条件极值与拉格朗日乘数法

7-71 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般 步 骤 ：第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy 求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 .第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ),( 00 yx ， 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A、 B、 C.第 三 步 定 出 ACB 2 的 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 . 回顾：求极值的一般步骤 7-72 则 可 按 如 下 方 法 求 最 值 ： 将 函 数 在 区 域 D 内 的 所 有 驻 点 处 的函 数 值 及 在 D 的 边 界 上 的 最 大 值 和 最 小值 相 互 比 较 ， 其 中 最 大 者 即 为 最 大 值 ，最 小 者 即 为 最 小 值 . 与 一 元 函 数 相 类 似 ， 我 们 可 以 利 用 函 数 的极 值 来 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 .回顾：多元函数的最值的求法 设 函 数 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 ， 在 D内可 微 且 只 有 有 限 个 驻 点 。 7-73 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法实 例 ： 求 表 面 积 为 S(固 定 ) 、 体 积 最 大 的 长 方体 的 体 积 ( , , )V x y z xyz2 2 2xy yz zx S 限 制 条 件求 极 值条 件 极 值 ： 对 自 变 量 有 附 加 条 件 的 极 值 7-74求条件极值的方法1. 转 化 为 无 条 件 极 值 问 题 .2. 利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 . 7-75 要 找 函 数 ),( yxfz 在 条 件 0),( yx 下 的可 能 极 值 点 ， 1. 先 构 造 函 数 ),(),(),( yxyxfyxF ， 其 中 为 拉 格 朗 日 乘 数 . 2. 由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解 出 ,yx ， 其 中 ( yx, )就 是 可 能 的 极 值 点 的 坐标 . 拉格朗日乘数法 7-76 拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：要 找 函 数 ),( tzyxfu 在 条 件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下 的 极 值 ， 先 构 造 函 数 ),(),( tzyxftzyxF ),(),( 21 tzyxtzyx 其 中 21, 均 为 拉 格 朗 日 乘 数 ， 可 由 偏 导 数 为 零 及约 束 条 件 解 出 tzyx , ， 即 得 可 能 的 极 值 点 的 坐 标 . 更一般的情形 7-77 将 正 数 12分 成 三 个 正 数 zyx , 之 和 使 得zyxu 23 为 最 大 . 解 令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 002 03 233 22 zyx yxF yzxF zyxF zyx 解 得 唯 一 驻 点 )2,4,6( ，.6912246 23max u则 故 最 大 值 为 根 据 具 体 情 况 从 实 际 问 题 的 物 理 、 几 何 、 经 济 意 义可 以 判 断 是 否 为 最 值 例题1 7-78 在 区 域 2 2( , )| 50 x y x y 上 ,求 122 yx yxz的 最 大 值 和 最 小 值 . ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxyyxzy 得 驻 点 )21,21( 和 )21,21( , 解 由 ,21)21,21( z ,21)21,21( z例题2 7-79 在 边 界 上 2 2( , )| 50 x y x y 122 yx yxz z(5,5)=10/51z(-5,-5)=-10/51 最 大 值 为 21 ， 最 小 值 为 21 . 比 较 可 知 10 10 1 151 50 5 2 例题2续利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 得 可 能 的 最 值 点 为（ 5， 5） 以 及 （ 5， 5） ： 7-710 曲 线 2 21z x yx y z 上 面 哪 一 点 到 原 点 最 近 ?讨 论 2d 记 为 2 2 2( , , )f x y z x y z 1 22 2 2 2 21 2( , , , , ) ( ) ( 1)F x y zx y z x y z x y z 例题3 (p252,例2) ),( zyxP：设 椭 圆 上 的 点 为解 7-711 1 3 1 3, , 2 3,2 29 5 3x y zd 1 21 21 22 2 02 2 02 0 xyzF x xF y yF z 2 2 01 0 x y zx y z 例题3（续） 7-712小结求 条 件 极 值 的 方 法 :1. 转 化 为 无 条 件 极 值 .2. 利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 . 注 意 要 正 确 地 写 出 目 标 函 数 和 约 束 条 件 . 7-713 思 考 题 若 ),( 0 yxf 及 ),( 0yxf 在 ),( 00 yx 点 均 取 得极 值 ， 则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 是 否 也 取 得 极 值 ？ 思考题 7-714 思 考 题 解 答 不 是 . 例 如 22),( yxyxf , 当 0 x 时 ， 2),0( yyf 在 )0,0( 取 极 大 值 ; 当 0y 时 ， 2)0,( xxf 在 )0,0( 取 极 小 值 ; 但 22),( yxyxf 在 )0,0( 不 取 极 值 . 思考题解答 7-715 多 元 函 数 的 极 值拉 格 朗 日 乘 数 法（ 取 得 极 值 的 必 要 条 件 、 充 分 条 件 ）多 元 函 数 的 最 值小结 7-716 一 、 填 空 题 :1、 函 数 )4)(6(),( 22 yyxxyxf 在 _点 取 得 极 _值 为 _.2、 函 数 xyz 在 附 加 条 件 1 yx 下 的 极 _值 为 _.3、 方 程 02642222 zyxzyx 所 确 定 的 函 数 ),( yxfz 的 极 大 值 是 _,极 小 值是 _. 二 、 在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 0,0 yx 及0162 yx 三 直 线 的 距 离 平 方 之 和 为 最 小 . 三 、 求 内 接 于 半 径 为 a 的 球 且 有 最 大 体 积 的 长 方 体 . 练 习 题 7-717 四 、 在 第 一 卦 限 内 作 球 面 1222 zyx 的 切 平 面 ,使得 切 平 面 与 三 坐 标 面 所 围 的 四 面 体 的 体 积 最 小 ,求 切 点 的 坐 标 . 7-718 一 、 1、 (3,2),大 ,36； 2、 大 , 41； 3、 7,-1. 二 、 )516,58( . 三 、 当 长 ,宽 ,高 都 是 32a 时 ,可 得 最 大 的 体 积 . 四 、 ).31,31,31( 练 习 题 答 案