数学实验之四数列与级数

2021-4-24 数 学 实 验 之 四数 列 与 级 数陈发来 中国科学技术大学数学系 2021-4-24 1、数列与级数数列 级数数列与级数的关系 给定数列（1），令 ，则数列（1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 则级数（2）等价于数列（1）。 )1(, 21 naaa )2(21 nn bbbb 1,11 nnn aabab,21 nn bbba 2021-4-24 给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时的极限状态又如何？ 2021-4-24 2、Fibonacci数列 Fibonacci数列由递推关系确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 1,1,1, 2112 FFnFFF nnn12 3 45 2021-4-24 为研究Fibonacci数列的规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列 的折线图。NnFn n ,2,1),( 5101520 1000 2000 3000 4000 2021-4-24 易知故有 的阶在 与 之间。为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接 的折线图。然后用直线去拟合之. 1121 22/3 nnnnn FFFFFnF n)2/3( n2nF NnFn n ,2,1),log(,( 2021-4-24 2004006008001000 100 200 300 400ng n 481211.0803901.0 ngn nef 61803.1447581.0 2021-4-24 猜测将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足进一步猜测nn crF 012 rr 2/)51( 2,1 r nn cF )2/)51( 121 FF nnn rcrcF 2211 2021-4-24 由此得可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此，Fibonacci数列趋于无穷的阶为5/)2/)51()2/)51( nnnF 5/)2/)51( nnF 2021-4-24 一般地, 给定数列的递推关系假设则 满足0 011 kkk rr nn cra nknkkn aaa 011 r 2021-4-24 因此 的通项为其中 是上述方程的根。nkknn rcrca 11krr ,1 na 2021-4-24 3、调和级数调和级数研究数列的极限阶. 1 1n n nS n 131211 2021-4-24 首先研究 的折线图.nS 200040006000800010000 7 8 9 200040006000800010000 7 8 9 10 11 12 2021-4-24 由于 下面研究 的极限.从上图猜测, 极限 存在.实际上,易知nnn SSH 2 1 22 )(1 1k nnnnk kk SSSk 5001000150020002500300035004000 0.2 0.4 0.6 0.8 1693.0lim cHnn 2021-4-24 故知极限存在. 进而由此猜测用数据拟合发现, 称为Euler常数. Kk nnnn KcSSSS kkK 1 222 )( 1bnaS n )lg( 693.0,1 bab 12/1 1 nn HH 2021-4-24 也可以直接从数列 出发.猜测nSGn 2 2.557.51012.515 2 4 6 8 10bnaS n )lg( 2021-4-24 4、3N+1问题问题：任给自然数n，如果n是偶数，则将n除2；如果n是奇数，则将n乘3加1。重复上述过程得到一个无穷数列。例如， 上述数列可递归地定义为 如果n为偶 如果n为奇 1241248165 13 2/1 nnn aaa 2021-4-24 我们来研究上述数列的规律。先从简单的示例开始。1248165 124 1248165103 12412 1241 2021-4-24 用Mathematica编程验证： 1、是否对任意n，从n开始产生的数列最后都落于421的循环中？ 2、数列在落于421循环之前，有什么规律？ Chaosn_Integer: Modulemn,tn, Whilem1,mIfModm,20,m2,3m1; AppendTot,m;ListPlott,PlotJoinedTrue;t 2021-4-24 对n=27得 27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161, 484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155, 466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780, 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566, 283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079, 3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367, 4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732, 866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92, 46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 2021-4-2420406080100500100015002000 2500 3000 2021-4-24 该问题起源于20世纪50年代，被称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想，简称3x+1问题。目前有人验证到 猜想仍然成立。3743948815424828722137 50 n 2021-4-24 一些观察：如果 ，则对 ， 为奇数，则kn 2 1222 1 kk ln k2 l llll kk 222 1 2021-4-24 如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想成立。对 n=4k+1, 有对 n=16k+3, 有132641214 kkkk 294188361672 5241048316 kkkk kkk 2021-4-24 如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一 1、数列落于有别于421的循环中； 2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。 2021-4-24 引入一些概念：航班：从n开始迭代产生的数列（直至1为止）。如第5次航班为5168421航程：航班的长度。如航班5168421的长度为5最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如第5航班的最大飞行高度为16 2021-4-24 保持高度航程：从起点起连续不小于起点的数字的个数。如3105168421的保持高度航程为5。如果所有航班的保持高度航程有限，则3n+1问题成立。航程记录航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程为16。保持高度航程记录航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。 2021-4-24 最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于所有它前面的航班的最大飞行高度。对于一个固定航班N, 考虑它着陆前的表示奇变换。其中除2的变换称为偶变换，乘3加1的变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。 2021-4-24 一些记录：保持高度航程：N=118303688851791519, G(N)=1471留数：N=993, R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527, F(N)=2039 2021-4-24 显然3N+1问题与下列问题等价： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）对所有N, E(N)有限； 4）对所有N, O(N)有限。 2021-4-24 一些探索： 1）航程与起点的关系。 500100015002000 25 50 75 100 125 150 175 2021-4-24 上述图形中有没有规律？用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界与n存在什么样的函数关系？例如，当n适当大后，是否有f(n)2p.一些保持高度航程记录： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132. 2021-4-24 3）最大飞行高度与起点的关系。 10002000300040005000 10000 20000 30000 40000 50000 2021-4-24 用t(n)表示航班n的最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n的关系如何？例如，是否有t(n)K*n*n ? 2021-4-24 偶变换与奇变换的关系： 10002000300040005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 2021-4-24 O(N)/E(N)的上界是什么？当N趋于无穷时，O(N)/E(N)的极限是什么？简单分析：其中 R(N)称为留数，它是所有形如的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，)(32 )()( NRNNONE )3/(11 ia 2021-4-24 对于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取对数得故)15/11)(9/11(332 25 )(loglog3log)(2log)( NRNNONE 3log/2log)(/)( NENO 2021-4-24 且如果则)(3log/)(log(log3log/2log)(/)( NENRNNENO 0)(/)(log(log NENRN 3log/2log)(/)( NENO 2021-4-24 一些猜测：（1） R(N)= R(993) (2) 令 C(N)=O(N)/E(N), 则 C(N)C, Clog2/log3为常数。 2021-4-24 启发式论证：注意每一次奇变换后必然是偶变换，但每一次偶变换后可以是奇变换，也可能是偶变换。假设这种可能性是一样的。从某一个N开始，我们考察航班高度的变化：（1）奇变换后做偶变换的结果为奇数，可能性1/2，高度变换 3/2；（2）奇变换后做偶变换的结果为偶数，可能 2021-4-24 性为1/4，高度变化3/4；奇变换后再作三次偶变化，可能性1/8，高度变化3/8； .平均变化高度：高度最终下降。4/3)8/3()4/3()2/3( 8/14/12/1 h 2021-4-24 用c 表示保持高度航程中奇变换的次数的平均值。利用上述模型可以证明，c=3.49265. 对3到2000000000之间航班的保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926。这两个结果的惊人的一致性使我们相信上述启发式模型的正确性。 2021-4-24 一些理论结果：（1）R. Terra 和 C. Evertt证明了：几乎所有的航班都会下降到它的起点以下。（2）存在常数c, 当n 足够大时，在比n小的航班中，能够在1上着陆的航班个数大于或等于nc. 1978年，R. Crandal首先给出c=0.05; 1989年I. Krasikov得到c=0.43; 1993年G. Wirsching给出c=0.48; 1995年D. Applegate 和J. Lagarias得到c=0.81. 2021-4-24 会不会永远证不出来？自从哥德尔发表他的著名的不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难的问题，都会疑神疑鬼这会不会证不出来？哥德尔的不完备定理，在包含皮亚诺的自然数公理的系统中，总有不可证明的命题存在。因而3N+1问题有可能不能证明，即使它是错误的。比如，我们可能发现一个航班， 2021-4-24 它非得越来越高，但无论如何不能证明它永远也不会着陆到1。 数学家J. Conway（发明了生命游戏）定义了一个类似3N+1问题的不可证明的命题。但他的方法仍然不能说明3N+1是否可以证明。 2021-4-24 各种变化与推广（1）推广到负数。可以有三个不同循环： -1-2-1 -5-14-7-20-10-5 -17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17 是否有更多的循环？ 2021-4-24 （2）5N+1问题。又存在几个循环： 63164216 13663316683416208104522613 1786432161085427136683417但是第航班似乎老实在往上飞，谁也不知道它是否会降落下来。 2021-4-24 The End Thank you very much for your presence.