曲线积分与路径无关的条件

高 等 数 学 （ 下 ） 河 海 大 学 理 学 院 第 三 节 Green公 式 及 其 应 用（ 2） 高 等 数 学 （ 下 ） Gy xo 1L QdyPdx一 、 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 定 义 2L QdyPdx 1L 2LBA设 G 是 开 区 域 ,L 是 G 内 任 一 曲 线 ,若 ),( QPF 高 等 数 学 （ 下 ） 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数),(),( yxQyxP 在 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,则 曲 线 积 分 L QdyPdx 在 G内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是 沿 G内 任 意 闭 曲 线 的 曲 线 积 分 为 零 . 性 质 高 等 数 学 （ 下 ） 二 、 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件定 理 1注 意 :两 条 件 缺 一 不 可 . 高 等 数 学 （ 下 ） (1) 开 区 域 G是 一 个 单 连 通 域 .(2) 函 数 ),(),( yxQyxP 在 G内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 . 即 :必 须 022 L yx ydxxdy yQxP ,22 L yx ydxxdy 高 等 数 学 （ 下 ） 4添 加 的 辅 助 线 或 积 分 路 径 常 取 由 平 行 于 坐标 轴 的 直 线 组 成 的 折 线 高 等 数 学 （ 下 ） 例 1 计 算 L dyyxdxxyx )()2( 422 . 其 中 L为 由 点 )0,0(O 到 点 )1,1(B 的 曲 线 弧 2sin xy .xxyxyyP 2)2( 2 xyxxxQ 2)( 42 解 故 原 式 10 10 42 )1( dyydxx .1523 高 等 数 学 （ 下 ） 例 2 设 曲 线 积 分 L dyxydxxy )(2 与 路 径 无 关 , 其 中 具 有 连 续 的 导 数 , 且 0)0( ,计 算 )1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy . 积 分 与 路 径 无 关 xQyP ， 解 ,2)( 2 xyxyyyP ),()( xyxyxxQ ,),( 2xyyxP ),(),( xyyxQ 高 等 数 学 （ 下 ） 由 0)0( ， 知 0c 2)( xx . 故 )1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy 由 xyxy 2)( cxx 2)( 1010 0 ydydx .21 高 等 数 学 （ 下 ） 三 、 二 元 函 数 的 全 微 分 的 条 件 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数),(),( yxQyxP 在 G内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 dyyxQdxyxP ),(),( 在 G 内 为 某 一 函 数),( yxu 的 全 微 分 的 充 要 条 件 是 等 式 xQyP 在 G内 恒 成 立 . 定 理 2问 题 ： 当 P、 Q满 足 什 么 条 件 时 ， Pdx+Qdy为 某 一 函 数 的 全 微 分 ？ ),( QPF F 高 等 数 学 （ 下 ） ),( ),( 00),( yx yx QdyPdxyxu yyxx dxyxQdxyxP 00 ),(),( 0 y yxx dxyxQdxyxP 00 ),(),( 0先 横 后 竖先 竖 后 横 高 等 数 学 （ 下 ） :),(),( ),( 则为为设 点 若 存 在 原 函 数 BBAA yxByxA yxu )()( AuBuQdyPdxBA 积分线 高 等 数 学 （ 下 ） 22 yx ydxxdy 222 22 )( yx xyxQyP BCAByxyxu ),( )0,1(),( xyarctan 高 等 数 学 （ 下 ） 与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题条件 在 单 连 通 开 区 域 D上 ),(),( yxQyxP 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 . L QdyPdxD 与 路 径 无 关内在)1( C DCQdyPdx 闭 曲 线,0)4( QdyPdxduyxuD 使内 存 在在 ),()2( xQyPD ,内在 等价命题证 )1()4()3()2()1( 高 等 数 学 （ 下 ） 证 明 ：4(1) (2)4(2) (3)4(3) (4)4(4) (1) .xQyuxxuyyP 利 用 格 林 (Green)公 式 据 偏 导 数 定 义 高 等 数 学 （ 下 ）答 案 : ;4.4 2例 )1(51.5 e例