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2.1.2 换 元 积 分 法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。 问 题 xdx2cos ,2sin21 Cx解 决 方 法利用复合函数，设置中间变量.过 程令xt 2 ,21dtdx xdx2cos dtt cos21 Ct sin21 .2sin21 Cx一 、 第 一 类 换 元 法 （ 凑 微 分 法 ）xCx 2cos2sin21 说 明 结 果 正 确 将上例的解法一般化：设),()( ufuF 则.)()( CuFduuf如果)(xu （可微）dxxxfxdF )()()( CxFdxxxf )()()( )()( xuduuf 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得换 元 法 积 分 公 式 设 )(uf 具 有 原 函 数 ， dxxxf )()( )()( xuduuf 第一类换元公式（凑 微 分 法）)(xu 可 导 ，则 有 换 元 公 式定 理 1 注定理说明：若已知 CuFduuf )()(则CxFdxxxf )()()( 因此该定理的意义就在于把 CuFduuf )()(中的u换成另一个x的可微函数)(x后，式子仍成立又 称 为 积 分 的 形 式 不 变 性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。dx由定理可见，虽然 dxxxf )()( 是一整体记号，但可把视为自变量微分)()( xddxx 凑 微 分 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化dxxf )(凑 微 分 法 的 基 本 思 路 ： 与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量和积分变量变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例 1 求.2sin xdx解（一） xdx2sin )2(2sin21 xxd;2cos21 Cx 解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2 xxd ;sin 2 Cx 解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2 xxd .cos 2 Cx 例 2 求.23 1 dxx 解 ,)23(23 12123 1 xxxdxx 23 1 dxxx )23(23 121 duu 121 Cu ln21 .23ln21 Cx dxbaxf )( baxuduufa )(1一 般 地例 3 求.)ln21( 1 dxxx 解 dxxx )ln21( 1 )(lnln21 1 xdx )ln21(ln21 121 xdx xu ln21 duu121 Cu ln21 .ln21ln21 Cx 例 4 求.)1( 3dxxx 解 dxxx 3)1( dxxx 3)1( 11 )1()1( 1)1( 1 32 xdxx 221 )1(2 11 1 CxCx .)1(2 11 1 2 Cxx 例5 )0(1 22 adxxa解 dxaxadxxa 222 1 11 )(1 1 2 axdax Cax arcsin例 6 求.1 22 dxxa 解 dxxa 22 1 dxaxa 222 1 11 axdaxa 21 11 .arctan1 Caxa 例7 dxxa 22 1解dxxa 22 1 dxxaxa )( 1 dxxaxaa 1121 Cxaxaa |ln|ln21 Cxa xaa |ln21注意：拆 项是常用的技巧 例 8 求.25812 dxxx 解 dxxx 25812 dxx 9)4( 1 2dxx 13 4131 22 3 413 4131 2 xdx.3 4arctan31 Cx 例 9 求.1 1 dxex 解 dxex 1 1 dxe ee x xx 11dxee xx 11 dxeedx xx 1)1(1 1 xx ededx .)1ln( Cex x 例 10 求.)11( 12 dxex xx 解 ,111 2xxx dxex xx 12 )11( )1(1 xxde xx .1 Ce xx 例 11 求.1232 1 dxxx 原式 dxxxxx xx 12321232 1232 dxxdxx 12413241 )12(1281)32(3281 xdxxdx .1212132121 33 Cxx 例 12 求解 .cos1 1 dxx dxxcos1 1 dxxx xcos1cos1 cos1 dxxx2cos1 cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin1 22 xdxdxx .sin1cot Cxx 或dxxdxx 2cos2 1cos1 1 2 Cx 2tan 例 13 求解 .cossin 52 xdxx xdxx 52 cossin )(sincossin 42 xxdx )(sin)sin1(sin 222 xdxx )(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx .sin71sin52sin31 753 Cxxx 说 明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例 14 求解 .2cos3cos xdxx ),cos()cos(21coscos BABABA ),5cos(cos212cos3cos xxxx dxxxxdxx )5cos(cos212cos3cos .5sin101sin21 Cxx 例 15 求解（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx 2cos2sin2 1 22cos2tan 1 2 xdxx 2tan2tan1 xdxCx 2tanln .cotcscln Cxx （ 使 用 了 三 角 函 数 恒 等 变 形 ） 解（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos1 1 2 xdx xu cos duu21 1 duuu 1 11 121Cuu 11ln21 .cos1 cos1ln21 Cxx 解（三） xdxcsc dxxx xxx cotcsc )cot(csccsc dxxx xxx cotcsc cotcsccsc2 )cot(csccotcsc 1 xxdxx Cxx cotcscln Cxx cotcscln类似地可推出.tanseclnsec Cxxxdx dxxxdx cos1sec )2()2sin( 1 xdxCxx )2cot()2lncsc( Cxx tansecln 解例 16 设 求 .,cos)(sin 22 xxf )(xf令xu 2sin ,1cos2 ux ,1)( uuf duuuf 1)( ,21 2 Cuu .21)( 2 Cxxxf 例17 dxxx xx cossin sincos解（一）分子分母同乘以xx sincos dxxx xx cossin sincos dxxx 2cos 2sin1 )2(2cos2sin21)2(2sec21 xdxxxxd Cxxx 2cosln2tan2secln21 Cx 2sin1ln21 Cxx sincosln 解（二）分子分母和差化积dxxx xx cossin sincos dxxx xx cos)2cos( )2cos(cos dxxx )4cos( )4sin( Cx |)4cos(|ln 解（三）分子恰为分母的导数dxxx xx cossin sincos dxxx xx cossin )cos(sin )cos(sincossin 1 xxdxx Cxx )cosln(sin dxxBxA xbxa sincos sincos )0( 22 BA dxxBxA xbxa sincos sincos dxxBxA xBxANxBxAM sincos )sincos()sincos( 2222 , BA bAaBNBA bBaAM dxxBxA xbxa sincos sincos CxBxANMx sincosln 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。作业：P78 2.2 (2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35) 问 题 ?1 25 dxxx解 决 方 法改变中间变量的设置方法.过 程令tx sin ,costdtdx dxxx 25 1 tdttt cossin1)(sin 25 tdtt 25 cossin （应用“凑微分”即可求出结果）二 、 第 二 类 换 元 法 其 中 )(x 是 )(tx 的 反 函 数 .证设 为 的原函数,)(t )()( ttf 令)()( xxF 则dxdtdtdxF )( )()( ttf ,)(1t 设 )(tx 是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ， )()()()( xtdtttfdxxf 则 有 换 元 公 式并 且 0)( t ， 又 设 )()( ttf 具 有 原 函 数 ，定 理 2 第二类积分换元公式 CxFdxxf )()( ,)( Cx )()()()( xtdtttfdxxf )( tf ).(xf说明)(xF为)(xf的原函数, 例 19 求解 ).0(1 22 adxax令tax tan tdtadx 2sec dxax 221 tdtata 2secsec1 tdtsec Ctt tansecln t a x22 ax .ln 22 Ca axax 2,2t Cxax 22ln 例 20 求解 ).0(1 22 adxax令tax sec 2,0ttdttadx tansec dxax 221 dtta tta tantansec tdtsec Ctt tansecln t ax 22 ax .ln 22 Ca axax Caxx 22ln 说 明 (1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1( xa 可令;sintax 22)2( xa 可令;tantax 22)3( ax 可令.sectax 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。 说 明 (2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例 22 求dxxx 251解 21 xt 令,122 tx ,tdtxdx dxxx 251 tdttt 22 1 dttt 12 24Cttt 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx 例 23 求解 .11 dxex xet 1令,12 tex ,122 dtt tdx dxex 11 dtt 122 dttt 1111Ctt 11ln .11ln2 Cxex ,1ln 2 tx .1tx 说 明 (3)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例 24 求dxxx )2( 17解令tx 1 ,12 dttdx dxxx )2( 17 dttt t 27 121 dttt 7621Ct |21|ln141 7 .|ln21|2|ln141 7 Cxx 说 明 (4)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） lk xx , ntx n例 26 求.)1( 1 3 dxxx 解令6tx ,6 5dttdx dxxx )1( 1 3 dttt t )1(6 23 5 dttt 2216 dttt 221 116 dtt21 116 Ctt arctan6 .arctan6 66 Cxx 基本积分表 ;coslntan)14( Cxxdx ;sinlncot)15( Cxxdx ;tanseclnsec)16( Cxxxdx ;cotcsclncsc)17( Cxxxdx ;arctan11)18( 22 Caxadxxa ;ln211)20( 22 Cxa xaadxxa ;arcsin1)21( 22 Caxdxxa .ln1)22( 22 22 Caxxdxax ;ln211)19( 22 Cax axadxax 三 、 小 结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)P792.3(1)(5)(6)(9)(10)(11)(12)
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