曲线积分与曲面积分第五节对坐标的曲面积分

第 五 节 对 坐 标 的 曲 面 积 分1 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质2 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 计 算 法三 两 类 曲 面 积 分 的 关 系 一 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质其 方 向 用 法 向 量 指 向方 向 余 弦 cos cos cos 0 为 前 侧 0 为 右 侧 0 为 上 侧 0 为 下 侧 外 侧内 侧 设 为 有 向 曲 面 ,)( yxS S yxS)(侧 的 规 定 指 定 了 侧 的 曲 面 叫 有 向 曲 面 , 表 示 : 其 面 元 在 xoy 面 上 的 投 影 记 为,0)( yxyxS)( 的 面 积 为 则 规 定,)( yx ,)( yx ,0 时当 0cos 时当 0cos 时当 0cos 类 似 可 规 定 zxyz SS )(,)( 设 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 的 速 度 场 为求 单 位 时 间 流 过 有 向 曲 面 的 流 量 . 分 析 : 若 是 面 积 为 S 的 平 面 , 则 流 量 法 向 量 : 流 速 为 常 向 量 : ),(),(),( zyxRzyxQzyxPv cos,cos,cos n vcosvS nvS nvS| |cosv 1. 引 例 对 一 般 的 有 向 曲 面 ,用 “ 大 化 小 , 常 代 变 , 近 似 和 , 取 极 限 ” ni 10lim0lim ni 1 iiiiP cos),( iiiiR cos),(0lim ni 1 zyiiii SP )(,( xziiii SQ )(,( yxiiii SR )(,( iiiiQ cos),( iS对 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 的速 度 场 ),(),(),( zyxRzyxQzyxPv 进 行 分 析 可 得 iii Snv cos,cos,cos iiiin 设 , 则 in iv( , , )i i i iS 设 为 光 滑 的 有 向 曲 面 块 , 的 任 意 分 割 和 在 局 部 面 元 上 任 意 取 点 ,0lim ni 1 zyiiii SP )(,( xziiii SQ )(,( 分 , yxRxzQzyP dddddd 记 作P, Q, R 叫 做 被 积 函 数 ; 叫 做 积 分 曲 面 . yxiiii SR )(,( 或 第 二 类 曲 面 积 分 . 下 列 极 限 都 存 在个 有 界 向 量 场 ,),(),(),( zyxRzyxQzyxPA 若 对则 称 此 极 限 为 向 量 场 A 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标 的 曲 面 积2. 定 义 . 在 上 定 义 了 一 引 例 中 , 流 过 有 向 曲 面 的 流 体 的 流 量 为 zyP dd xzQ dd 称 为 Q 在 有 向 曲 面 上 对 z, x 的 曲 面 积 分 ; yxR dd 称 为 R 在 有 向 曲 面 上 对 x, y 的 曲 面 积 分 .称 为 P 在 有 向 曲 面 上 对 y, z 的 曲 面 积 分 ; yxRxzQzyP dddddd若 记 正 侧 的 单 位 法 向 量 为令 cos,cos,cos n dd,dd,dddd yxxzzySnS ),(,),(,),( zyxRzyxQzyxPA则 对 坐 标 的 曲 面 积 分 也 常 写 成 如 下 向 量 形 式称 为 有 向 面 元 素 yxRxzQzyP dddddd SnA d SA d3. 性 质(1) 若 ,1ki i ki 1 之 间 无 公 共 内 点 , 则i且(2) 用 表 示 的 反 向 曲 面 , 则 SA d SASA dd i SA d 二 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 计 算 法定 理 : yxDyxyxzz ),(,),(: ),( zyxR是 上 的 连 续 函 数 , 则 yxzyxR dd),( ) ,( xyD yxR ),( yxz yxdd证 : 0lim ni 1 yxiiii SR )(,( yxiS )( ,)( yxi 取 上 侧 , ),( iii z 0lim ni 1 ) ,( iiR ),( iiz yxi)( yxzyxR dd),( 若 光 滑 曲 面 垂 直 于 xoy 面 ， 则 0),( dxdyzyxR若 光 滑 曲 面其 中 为 上 侧 时 ， 取 正 号 ， 否 则 取 负 号 。 yxx,yzyxRxyD dd)(,(当 取 下 侧 时 yxiS )( ,)( yxi yxzyxR dd),( ) ,( xyD yxR ),( yxz yxdd 若 ,),(,),(: zyDzyzyxx 则 有 zyzyxP dd),( ), ( zy,PyzD ),( zyx zydd 若 ,),(,),(: xzDxzxzyy 则 有 ) , ,( zxQ zxD ),( xzy xzdd (前 正 后 负 )(右 正 左 负 )0),( dydzzyxPyoz面 ， 则若 xzzyxQ dd),( 0),( dzdxzyxQzox面 ， 则若 5 13 x yz例 1 计 算 曲 面 积 分 dxdyxyzdzdxxzydydzyzx )()()( 222其 中 长 方 体 czbyax 0,0,0 表 面 的 外 侧 。解 o 2 46先 计 算 dydzyzx )( 2由 于 6543 , 垂 直 于 yoz面 ， 所 以 0)( 2 k dydzyzx )6,5,4,3( kyzDzyx ),(,0:1 yzDzyax ),(,:2 czbyDyz 0,0:后 侧前 侧 1 )( 2 dydzyzx yzD dydzyz)0( cb zdzydy 00 4 22cb 2 )( 2 dydzyzx yzD dydzyza )( 2 cb dzyzady 0 20 )( 4 222 cbbca 所 以 dydzyzx )( 2 61k k 4 22cb 4 222 cbbca bca2同 理 dzdxxzy )( 2 cab2 dxdyxyz )( 2 2abc原 式 )( cbaabc x z yo 1例 2 计 算 曲 面 积 分 . xyzdxdy 其 中 为 球 面,1222 zyx 0,0 yx 部 分 外 侧 。解 21 xyDyxyxz ),(,1: 221 上 侧xyDyxyxz ),(,1: 222 下 侧0,0,1: 22 yxyxDxy 1 xyzdxdy xyD dxdyyxxy 221 xyD dd 23 1sincos 2 10 2320 1sincos dd 1522 xyzdxdy xyD dxdyyxxy )1( 22 xyD dd 23 1sincos 152xyzdxdy 1 xyzdxdy 2 xyzdxdy154152152 2x yz 1o 3例 3 计 算 曲 面 积 分 . dxdyez 其 中 为 由 圆 锥 面22 yxz 与 ,1z 2z所 围 物 体 的 表 面 外 侧 。解 321 4,2: 221 yxz 上 侧1,1: 222 yxz 下 侧 ,41,: 22223 yxyxz 下 侧1 dxdyez 422 yx dxdye2 24 e2 dxdyez 122 yx dxdye1 e 3 dxdyez 41 22 yx dxdye yx 22 41 22 yx dde 20 21 ded22 e dxdyez 321 24 e e 22 e ee 22 三 两 类 曲 面 积 分 的 关 系ni 1 zyiiii SP )(,( xziiii SQ )(,( yxRxzQzyP dddddd yxiiii SR )(,( 0lim 0lim ni 1 iiiiP cos),( iiiiQ cos),( iiiiR cos),( iS SRQP dcoscoscos 曲 面 的 方 向 用 法 向 量 的 方 向 余 弦 刻 画 令 yxRxzQzyP dddddd SRQP dcoscoscos SAnd向 量 形 式 , RQPA cos,cos,cos n dd,dd,dddd yxxzzySnS SA d nAAn SnA d ( A 在 n 上 的 投 影 ) , zdxdyydzdxxdydz 222 zyx 2 2 2 2x y z z 部 分 上 侧 。其 中为 例 4 计 算 曲 面 积 分的 位 于解 上 侧 的 法 向 量 为 ,2,2,1 方 向 余 弦31cos 32cos 32cos zdxdyydzdxxdydz dSzyx )coscoscos( dSzyx )22(31 dS32 32 x yz例 5 设 ,1: 22 yxz 是 其 外 法 线 与 z 轴 正 向夹 成 的 锐 角 , 计 算 .dcos2 SzI 解 : SzI dcos2 yxz dd2 d)1(d 21020 2 xyD yxyx dd)1( 22 o n x yz 221cos yxx 例 6 计 算 曲 面 积 分 其 中 解 : 利 用 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 , 有 zyxz dd)( 2 )( 2 xz Sdcos yxddcoscos 原 式 = )( x )( 2 xz yxz dd ,dddd)( 2 yxzzyxz旋 转 抛 物 面 )( 2221 yxz 介 于 平 面 z= 0 及 z = 2 之 间 部 分 的 下 侧 . )( 2 xz 221 1cos yx o n )( xxxyD 222 )(41 yx 原 式 )( 2221 yx yxyxxxyD dd)( 22212 d)cos( 221220 2 20 d8 yxdd得代 入将 ,)( 2221 yxz x yzo