曲线积分与曲面积分练习

曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 练 习 21 22 1 ( 2,1) (2 2,4)2 LL xL A y ByI dsxy xI dx dyx y 、 设 是 从 点 沿 曲 线 到 点 的 弧 段 ，计 算 第 一 类 曲 线 积 分和 第 二 类 曲 线 积 分 ， 并 求 该 函 数 。某 个 二 元 函 数 的 全 微 分 是、 验 证 dyyxxydxxyxy )3sin21()cos2(2 2223 练 习 计 算 dszyx )( , 其 中 为 平 面5 zy 被 柱 面 2522 yx 所 截 得 的 部 分 . 3、 yzdzdxxydydzxzdxdy 1,0,0,0 zyxzyx4、 计 算其 中 是 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧 ； (3 ) ( ) ,LI x y dy x y dx 计 算 其 中2 2( 1) ( 4) 9,L x y 为 圆 周 逆 时 针 方 向用 第 二 类 曲 线 积 分 的 计 算 方 法 化 为 定 积 分 ，L的 参 数 方 程 为 1 3cos , 0 24 3sinx t ty t 2 20 (21cos 27cos 18cos sinI t t t t 29sin 9sin )t t dt 18 例 :解 1:解 2:用 格 林 公 式 ， ,X y x 设 3Y x y Y Xx y 2，LI Xdx Ydy D L记 为 所 围 圆 盘 ,18 L D是 的 正 向 边 界 ,2D dxdy xyo ALsin (0,0)L y x O设 为 曲 线 由 点 到( sin 2 ) ( cos )x xLI e y xy dx e y x dy ( ,0) ,A 点 的 一 段 试 计 算 曲 线 积 分补 成 封 闭 路 径 ！( ) ( sin 2 ) ( cos )x xL AO OAI e y xy dx e y x dy D不 封 闭 ！利 用 格 林 公 式例 :解 : D L D是 的 负 向 边 界( sin 2 )xe y xy dxdyy D dxdyx)21( x dyxdx sin00 )21()1(2 ( cos )xe y xx 练 习 2 22 2(1 2 ) ( ) ,2 (0,0) (1,1)LI xy y dx x y dyL x y y 1、 计 算其 中 是 圆 上 从 到 一 段 。 4 2 3 2 2 22(5 3 )d (3 3 )d 0 x xy y x x y xy y y 、 求 解 4 2 2 4 20( , ) 2 ( ) ( )( , ) ( , ) xA x y xy x y i x x y ju x y u x y 、 确 定 常 数 ， 使 在 右 半 平 面 上 的 向 量为 某 个 二 元 函 数 的 梯 度 ， 并 求3 例 :解 : 2 22 2(1 2 ) ( ) ,2 (0,0) (1,1)LI xy y dx x y dy Lx y y 计 算 其 中是 圆 上 从 到 一 段 xy O (1,1)AX 2( ) ,Y x y Xy Yx ， 2( , )x y R 成 立在 全 平 面 上 ， 积 分 与 路 径 无 关 ，I (1,0)B 10 OBA取 折 线10 431dx 2(1 )y dy 21 2 ,xy y 2 2x y 2 2( )(1 2 ) ( )OB BA xy y dx x y dy ),( yxy xo4 2 3 2 2 2(5 3 )d (3 3 )d 0 x xy y x x y xy y y 求 解 Xy 因 为 26 3xy y ,Yx 是 全 微 分 方 程求 方 程 左 端 的 一 个 原 函 数 ( , ).u x y2 2 20 (3 3 ) dy x y xy y y 5 2 2 3 33 12 3x x y xy y 因 此 方 程 的 通 解 为 5 2 2 3 33 12 3x x y xy y C )0,(x 例 :解 : 4 2 3 2 2 25 3 3 3X x xy y Y x y xy y 记 ，( , )u x y 0 x方 法 ：1 ( , )(0,0) dx y X x Ydy45 dx x 4 2 3 2 2 2(5 3 )d (3 3 )d 0 x xy y x x y xy y y 求 解 由 两 边 对 求 不 定 积 分4 2 35 3u x xy y xx 5 2 2 33( , ) ( )2u x y x x y xy C y 例 :解 : 是 的 任 意 函 数( )C y y 2 23 3 ( )u x y xy C yy 两 边 对 求 偏 导y 又 2 2 23 3 ,u x y xy yy 2( ) ,C y y ，3( ) 3yC y 35 2 2 33( , ) 2 3yu x y x x y xy 求 方 程 左 端 的 一 个 原 函 数 ( , ).u x y方 法 ：2 4 2 3 2 2 2(5 3 )d (3 3 )d 0 x xy y x x y xy y y 求 解例 :解 : 求 方 程 左 端 的 一 个 原 函 数 ( , ).u x y方 法 ：3 4 2 3 2 2 2(5 3 )d (3 3 )dx xy y x x y xy y y 5( )d x 3( )d xy3( )3yd 2 23( )2x yd35 2 2 33( )3 2yd x x y xy 凑 微 分 法 35 2 2 33( , ) 3 2yu x y x x y xy 4 2 2 4 20( , ) 2 ( ) ( )( , ) ( , )xA x y xy x y i x x y ju x y u x y 确 定 常 数 ， 使 在 右 半 平 面 上 的 向 量为 某 个 二 元 函 数 的 梯 度 ， 并 求记 ( , )X x y 只 需 ,在 右 半 平 面 上 X Yy x 即 4 2 4 2 12 ( ) 2 ( ) 2x x y xy x y y 4 2 2 4 2 1 32 ( ) ( ) 4x x y x x y x ( , )A x y u为 了 ( , ) ( , ) ( , )X x y dx Y x y dy u x y即 是 的 全 微 分整 理 得 4 24 ( ) ( 1) 0,x x y 例 :解 : 于 是 解 得 24 2 4 22( , ) , ( , )xy xX x y Y x yx y x y 4 24 ( ) 0 x x y 1 4 22 ( ) ,xy x y 2 4 2( , ) ( )Y x y x x y ( , )u x y 24 2 4 21 02 00 x yx xdx dy Cx x y 2yarctg Cx 24 2 4 22( , ) , ( , )xy xX x y Y x yx y x y ( , ) ( , ) ( , )X x y dx Y x y dy u x y 是 的 全 微 分( , )(1,0)x y 24 22xydx x dy Cx y 计 算 dszyx )( , 其 中 为 平 面5 zy 被 柱 面 2522 yx 所 截 得 的 部 分 . 例 1 积 分 曲 面： yz 5 ,解 投 影 域 ： 25|),( 22 yxyxDxy dszyx )(故 xyD dxdyyyx )5(2 xyD dxdyx)5(2rdrrd 5020 )cos5(2 .2125 dxdyzzdS yx 221 dxdy2)1(01 ,2dxdy