ( 组 ) 存 在 定 理2. 隐 函 数 ( 组 ) 求 导 方 法方 法 1. 利 用 复 合 函 数 求 导 法 则 直 接 计 算 ;方 法 2. 利 用 微 分 形 式 不 变 性 ;方 法 3. 代 公 式思 考 与 练 习设 ,),( zyxzyxfz 求 ., yxzxxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 zx 提 示 : ),( zyxzyxfz xz 1f xz 1 2f xzyxzy xz 21 fzyf 211 fyxf 1 1f 1 zx 2f yxzxzy 211 fyxf 21 fzyf yx 0 1f 1 yx 2f zxyxzy 21 fzxf 21 fzyf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),( zyxzyxfz 解 法 2. 利 用 全 微 分 形 式 不 变 性 同 时 求 出 各 偏 导 数 .,yxzd 1f zyx ddd 2f zyxyzxxzy ddd :dx解 出 d x 21 fzyf zfyxf d1 21 yfzxf d21 作 业 P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)， 11.zx 第 六 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 d y, d z 的 系 数 即 可 得 )()( xzzxyy 及,2 yxe yx备 用 题 .ddxu求分 别 由 下 列 两 式 确 定 :又 函 数 ),( zyxfu 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,1. 设解 : 两 个 隐 函 数 方 程 两 边 对 x 求 导 , 得 321 )sin( )(1dd fzx zxefxyfxu x u zyx x x0)()( yxyyxye yxxe zx zx )sin( )1( z,xyy )sin( )(1 zx zxez x ,dsin0 tt te zxx (2001考 研 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 得因 此 z xF yFy 0 zFz fx )1( y2. 设 )(,)( xzzxyy 是 由 方 程 )( yxfxz 和0),( zyxF 所 确 定 的 函 数 , 求 .dd xz解 法 1 分 别 在 各 方 程 两 端 对 x 求 导 , 得f fxfzyfx xzy FzFyF )0( zy FfxF zy xy FfxF FfxFfxf )( xzdd 1 zy FF fx xy FF fxffx (99考 研 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 法 2 微 分 法 . 0),(),( zyxFyxfxz对 各 方 程 两 边 分 别 求 微 分 :化 简 得消 去 yd .ddxz yF d2 0d3 zF yfx d 0d z)d(ddd yxfxxfz 0ddd 321 zFyFxF xfxf d)( xF d1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 可 得 222 111 cybxa cybxa解 : 22 111ba bax 22 11 bc bc 22 11 ca ca22 111ba bay 二 元 线 性 代 数 方 程 组 解 的 公 式 雅 可 比 (1804 1851)德 国 数 学 家 . 他 在 数 学 方 面 最 主 要的 成 就 是 和 挪 威 数 学 家 阿 贝 儿 相 互 独地 奠 定 了 椭 圆 函 数 论 的 基 础 . 他 对 行 列式 理 论 也 作 了 奠 基 性 的 工 作 . 在 偏 微 分方 程 的 研 究 中 引 进 了 “ 雅 可 比 行 列 式 ” , 并 应 用 在 微 积 分中 . 他 的 工 作 还 包 括 代 数 学 , 变 分 法 , 复 变 函 数 和 微 分 方程 , 在 分 析 力 学 , 动 力 学 及 数 学 物 理 方 面 也 有 贡 献 . 他在 柯 尼 斯 堡 大 学 任 教 18年 , 形 成 了 以 他 为 首 的 学 派 .