数学与应用数学毕业论文

数学与应用数学毕业论文摘 要本文通过对大量国内外复数域中多值函数的相关研究资料收集和归纳整理, 从简单到复杂对多值函数的解析理论研究, 将复数域中的多值函数理论知识进行系统化.文中给出了复数域中多值函数的一些判定方法：定义法、分类讨论法、限制辐角法、割破平面法.并对其判定方法给出了相应的例子；本文对复数辐角的变化特性进行了分类讨论，从而加深了辐角多值性的理解,并以此为根底深入分析了多值函数多值的本质原因.以根式函数和对数函数为初等多值函数的典型代表，详细论述了多值函数的各单值解析分支的关键问题及其方法；除此之外，本文还利用多值函数来计算解析函数的积分，将解析函数泰勒展开成幂级数以及多值函数的变化特性共形映射.关键词：辐角；多值函数；单值解析分支；共形映射ABSTRACTThis article on the large multi-valued function of complex field research data collection and synthesis, from simple to complex multi-valued function analytic theory, make the complex field of multiple-valued function as a systematic theory of knowledge. Paper give some determination methods on a multi-valued function of the complex field : the definition, classification and discussion of law, limiting convergence angle method, cut plane. and determine the method of its corresponding example; this change on the polar angle characteristics of complex were classified and discussed in order to enhance the convergence angle more than the value of understanding as the basis for in-depth analysis of the value of multi-valued function over the nature of reason. to radical functions, and logarithmic functions as the primary representative of the typical multi-valued function in detail discusses the multi-valued function of the single-valued analytic branch of the key issues and methods; In addition, we use the multi-value function to calculate the integral analytic functions, and will expand into a Taylor power series of analytic functions and multi-valued function change characteristics - Conformal mapping.Keywords: Argument ; multi-valued function ; single-valued analytic branch ; conformal mapping目 录前言1页第一章 复数辐角的多值性2页1.1复数辐角的多值性2页1.2辐角的变换特性3页第二章 初等多值函数的多值解析性5页2.1根式函数5页幂函数的变换性质及其单叶性区域5页分出的单值解析分支7页2.2对数函数10页指数函数的变换性质及其单叶性区域10页分出的单值解析分支11页2.3反三角函数与反双曲函数12页2.4一般幂函数与一般指数函数13页2.5具有多个有限支点的情形13页第三章 多值解析函数的积分与幂级数的表示法15页 第四章 多值函数的共形映射17页4.1变换和n为大于1的整数17页4.2变换18页第五章 结论20页参考文献21页致谢22页前言在复变函数中，多值函数占着极其重要的局部，本文要深入学习解析函数及其应用是无法离开初等多值函数的.对多值函数的研究，只有在复数域中通过初等函数多值性的性质分析，分解出其单值分支，才能了解多值函数的变换特性.因此，着重讨论了：多值函数的多值性产生的原因、初等多值函数多值解析性及如何分出其单值解析分支、并利用多值函数计算积分及展开成幂级数以及多值函数的变化特性-共形映射.第一章 复数辐角的多值性1.1 复数辐角的多值性 形如或的数，称之为复数.其中和是任意的实数.在复平面上，从原点到点所引的向量与这个复数z构成一一对应关系复数0对应着零向量.设复数对应于点，那么复数与向量对应.假设在复平面引入极坐标系，使极点与直角坐标系的原点重合，使极轴与轴重合.如图1-1图1-1对于复平面上任意一个复数，其极径亦称为复数的模.极角为正实轴依逆时针方向旋转到射线所经过而成的角，这样的角称为复数的辐角，记作.值得注意的是：当时，辐角没有意义.当时，因为角具有周期性，其辐角除了相差一个的任意整数倍外是惟一确定的.因此，任意一个复数都有无穷多个辐角.设为复数的一个辐角，那么有，即得到了复数的全部辐角.为了确定起见，取其中一个确定的辐角与之对应，称为辐角的主值，记作.通常取，那么有如图1-2 图1-2 因此，不管主值如何取，都有 1-1即辐角具有多值性.同样的，在极坐标系下，复数，为的辐角.所以任何初等函数都可以表示为 1-21.2 辐角的变换特性 图1-3 设在平面上有一条起点为，终点为的简单曲线.假设给定点的辐角为，当动点沿着简单曲线从开始连续变化到点时，辐角也将从开始连续变化，设，称为沿简单曲线的辐角改变量.记为.假设考虑沿着一条简单闭曲线变动时，它的辐角变化有下面两种情况：1设原点在的内部如图1-4，当动点由某定点开始沿着的正向连续变化一周而回到点时，辐角增加了，即.图1-42设原点在的外部如图1-5.当动点由某定点开始沿着的正向连续变化一周而回到点时，辐角没有发生变化，即.图1-5由此看出，辐角改变量与原点是否包含在所给的简单闭曲线内有关，假设动点沿着包含原点在内的闭曲线的正向连续变化周，那么为整数.假设动点沿着不包含原点在内的闭曲线的正向连续变化，那么无论变化几周，.第二章 初等多值函数的多值解析性常见的初等多值函数有根式函数，对数函数，反三角函数与反双曲函数，一般幂函数等等，在这一章中，主要来讨论根式函数及对数函数多值性的性质，找出它们的支点，分出它们的单值解析分支，并分析初等多值函数的变换特性，将多值函数变成单值函数.2.1 根式函数为了下面的讨论的需要，先给出如下的定义：定义 设为一复数集，假设对内每一复数，有惟一确定的复数与之对应，那么称在上确定了一个单值函数.并且称区域为的单叶性区域.而假设对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，那么称在上确定了一个多值函数.定义 对某个多值解析函数，假设点在扩充复平面上，可以是具有这样一个特性：在的充分小的邻域内，作一条包围该点的简单闭曲线，当从的某点出发，绕连续变动一周回到出发点时，将从一个值变到另一个值，即，那么称此点为多值解析函数的支点.根据定义，那么在(1-2)式中，是单值函数，而是多值函数.所以多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起的. 幂函数的变换性质及其单叶性区域幂函数 2-1在平面上是单值解析的.它把扩充 平面变成扩充的平面.并且分别对应于.根据辐角函数，有所以 这就说明每一个不为零或的，在平面上有个原象，且此个分布在以原点为中心的正角形顶点上，于是函数2-1的反函数在平面上就有个值. 设那么由函数2-1得： 所以有，. 于是有，即函数2-1把平面上的射线L：, 变成平面上射线l：并把圆周变成如图2-1所示：图2-1在平面上的动射线从射线扫动到射线时，在变换下的像，就是在平面上从射线扫动到射线.从而，平面上的角形如图2-1因此，变换2-1把平面上的角形变成平面除去原点及负实轴的区域如图2-2 图2-2 不仅如此，变换2-1把张角为的个角形：都变成平面除去原点及负实轴的区域.图2-2那么是的情况因此，幂函数的单叶性区域，是顶点在原点，张角不超过的角性区域. 分出的单值解析分支 根式函数是一对多的映射，造成一对多的原因是复数的辐角的不惟一.实际上，假设设那么，因为可取个值所以一个复数对应着有n个函数值.它们位于半径为的圆周上，彼此张角为.根据上面对幂函数变换性质及其单叶性区域的讨论，可知，所对应n个值分别分布在复平面的n个角形区域内，把每个角形区域内的函数值都称为函数的一个分支.根据支点的定义，根式函数的支点有和.那么，假设取一个固定的k即选定一个固定的角形区域，函数是否就是z平面到角形区域的单叶函数呢？如何来分出多值函数的单值解析分支？当支点包含在所给的简单闭曲线内时，如果把沿着负实轴割开包括原点指明这个割破的z平面上的复数的辐角变化范围一般地取.那么，在此割破的平面上，当动点z从某一点沿任意的闭曲线此闭曲线不跨过负实轴，也不包括原点运动一周，回到点时，辐角不会改变.在运动过程中所对应的函数值将都位于同一角形区域中.像这样的，在扩充复平面上，用连接一切支点的某一简单曲线从有限点到引的射线可看成广义简单曲线作为支割线割破平面一般地说，支割线可以区分为两岸.于是，在平面上得到以此割线为边界的区域，在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了，即在内就能分出该函数的单值解析分支，区域称为的可单值分解区域.这种分出单值分支的方法称为割破平面法.试想，如果闭曲线不包括原点，那么动点z沿一条简单闭曲线，运动一周回到出发点.如图2-3左实线图所示 图2-3是上某一点，原点包含在闭曲线内部.这时穿过负实轴.于是，当变点z从出发，循正负方向绕一周后，虽然复数没有变化，但的辐角已经增加或减少了，z的像点就不可能回到它们的原来位置.而是如图2-3中虚线路径.从一支变到另一支：.这样一来，在包含或包围着原点的区域D内，不能分成n个独立的单值解析分支.这n个分布函数如同经原点被连接在一起，抖不散.即根式函数在支点邻域内缺少单值性.而如果割破平面，那么多值函数将不再有支点，此时只要指明一个k的值，就会得到一个以为值域的单叶函数如图2-3右实线图所示： 2-2它们也可记成 即这是的n个单值连续分支函数.其中，的那一支称为主值支.下面，证明这n个单值连续分支函数的解析性：根据：设.假设，在点处是可微的，且满足极坐标的方程：，.那么在点是可微的，并且.注 这里要适当割破平面如沿着负实轴割破，否那么就不是单值的了.因为，对于这一单值连续分支函数.其实部及虚局部别为： 在内皆为的可微函数，并且有 即在内满足极坐标方程：，故在内解析且 2-3综上所述，根式函数多值性的原因是由于辐角的多值性所引起的.因此，要分出函数 的单值解析分支，可用一条支割线通常取从到的射线，将平面割破. 然而在割破了的平面上，由于每一单值分支在支割线上是不连续的，因而每一单值分支在支割的两岸取得不同的值.另外取不同的支割线，所得的分支是不同的.下面通过例子具体说明：例2.1 设，确定在沿负实轴割破的平面上，假设，求的值.解：设为沿负实轴割破了的平面，那么为的单值解析区域，又设，那么.1由已给条件定：因为时，要使.必须取.于是此时的一支为.2求的值.因为，且.所以例2.2 对于函数，在沿正实轴割破了的平面上，1假设，求的值.2假设，求的值.解：设G为沿正实轴割破的平面.那么G为的单值解析区域，又设，于是1首先由条件定：因为时，要使.必须取.于是此时的一支为.其次求的值，因为，且所以.2首先定，因为时，要使，必须取，于是此时确定的一支为.其次确定的值，因为，且所以. 从上述例子可以看出，根式函数单值解析分支确实定取决于两个条件：1.支割线确实定；2.初始值确实定.2.2 对数函数 指数函数的变换性质及其单叶性区域指数函数 2-4在平面上单值解析的. 令，那么2-4就变成了因而，故方程2-4的全部根为 或 2-5当取确定值时，的对应值记为2-6当时，称为的主值支.于是，主值 2-7这就说明了一个复数的对数仍是复数.它的实部是的模的通常实自然对数.它的虚部是的辐角的一般值.即虚部可以取无穷多个值函数.任意两个相异值之差为的一个整数倍，也就是说，是的无穷多个值函数. 设，那么2-4变为了.由此知道，变换2-4把直线变成从原点出发的射线，把线段“如图2-4 图2-4当平面上的动直线从直线扫动到直线时，在变换下的像，就在平面上从射线扫动到.从而平面上的带形就变成平面的角形区域2-4变换把平面上的一带形变成平面上除去原点及负实轴的区域.归纳到一般为：变换把宽为的带形： 2-8都变成平面上除去原点及负实轴的区域如图2-5 . 图2-5因此，指数函数的单叶性区域是平面上平行于实轴，宽不超过的带形区域. 分出的单值解析分支 参照图2-6作类似于根式函数的讨论： 图2-6在平面上从原点起割破负实轴的区域内，因为在这样割破的区域内不含的支点所以可以得到的无穷多个不同的单值连续分支函数 ： 2-9它们也可以记为 ： 同样地，根据，亦可验证知：2-9在内是解析的，并且有当不割破平面时，同样参照图2-6作类似于对的讨论，即知仍只以为支点，仍以连接的广义简单曲线特别是负实轴为支割线.2.3 反三角函数与反双曲函数 由于三角函数与双曲函数都可用指数函数来表示，而对数函数是指数的反函数，所以反三角函数和反双曲函数都可以用对数函数来表示.由于对数函数是多值的，所以反三角函数与反双曲函数都是多值的.分出单值解析分支的方法与确定支点的方法，与讨论对数函数所用的方法类似，只是较复杂也比拟困难些.这里举一个例子说明：例 2.3 证明不是函数的支点其中 证明：易知，点可能是函数的支点；如图2-7所示，在复平面上任意作一条闭曲线L，使其包含点在内.图2-7在曲线L上任取一点并分别取定和在，点处的值为 , 此时，函数的相应值为当动点z从点开始沿曲线L按逆时针方向运行一周回到点时， 及都增加了，相应地，函数的值为 由此可见，不是函数的支点.2.4 一般幂函数与一般指数函数(1)定义 称为的一般幂函数.当取整数时，就是已经定义过的和.由于的多值性，一般是多值的除当为整数外，其分出单值解析分支的方法与相同，且仍以为支点.(2)定义 (为复数称为一般指数函数.它也是无穷多个独立并且每一个在平面上单值解析的函数.2.5 具有多个有限支点的情形在这一章中，前面讨论了根式函数与对数函数，它们的支点都是一个有限和无穷远点.其支割线可以是从到的一条射线如包含原点的负实轴，这与限制变点的辐角范围是一致的.从而，在平面上以此割线为边界的区域内，它们都能分出单值解析分支. 但对具有多个有限支点的多值函数，就不便采取限制辐角范围的方法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当连接支点以割破平面.于是，在平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支.因为，在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了.这里举一个例子进行说明：例 2.4求函数的支点. 解： 由于的支点为所以点可能是函数的支点.如右图所示，作一条闭曲线L，使它仅包含点在内，且不通过点.在曲线L上任取一点，那么在处的辐角分别为.当点z从开始逆时针方向沿曲线L连续运动一周回到点处后，增加了，但不变.此时，在点处的值就从连续变动到这样得证是函数的一个支点.同理可证，点亦是函数的支点.再作一条包括在内的闭曲线，即亦可证是函数的支点. 综上所述，知函数的支点为.第三章 多值解析函数的积分与幂级数的表示法复变函数理论的根本内容都是关于单值解析函数的积分性质，级数表示和留数理论等都是以单值解析函数或多值函数的某一分支为出发点.在本章中，主要举例说明如何利用多值函数来计算解析函数的积分，将解析函数泰勒展开成幂级数.例3.1 计算实积分解：设， 依题意，函数的支点为0，1，而不是支点，所以取割线，取及在的上岸分别为实数及正实数的分支，对应的为.如图3-1图3-1作圆周，且，充分小，使得，在所围的区域内.积分围道取内的逆时针方向，以及从实轴上岸的到，再沿顺时针绕到下岸，然后从沿下岸到，最后沿顺时针回到上岸处.在以上两条闭曲线所围成的区域内，仅为一阶极点，注意到在上岸绕过到达下岸时，由变为.同样变为，由留数定理，有 又因为 ， 从而，分别当，时趋于零.因为 所以当，时， 比拟上式两边的实部、虚部，可以得到 ， .从而 .例3.2 将在展开成幂级数 解：因为多值函数以为支点，那么将平面沿负实轴到割破.得到区域特别在单位圆内，可以分出无穷多个单值解析分支. 取主值支在单位圆内展成的幂级数，先计算其泰勒系数， 由于， 所以其泰勒系数为 .因为是主值，即在取正实数时，取实数，于是有.从而，()的各支的展开式为： .第四章 多值函数的共形映射如果一个把区域映到上的双向单值映射的主要线性局部，在中任何一个点的邻域内都是保存序向的正交变换的话，这样的映射称为共形映射.它是解析函数的一种变换特性.从定义上，可以导出共形映射的两个根本性质：1 共形映射在可以相差一个高阶无限小的程度内，把无限小的圆周变换成圆周保圆性质.2 共形映射使在曲线的交点处曲线所成的角度保持不变保角性质.依据共形映射的这两个性质，在本章中，主要分析初等多值函数的共性变化特性.4.1 变换和 n为大于1的整数 幂函数，n为大于1的自然数除了外，它处处具有不为零的导数，因而这些点是保角的. 因为幂函数的单叶域是顶点在原点张度不超过的角形区域.比方说，幂函数在角形区域 内是单叶的.因为不保角的点在d的边界上，不在d内，所以是共形的.于是幂函数将图4-1的角形区域共形映射成角形区域D：.图4-1特别地，它把角形区域共形映射成上半平面，把共形映射成平面上，除去原点及正实轴的区域. 根式函数是幂函数的反函数，在沿正实轴割开了的z平面D内可以分出它的n个单值解析分支：.这些分支都可以用来作区域的共形映射，它们分别把D内的角形区域：共形映射成z平面上的角形区域图4-14.2 变换指数函数在任意有限点均有.因为它在z平面上保角.且指数函数的单叶性区域是平行于实轴宽不超过的带形区域，例如，指数函数在带形区域是单叶的.又因为不在g内，而在g的边界上，因而也是共形的.于是指数函数将带形区域共形映射成角形映射区域如图4-2图4-2特别地，将带形区域共形映射成平面除去原点及正实轴的实区域.是的反函数，它有无穷多个单值解析分支.，其中每一个分支都可以用来作共形映射.如图5.2所示，它们把平面上的角形区域共形映射成z平面上的带形区域.综上分析，可以知道，因为分式变换的保圆性，可以借助于分式线性函数，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线所构成的两角形区域，共形映射成一个标准区域，比方上半平面.只要已给圆周或直线上有一个点变为，那么此圆周或直线就变成直线.如果它上面没有点变为，那么它就变成有限半径的圆周.所以，假设二圆弧的一个公共点变为，那么此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形映射.例4.1求一变换，将区域共形映射成上半平面，使分别变成如图4-3 图4-3解：由图易知将指定区域变成上平面， 变成了.现再作上半平面到上半平面的分式线性变换，如图4-4使变成. 图4-4此变换为 复合两个变换，即得所求的变换为.第五章 结论本文讨论了辐角的多值性，以此为根底说明了多值函数产生多值性的原因，详细地阐述了根式函数，对数函数等初等多值函数的多值性，并分出了其单值解析分支，深刻分析了多值函数在单叶性区域中的变换特性. 除此之外，给出了多值函数在复变函数中计算积分、将函数展开成幂级数，共形映射三个方面的应用，尤其是在计算某些定积分方面，把多值函数作为辅助函数用留数定理计算围道积分时，对多值函数的特性的把握显得尤为重要.参考文献1 钟玉泉.复变函数论第三版M.高等教育出版社.2004.2 方企勤.复变函数教程M.北京大学出版社.1996.3 肖荫庵，李殿国.复变函数论讲义M.东北师范大学出版社.1987.4 蒋月评，李丹衡，刘楚中.复变函数M.湖南大学出版社.2005.5 傅文德.根式函数单值性的教学探讨J.黔东南民族师专学报，1999,(03).7 张玉林.关于多值解析函数的单值分支J.西北大学学报，1986,(02).8 毛约平.应如何正确理解多值解析函数J.牡丹江教育学院学报，2006,(04).9 田明生.多值的解析函数J.青海师范大学学报，自然科学版，1987,(01).10韩惠丽，房彦兵.多值函数在复变函数中的应用J.大学数学，2007,(04).