空间向量及其运算(IV)

8.6 空 间 向 量 及 其 运 算要 点 梳 理1.空 间 向 量 的 有 关 概 念 (1)空 间 向 量 ： 在 空 间 中 ， 具 有 和 的 量 叫 做 空 间 向 量 . (2)相 等 向 量 ： 方 向 且 模 的 向 量 . (3)共 线 向 量 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 直 线 互 相 于 同 一 平 面 的 向 量 . (4)共 面 向 量 ： 的 向 量 .大 小 方 向相 同 相 等平 行 平 行 或 重 合基 础 知 识 自 主 学 习 2.共 线 向 量 、 共 面 向 量 定 理 和 空 间 向 量 基 本 定 理 （ 1） 共 线 向 量 定 理 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a,b(b 0),a b的 充 要 条 件 是 . 推 论 如 图 所 示 ， 点 P在 l上 的 充 要 条 件 是 ： 其 中 a叫 直 线 l的 方 向 向 量 ， t R, 在 l上 取 ,则 可 化 为存 在 实 数 ， 使 得 a= btaOAOP aAB OP.)1( OBtOAtOP 或 ABtOA （ 2） 共 面 向 量 定 理 的 向 量 表 达 式 ：p= ， 其 中 x,y R,a,b为 不 共 线 向 量 ， 推 论 的表 达 式 为 或 对 空 间 任 意 一 点 O有 ,其 中 x+y+z=1.(3)空 间 向 量 基 本 定 理如 果 三 个 向 量 a,b,c不 共 面 ， 那 么 对 空 间 任 一 向量 p,存 在 有 序 实 数 组 x,y,z， 使 得 p= ，把 a,b,c叫 做 空 间 的 一 个 基 底 .xa+yb MByMAxMP OP MByMAxOM ,OBzOAyOMxOP 或 xa+yb+zc 3.空 间 向 量 的 数 量 积 及 运 算 律 （ 1） 数 量 积 及 相 关 概 念 两 向 量 的 夹 角 已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,在 空 间 任 取 一 点 O, 作 =a， =b， 则 叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ， 记 作 ,其 范 围 是 , 若 a,b = ,则 称 a与 b ,记 作 a b. 两 向 量 的 数 量 积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a,b,则 叫 做 向 量 a,b的 数 量 积 ,记 作 ,即 .OA OB AOB a,b 0 a,b 2 互 相 垂 直|a|b|cos a,ba b a b=|a|b|cos a,b (2)空 间 向 量 数 量 积 的 运 算 律 结 合 律 :( a) b= ； 交 换 律 ： a b= ; 分 配 律 ： a （ b+c） = .4.空 间 向 量 的 坐 标 表 示 及 应 用 （ 1） 数 量 积 的 坐 标 运 算 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a b= . （ 2） 共 线 与 垂 直 的 坐 标 表 示 设 a=(a 1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a b , , , （ a b）b a a b+a ca1b1+a2b2+a3b3 a= b a1= b1 a2= b2 a3= b3( R) a b (a,b均 为 非 零向 量 ） .（ 3） 模 、 夹 角 和 距 离 公 式设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 |a|= ，cos a,b = .若 A（ a1， b1， c1） ， B（ a2， b2， c2） ，则 d AB= = . a b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0aa 332221 aaa | ba ba 232221232221 332211 bbbaaa bababa | AB 212212212 )()()( ccbbaa 基 础 自 测1.下 列 命 题 中 是 真 命 题 的 是 ( ) A.分 别 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 是 异 面 直 线 ， 则 这 两 个 向 量 不 是 共 面 向 量 B.若 |a|=|b|， 则 a， b的 长 度 相 等 且 方 向 相 同 或 相 反 C.若 向 量 ， 满 足 且 与 同 向 ， 则 D.若 两 个 非 零 向 量 与 满 足 + =0， 则 AB CD |,| CDAB AB CDAB CDAB CD AB CD AB CD 解 析 A错 .因 为 空 间 任 两 向 量 平 移 之 后 可 共 面 ，所 以 空 间 任 意 两 向 量 均 共 面 .B错 .因 为 |a|=|b|仅 表 示 a与 b的 模 相 等 ， 与 方 向无 关 .C错 .因 为 空 间 向 量 不 研 究 大 小 关 系 ， 只 能 对 向 量的 长 度 进 行 比 较 ,因 此 也 就 没 有 这 种 写 法 .D对 . + =0, =- ， 与 共 线 ， 故 正 确 .答 案 D AB CDAB CD AB CDAB CD AB CD 2.已 知 空 间 四 边 形 OABC中 ， 点 M在 线 段 OA上 ， 且 OM=2MA,点 N为 BC的 中 点 ， 设 =a, =b, =c， 则 等 于 ( ) 解 析 OA OBOC MN cbacba cbacba 213232.D213221.C 212132.B322121.A OAOCOBOMONMN 32)(21 .322121 acb B 3.下 列 命 题 ： 若 A、 B、 C、 D是 空 间 任 意 四 点 ， 则 有 |a|-|b|=|a+b|是 a、 b共 线 的 充 要 条 件 ； 若 a、 b共 线 ， 则 a与 b所 在 直 线 平 行 ； 对 空 间 任 意 一 点 O与 不 共 线 的 三 点 A、 B、 C， 若 （ 其 中 x、 y、 z R） ,则 P、 A、 B、 C四 点 共 面 .其 中 不 正 确 命 题 的 个 数 是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 BCAB;0DACD OCzOByOAxOP 解 析 中 四 点 恰 好 围 成 一 封 闭 图 形 ， 正 确 ； 中 当 a、 b同 向 时 ， 应 有 |a|+|b|=|a+b|； 中 a、 b所 在 直 线 可 能 重 合 ； 中 需 满 足 x+y+z=1， 才 有 P、 A、 B、 C四 点 共 面 .答 案 C 4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17) 这 四 个 点 (填 共 面 或 不 共 面 ). 解 析 =（ 3， 4， 5） ， =（ 1， 2， 2） ， =（ 9， 14， 16） ， 即 （ 9， 14， 16） =（ 3x+y， 4x+2y， 5x+2y） ，AB ACAD .ACyABxAD 设 .,3,2 四 点 共 面所 以 、C、DA、yx 共 面 B 题 型 一 空 间 向 量 的 线 性 运 算 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体 ABCD- A1B1C1D1中 ， 设 =a， =b， =c， M， N， P分 别 是 AA1， BC， C1D1的 中 点 ， 试 用 a， b， c表 示 以 下 各 向 量 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） . 根 据 空 间 向 量 加 减 法 及 数 乘 运 算 的 法则 和 运 算 律 即 可 . 1AA AB ADAP NA 1 1NCAP 题 型 分 类 深 度 剖 析 解 （ 1） P是 C1D1的 中 点 ，.2121 21 111111 bcaca AB CDADaPDDAAAAP .2121 21,)2( 11 cbaba ba AD BCBNABAANA BCN 的 中 点是 .232123 )21()2121( ,2121 21 ,2121)21(21 21,)3( 1 1 111 11 cba cacba ac cbabcaa NCMP AAAD AABCCCNCNC APAAAPMAMP AAM又 的 中 点是 用 已 知 向 量 来 表 示 未 知 向 量 ， 一 定 要 结合 图 形 ， 以 图 形 为 指 导 是 解 题 的 关 键 .要 正 确 理 解向 量 加 法 、 减 法 与 数 乘 运 算 的 几 何 意 义 .首 尾 相 接的 若 干 向 量 之 和 ， 等 于 由 起 始 向 量 的 始 点 指 向 末尾 向 量 的 终 点 的 向 量 ， 我 们 可 把 这 个 法 则 称 为 向量 加 法 的 多 边 形 法 则 .在 立 体 几 何 中 要 灵 活 应 用 三角 形 法 则 ， 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 在 空 间 仍然 成 立 . 知 能 迁 移 1 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD A1B1 C1D1中 ， O为 AC的 中 点 . (1)化 简 ： ;21211 ADABOA ,32,)2( 11 DDDEDDE 且上 的 点是 棱设 .,1 的 值试 求若 z、x、AAzADyABxEO 解 ,)1( ACADAB . 21 )(212121 111 11 AAAOOAACOA ADABOAADABOA y .32,21,21 ,322121 212132 )(2132 2132)2( 111 1 zyx AAADAB ABDAAA ABDADD DBDDDOEDEO 题 型 二 共 线 、 共 面 向 量 定 理 的 应 用 已 知 E、 F、 G、 H分 别 是 空 间 四 边 形 ABCD的 边 AB、 BC、 CD、 DA 的 中 点 ， （ 1） 求 证 ： E、 F、 G、 H四 点 共 面 ； （ 2） 求 证 ： BD 平 面 EFGH； （ 3） 设 M是 EG和 FH的 交 点 ， 求 证 ： 对 空 间 任 一 点 O， 有 (1） 要 证 E、 F、 G、 H四 点 共 面 ， 可 寻 求 x,y使 （ 2） 由 向 量 共 线 得 到 线 线 平 行 ， 进 而 得 到 线 面 平 行 . ).(41 ODOCOBOAOM .EHyEFxEG 证 明 （ 1） 连 接 BG， 则由 共 面 向 量 定 理 的 推 论 知 ：E、 F、 G、 H四 点 共 面 .（ 2） 因 为所 以 EH BD.又 EH 平 面 EFGH， BD 平 面 EFGH，所 以 BD 平 面 EFGH. ,)(21 EHEFEHBFEB BDBCEB BGEBEG AEAHEH ,21)(212121 BDABADABAD （ 3） 连 接 OM， OA， OB， OC， OD， OE， OG.所 以 ， 即 EH FG，所 以 四 边 形 EFGH是 平 行 四 边 形 .所 以 EG， FH交 于 一 点 M且 被 M平 分 .,21 ,21)2( BDFG BDEH 同 理 知由 FGEH ).(41 )(2121)(2121 2121)(21 ODOCOBOA ODOCOBOA OGOEOGOEOM 故 在 求 一 个 向 量 由 其 他 向 量 来 表 示 的时 候 ， 通 常 是 利 用 向 量 的 三 角 形 法 则 、 平 行 四 边形 法 则 和 共 线 向 量 的 特 点 ,把 要 求 的 向 量 逐 步 分解 ， 向 已 知 向 量 靠 近 ， 进 行 求 解 .若 要 证 明 两 直 线平 行 ， 只 需 判 定 两 直 线 所 在 的 向 量 满 足 线 性 a= b关 系 ， 即 可 判 定 两 直 线 平 行 ， 如 第 （ 1） （ 2） 问 即是 如 此 . 知 能 迁 移 2 设 A， B， C及 A1， B1， C1分 别 是 异 面 直 线 l1， l2上 的 三 点 ， 而 M， N， P， Q分 别 是 线 段 AA1， BA1， BB1， CC1的 中 点 .求 证 ： M、 N、 P、 Q四 点 共 面 . 证 明 依 题 意 有 .2,2 11 NPBANMBA CCCBBCCCBC CCCBBB QCCBPBPQ 111111 1111 1111 21)(21 2121 又 ., , )22(21(*) .2,2 , ),(21 1111111 11 共 面式 得代 入 分 别 共 线及 NPNMPQ NPNM NPNMPQ NPBACBNMBABC CBACBA CBBC M、 N、 P、 Q四 点 共 面 . (*) 题 型 三 空 间 向 量 的 模 、 夹 角 及 数 量 积 （ 12分 ） 如 图 所 示 ， 已 知 空 间 四 边 形 ABCD的 各 边 和 对 角 线 的 长 都 等 于 a， 点 M、 N分 别 是 AB、 CD的 中 点 . （ 1） 求 证 ： MN AB， MN CD； （ 2） 求 MN的 长 ； （ 3） 求 异 面 直 线 AN与 CM所 成 角 的 余 弦 值 . 把 用 ， ， 表 示 出 来 ， 然 后 计 算 数 量 积 ， 求 模 和 夹 角 .MN AB AC AD （ 1） 证 明 由 题 意 可 知 ： |p|=|q|=|r|=a， 且 p、 q、 r三 向 量 两两 夹 角 均 为 60 . ., rqp ADACAB21 21)(21 ABADACAMANMN(q+r-p) 21 ABMN (q+r-p) p21 (q p+r p-p 2） ., ,0)60cos60cos(21 222 CDMNABMN aaa 同 理 可 证 2分4分 （ 2） 解 21)1( MN可 知由 (q+r-p).22,22| .22414141 41| 22 22 aMNaMN aa MNMN 的 长 为 (q+r-p)2 q2+r2+p2+2（ q r-p q-r p） )222(2 222222 aaaaaa 8分 (3)解 .的 夹 角 为与设 向 量 MCAN . 2)424(21 )60cos2160cos60cos21(21 )2121(21 )21()(21 ,2121)(21 22222 22222 aaaaa aaaa MCAN AMACMC ADACAN prqrpqq pqrq pq (q+r),23| aMCAN 又 10分 （ 1） 用 基 向 量 解 决 问 题 ， 首 先 要 选取 一 组 基 底 ， 该 基 底 的 模 与 夹 角 应 已 知 或 可 求 .（ 2） 注 意 两 向 量 夹 角 与 异 面 直 线 所 成 的 角 的 区 别与 联 系 . .32,32,32cos .2cos2323 cos| 2所 成 角 的 余 弦 值 为与面 直 线 从 而 异的 夹 角 的 余 弦 值 为与向 量 CMAN MCAN aaa MCANMCAN 11分12分 知 能 迁 移 3 已 知 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD是 边 长 为 1的 正 方 形 ， AA1=2， A1AB= A1AD=120 . （ 1） 求 线 段 AC1的 长 ； （ 2） 求 异 面 直 线 AC1与 A1D所 成 角 的 余 弦 值 ； （ 3） 证 明 ： AA1 BD. （ 1） 解 如 图 所 示 ， 设 =a， 则 |a|=|b|=1， |c|=2. a b=0， a c=b c =2 1 cos 120 =-1. AB, 1 cAAbAD =a+b+c. =（ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2a b+2a c+2b c=1+1+22-2-2=2.（ 2） 解 =a+b+c， =b-c， =（ a+b+c） （ b-c）=a b-a c+b 2-b c+b c-c2=1+12-22=-2. 11 CCBCABAC 21 | AC .2.2| 11的 长 为即 ACAC 1AC DA1DAAC 11 又 =（ b-c） 2=b2+c2-2b c=1+4+2=7. 异 面 直 线 AC1与 A1D所 成 角 的 余 弦 值 为（ 3） 证 明 b-a， =c （ b-a）=c b-c a=-1-（ -1） =0.21 | DA ,71472 2 |,cos .7| 11 11111 DAAC DAACDAACDA .714 BDcAA , 1BDAA 1 ., 11 BDAABDAA 即 题 型 四 空 间 向 量 坐 标 及 坐 标 运 算 设 向 量 a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计 算 2a+3b, 3a-2b,a b以 及 a与 b所 成 角 的 余 弦 值 ,并 确 定 , 应 满 足 的 条 件 ， 使 a+ b与 z轴 垂 直 . 代 入 向 量 坐 标 运 算 的 公 式 求 2a+3b,3a- 2b， a b， 利 用 数 量 积 求 a与 b的 夹 角 余 弦 值 ,利 用 （ a+ b） （ 0， 0， 1） =0， 确 定 , 的 关 系 . 解 2a+3b=2 （ 3， 5， -4） +3 （ 2， 1， 8） =（ 6， 10， -8） +（ 6， 3， 24） =（ 12， 13， 16） . 3a-2b=3 （ 3， 5， -4） -2 （ 2， 1， 8） =（ 9， 15， -12） -（ 4， 2， 16） =（ 5， 13， -28） . a b=（ 3， 5， -4） （ 2， 1， 8） =6+5-32=-21.（ a+ b） （ 0， 0， 1）=（ 3 +2 ， 5 + ， -4 +8 ） （ 0， 0， 1）=-4 +8 =0， 即 =2 ， 当 ， 满 足 =2 时 ， 可 使 a+ b与 z轴 垂 直 . 空 间 向 量 的 坐 标 运 算 ， 关 键 是 要 注 意向 量 坐 标 与 点 的 坐 标 间 的 关 系 ， 并 熟 练 掌 握 运 算 公 式 . .23013876950 21|,cos ,69812| ,50)4(53 222 222 ba babab a 知 能 迁 移 4 已 知 ABC的 顶 点 A（ 1， 1， 1） ， B（ 2， 2， 2） ， C（ 3， 2， 4） ， 试 求 （ 1） ABC的 重 心 坐 标 ； （ 2） ABC的 面 积 ； （ 3） ABC的 AB边 上 的 高 . 解 （ 1） 设 重 心 坐 标 为 （ x0,y0,z0） ,).37,35,2( ,373 421 ,353 221,23 321 0 00重 心 坐 标 为则 z yx ,6312,14| ,3|),3,1,2(),1,1,1()2( ACABAC ABACAB .267114321 sin|21 .7142361sin ,426143 6,coscos AACABS A ACABAABC .2.2321 26| |,|21,)3( 边 上 的 高 是的故 则边 上 的 高 为设 ABABCCD CDABSCDAB ABC 方 法 与 技 巧1.熟 练 掌 握 空 间 向 量 的 运 算 、 性 质 及 基 本 定 理 是 解 决 空 间 向 量 问 题 的 基 础 ， 特 别 是 共 线 向 量 定 理 、 共 面 向 量 定 理 、 空 间 向 量 基 本 定 理 、 数 量 积 的 性 质 等 .2.利 用 向 量 解 立 体 几 何 题 的 一 般 方 法 ： 把 线 段 或 角 度 转 化 为 向 量 表 示 ,用 已 知 向 量 表 示 未 知 向 量 , 然 后 通 过 向 量 的 运 算 或 证 明 去 解 决 问 题 ,在 这 里 , 恰 当 地 选 取 基 底 可 使 向 量 运 算 简 捷 ,或 者 是 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,使 立 体 几 何 问 题 成 为 代 数 问 题 ， 在 这 里 ,熟 练 准 确 地 写 出 空 间 中 任 一 点 的 坐 标 是 解 决 问 题 的 基 础 . 思 想 方 法 感 悟 提 高 失 误 与 防 范1.利 用 坐 标 运 算 解 决 立 体 几 何 问 题 ,降 低 了 推 理 难 度 ,可 以 避 开 一 些 较 复 杂 的 线 面 关 系 ， 但 较 复 杂 的 代 数 运 算 也 容 易 导 致 出 错 .因 此 ， 在 解 决 问 题 时 ， 可 以 灵 活 的 选 用 解 题 方 法 ， 不 要 生 搬 硬 套 .2.用 空 间 向 量 解 决 立 体 几 何 中 的 平 行 或 共 线 问 题 一 般 用 向 量 共 线 定 理 ； 求 两 点 间 距 离 或 某 一 线 段 的 长 度 ， 一 般 用 向 量 的 模 来 解 决 ； 求 异 面 直 线 所 成 的 角 ， 一 般 可 以 转 化 为 两 向 量 的 夹 角 ， 但 要 注 意 两 种 角 的 范 围 不 同 ， 最 后 应 进 行 转 化 ； 解 决 垂 直 问 题 一 般 可 转 化 为 向 量 的 数 量 积 为 零 .3.空 间 向 量 的 加 法 、 减 法 经 常 逆 用 ,来 进 行 向 量 的 分 解 . 4.几 何 体 中 向 量 问 题 的 解 决 ， 选 好 基 底 是 关 键 . 一 、 选 择 题1.若 a,b,c为 空 间 的 一 组 基 底 ， 则 下 列 各 项 中 ， 能 构 成 基 底 的 一 组 向 量 是 （ ） A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 解 析 若 c、 a+b、 a-b共 面 ， 则 c= (a+b)+m(a-b)=( +m)a+( -m)b, 则 a、 b、 c为 共 面 向 量 ， 此 与 a、 b、 c为 空 间 向 量 的 一 组 基 底 矛 盾 ， 故 c， a+b， a-b可 构 成 空 间 向 量 的 一 组 基 底 . C定 时 检 测 2.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 给 出 以 下 向 量 表 达 式 ： A. B. C. D. 的 是其 中 能 够 化 简 为 向 量 11111 1111111 .)( ;2)( ;)( ;)( BDDDAADB DDABAD CDBBBC ABAADA ( ) 解 析 答 案 A .A ,)( ;22)( ;)( ;）- （ 111111111 111 1111111 11111所 以 选 BDDBDDDBDDAADB BDDDBDDDABAD BDCDBCCDBBBC BDABADABAADA 3.若 向 量 a=(1, ,2)， b=(2,-1,2)且 a与 b的 夹 角 的 余 弦 值 为 ， 则 等 于 ( ) A.2 B.-2 C. D. 解 析 985522或 5522 或 ,95 42|98 2 ba ba由 已 知 得 .5522),6(358 2 或解 得 C 4.已 知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5, ),若 a,b,c三 向 量 共 面 ， 则 实 数 等 于 ( ) 解 析 由 题 意 得 c=ta+ b =(2t- ,-t+4 ,3t-2 ), 765.D760.C763.B762.A 765.71773323 ,45 27 tttt D 5.已 知 直 线 AB、 CD是 异 面 直 线 ,AC CD,BD CD, 且 AB=2， CD=1， 则 异 面 直 线 AB与 CD所 成 角 的 大 小 为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解 析 |,cos CDAB CDABCDAB .60 ,21212 )( 2 所 成 角 为与 CDAB CDCDDBCDAC C 6.正 方 体 ABCD A1B1C1D1的 棱 长 为 a， 点 M在 上 且 N为 B1B的 中 点 ,则 为 ( ) 解 析 以 D为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz， 则 A（ a， 0， 0） ， C 1（ 0， a， a） ， 设 M（ x， y， z） 1AC,21 1MCAM |MNaa aa 315.D615.C 66.B621.A ). 2,( aaaN .621)32()3()32(| ),3,3,32( .3,3,32 ),(21),( ,21 222 11 aaaaaaaMN aaaM azayax zayaxzyax MCAMACM 得 上 且在点答 案 A 二 、 填 空 题7.如 图 所 示 ， 已 知 空 间 四 边 形 ABCD， F为 BC的 中 点 ， E为 AD的 中 点 ， 若 则 = . 解 析 如 图 所 示 ,取 AC的 中 点 G,连 接 EG、 GF,),( DCABEF . 21 )(21 DCABGFEGEF则 21 8.已 知 a=（ 1-t， 1-t， t） ， b=（ 2， t， t） ， 则 |b-a| 的 最 小 值 为 . 解 析 b-a=（ 1+t， 2t-1， 0） ， |b-a|= ,59)51(5)12()1( 222 ttt .553|,51 取 得 最 小 值 为时当 ab t 553 9.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,下 面 给 出 四 个 命 题 : 则 正 确 命 题 的 序 号 是 （ 填 写 所 有 正 确 命 题 的 序 号 ） . .| ;60 ;0)( ;)(3)( 111 1111 211211111 ADAAABBAAD AABACA BABADAAA 此 正 方 体 体 积 为的 夹 角 为与 解 析 由 三 垂 线 定 理 知 A1C AB1， 正 确 ； AD1与 A1B两 异 面 直 线 的 夹 角 为 60 ， 但 的 夹 角 为 120 , , 注 意 方 向 .答 案 ,)( ; |,|3| 111111 11111111 ABCAAABACA BACABADAAA 正 确 BAAD 11与CDBA 11 .|,0 11 ADAAABAAAB 正 确 的 应 是 三 、 解 答 题10.证 明 三 个 向 量 a=-e1+3e2+2e3， b=4e1-6e2+2e3， c= -3e1+12e2+11e3共 面 . 证 明 若 e1、 e2、 e3共 面 ， 显 然 a、 b、 c共 面 ； 若 e1、 e2、 e3不 共 面 ， 设 c= a+ b， 即 -3e1+12e2+11e3= (-e1+3e2+2e3)+ (4e1- 6e2+2e3), 整 理 得 -3e1+12e2+11e3=(4 - )e1+(3 -6 )e2 +(2 +2 )e3, .,215 ,21,5,1122 ,1263 ,34则 三 个 向 量 共 面即 解 得知由 空 间 向 量 基 本 定 量 可bac 11.如 图 所 示 ， 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 M在 AC上 ， 且 |AM|= |MC|， 点 N在 A1D上 ， 且 |A1N|=2|ND|， 设 =a， =b， =c， 试 用 a,b,c 表 示 . 解 21 AB AD 1AAMN .baADABAC |,|2| ).(3131 |,|21| 1 NDNA ACMA MCAM 又 ba 12.已 知 :a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z), a b,b c,求 : (1)a,b,c; (2)(a+c)与 (b+c)所 成 角 的 余 弦 值 . ).(31)(32)(31 ).(32)(3232 11 111 acbcbcba cb NAAAMAMN AAADDANA 解 (1)因 为 a b,所 以解 得 x=2,y=-4,这 时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又 因 为 b c,所 以 b c=0， 即 -6+8-z=0，解 得 z=2,于 是 c=(3,-2,2).（ 2） 由 （ 1） 得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设 (a+c)与 (b+c)所 成 角 为 ， ,1142 yx .1923838 3125cos 因 此 返 回