曲线积分与曲面积分复习课好

上 页 下 页 尾 页首 页 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分复 习 课1. 主 要 内 容2. 例 题3. 各 种 积 分 之 间 的 联 系 上 页 下 页 尾 页首 页 一 、 主 要 内 容1、 曲 线 积 分（ 1） 概 念 L dsMf )(第 一 类第 二 类 L dxMf ,)( L dyMf ,)( L dzMf )(（ 2） 两 类 曲 线 积 分 的 联 系sd dst0 ds)cos,cos,(cos ),( dzdydx 上 页 下 页 尾 页首 页 （ 3） 计 算直 接 计 算 法第 一 类 ：从小参数到大参数；第 二 类 ：从起点参数到终点参数。化 为 对 L的 定 位 参 数 的 定 积 分 。注 意 ： 先 化 简 ；间 接 计 算 法用 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 ；用 Green公 式 及 其 推 论 、 Stokes公 式 .第二类与定向有关。 上 页 下 页 尾 页首 页 L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 闭 合 D dxdyyPxQI )(非 闭 补 充 曲 线 再 用 公 式基 本方 法 ttytytxQtxtytxPI d)()(),()()(),( : )( )( ttyy txx 上 页 下 页 尾 页首 页 2、 曲 面 积 分（ 1） 概 念 dSMf )(第 一 类第 二 类 .)( dxdyMf（ 2） 两 类 曲 面 积 分 的 联 系,)( dydzMf ,)( dzdxMfSd dSn0 dS)cos,cos,(cos ),( dxdydzdxdydz 上 页 下 页 尾 页首 页 （ 3） 计 算直 接 计 算 法第 一 类 ： 化 为 对 某 两 个 直 角 坐 标 （ 的 定 位 参 数 ） 的 二 重 积 分 ；第 二 类 ： 将 对 x、 y的 曲 面 积 分 化 为 对 x、 y的 二重 积 分 。注 意 ： 先 化 简 ；间 接 计 算 法用 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 ；用 高 斯 公 式 。第二类与定向有关。 上 页 下 页 尾 页首 页 3、 G reen公 式 、 G auss公 式 、 Stokes公 式（ 1） 建 立 了 不 同 维 数 积 分 间 的 联 系注 意 ：定向。（ 2） 公 式 及 其 推 论 在 计 算 曲 线 积 分 、 曲面 积 分 中 的 应 用注 意 ： 条 件 。 上 页 下 页 尾 页首 页 例 1 计 算 L dyyxdxxyxI )()2( 422 ,其 中 L为 由 点 )0,0(O 到 点 )1,1(A 的 曲 线 xy 2sin . 思 路 : L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 闭 合 D dxdyyPxQI )(非 闭 补 充 曲 线 再 用 公 式二 、 例 题 上 页 下 页 尾 页首 页 解 xyP 2由 于 xxQ 2,xQyP 有 xyo 11 A 10 410 2 )1( dyydxx故 原 式 .1523例 1 计 算 L dyyxdxxyxI )()2( 422 ,其 中 L为 由 点 )0,0(O 到 点 )1,1(A 的 曲 线 xy 2sin . 上 页 下 页 尾 页首 页 例 2 计 算 L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( , L为 由 )0,(a 到 )0,0( 的 上 半 圆 周 0,22 yaxyx . 解 myeyP x cos yexQ x cosxQyP 有 xyo )0,(aAMmxQyP 但 AMOA OAOAOALI dxdy)yPxQ(D 0 D dxdym .8 2am 上 页 下 页 尾 页首 页 在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧为 平 面 ，其 中求 1 C),( ,),( ),(2),( zyx zyxfdxdyzzyxfdzdx yzyxfdydzxzyxfI例 3 x yoz 111 解 ),1,1,1( n 的 法 向 量 为 .31cos,31cos,31cos ),(31 xzyxfI dSzyx )(31 dS31方 程 .21 dSzzyxfyzyxf ),(31),(231 上 页 下 页 尾 页首 页 所 截 部 分 外 侧 被 平 面 为 锥 面求 2,1 , 22 2 zzyxz dxdyzxdzdxydydzI例 4解 21 220 rdrrd .215 xyD dxdyyx )( 22 dxdyzI 2对 称 性 41: 22 yxDxy 上 页 下 页 尾 页首 页 例 5 求 yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 , ： 曲 线 )31(0 1 yx yz 绕 y 轴 的 旋 转 曲 面 , 法 向 量 与 y轴 正 向 夹 角 恒 大 于 2 . 解 221 xzy 旋 转 面 方 程 为 * *I dvyyy )4418( * 2)31(2 dzdx dv zxD dzdx)(16 322 .34x y zo 1 32 * 上 页 下 页 尾 页首 页 ,)(lim)( 10 ni iiMfdMf .)()( , ba dxxfdMf baR 上 区 间 .),()( ,2 D dyxfdMf DR 上 区 域 三 、 各 种 积 分 之 间 的 联 系定 积 分二 重 积 分积 分 概 念 的 联 系 上 页 下 页 尾 页首 页 dVzyxfdMf R ),()( ,3 上 区 域 .)()( ,32 dsMfdMf RR 上 （ 有 向 ） 曲 线或 .),()( , 3 S dSzyxfdMf SR 上 （ 有 向 ） 曲 面曲 面 积 分曲 线 积 分 三 重 积 分 .),()( S dxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 上 页 下 页 尾 页首 页 计 算 上 的 联 系 )(),(),( )( )(21 面 积 元 素 ddxdyyxfdyxf ba xy xyD ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydxdVzyxf )( )( ),( ),(21 21 ),(),( baL dxyxyxfdsyxf 21)(,),( baL dxdxxyxfdxyxf )()(,),( 投 影 元 素,),( ba Dx dydzzyxfdx或 ,),(),( ),(21 yxz yxzD dzzyxfdxdyxy或 )( 体 积 元 素dV弧 长 元 素 ）（ ds 上 页 下 页 尾 页首 页 xyD yx dxdyzzyxzyxfdSzyxf 221),(,),( xyD dxdyyxzyxfdxdyzyxR )(,(,),(其 中 dSRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( dsRQPRdzQdyPdx LL )coscoscos( )( 面 积 元 素dS )( 投 影 元 素dxdy 上 页 下 页 尾 页首 页 理 论 上 的 联 系1. 定 积 分 与 不 定 积 分 的 联 系 )()()()()( xfxFaFbFdxxfba 牛 顿 -莱 布 尼 茨 公 式2. 二 重 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 )( )( 的 正 向沿 LQdyPdxdxdy yPxQ LD 格 林 公 式 上 页 下 页 尾 页首 页 3. 三 重 积 分 与 曲 面 积 分 的 联 系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )( 高 斯 公 式4. 曲 面 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR )()()( RdzQdyPdx 斯 托 克 斯 公 式 上 页 下 页 尾 页首 页 定 积 分曲 线 积 分 重 积 分曲 面 积 分 计 算 计 算计 算G reen公 式Stokes公 式G uass公 式附 、 各 种 积 分 之 间 的 联 系 图