《矢量微分算子》PPT课件.ppt

1f gradf A divA A rotA 一、微分算子的定义 在 电 磁 场 理 论 中 ,为 简 化 运 算 ， 引 入 了 微 分 算 子 ， 它已 成 为 场 论 分 析 中 不 可 缺 少 的 工 具 。 微 分 算 子 是 一 个 运 算符 号 ， 在 运 算 中 具 有 矢 量 和 微 分 的 双 重 性 质 ， 其 优 点 在 于 可以 把 对 矢 量 函 数 的 微 分 运 算 转 变 为 矢 量 代 数 运 算 ， 从 而 明 显地 简 化 运 算 过 程 ， 并 且 推 导 简 明 扼 要 ， 易 于 掌 握 。 微 分 算 子 的 三 种 基 本 运 算 为 zyx ezeyex 1.3 矢 量 微 分 算 子 2 二 、 一 重 算 子 AezeyexA zyx )( )()()( AezAeyAexA zyx 如 果 有 某 些 函 数 位 于 算 子 的 前 面 ， 那 么 在 运 算 中 这 些 函数 应 视 为 常 数 ， 不 受 微 分 影 响 。 fezeyexf zyx )( zyx ezfeyfexf zAyAxA zyx )()()( yAxAexAzAezAyAe xyzzxyyzx )()()( xyyxxzzxyzzy eAeAzeAeAyeAeAx )()()( AezAeyAex zyx 3 含有算子的算式的性质1） 对 于 任 何 ， 可 以 将 看 作 普 通 矢 量 进 行 矢 量 代 数 的 恒 等 变换 ， 所 得 结 果 不 变 。 但 是 在 变 换 中 不 能 将 后 面 的 函 数 移 到 的 前 面 （ 除 非 此 函 数 视 为 常 数 ） ， 而 若 把 前 面 的 函 数 移 到 的 后 面 时 应 在 此 函 数 上 加 注 下 标 c， 以 表 示 它 被 视 为 常 数 。2） 如 果 在 的 后 面 有 两 个 函 数 相 乘 （ 包 括 数 乘 、 点 乘 和 叉 乘 ） ，那 么 可 表 示 为 两 项 之 和 。 在 其 中 一 项 中 ， 前 一 函 数 视 为 常 数 ，不 受 微 分 影 响 ， 而 在 另 一 项 中 ， 后 一 函 数 视 为 常 数 ， 不 受 微 分影 响 。 4 ( ) ?f A ( ) ( ) ( ) ( )x y zc c c cf A e f A e f A e f Ax y z ( ) ( ) ( )x y zf e A f e A f e Ax y z y x zAA Af f fx y z ( ) ( ) ( ) ( )c c c cx y zf A e f A e f A e f Ax y z x y zf f fA e A e A ex y z A f 例 1： 所 以 ( )f A f A A f ( ) ( ) ( )ccf A f A f A f A 5 ( ) ?A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C B A C C A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cA B A B A B A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A B A 例 2：由 矢 量 代 数 恒 等 式 可 得 代 入 （ ） 式 后 可 求 得 ( ) ( ) ( ) (*)c cA B A B A B )()()()()( ABABBAABBA ccc 6 在 电 磁 场 理 论 中 ， 除 了 上 面 所 介 绍 的 一 重 算 子 的 算 式 外 ，还 经 常 碰 到 等 二 重 算 子 的 算 式 ,f , ,A A 三、二重算子f例 1： 求 在 直 角 坐 标 系 中 的 展 开 式 。 zyxzyx ezfeyfexffezfeyfexf )()( zyxzyx ezfeyfexfezeyexf 222222 zfyfxf 7 A例 2： 求 在 直 角 坐 标 系 中 的 展 开 式 。 )()( zyxzyx ezAeyAexAezeyexA 222222 zAyAxA zzyyxx exAexAexAxA 22222222 zzyyxx eAeAeAA zyx eAzeAyeAxA 2222222 zyx zzzzyyyyxxxx ezAyAxAezAyAxAezAyAxAA )()()( 222222222222222222 zzyyxx eAeAeA 222 222222 zfyfxff A2 f2 8 0)( f证 明 ： ）（）（）（ zyxzyx ezfeyfexfezeyexf ）（ zyxx ezfeyfexfex xzzyxy ezfex fefzefyefxey yy 22）（ xyzyxz ezfezfefzefyefxez yx 22）（ zeyf x yezf x yz ezfex f xy 220)( f 9 )()( zzyyxxzyx eAeAeAezeyexA zxyyzxxyzzyx eyAxAexAzAezAyAezeyexA )()()()()( 证 明 0)( A )()()( xyyxxzzxyzzy ezAezAeyAeyAexAexA zxyyzxxyz eyAxAexAzAezAyA )()()( 0)()()( yAxAzxAzAyzAyAx xyzxyz 0)( f0)( A 10 (1) ( )f g f g 2(3) ( ) ( 0)f g f f g gg g (5) ( )f A f A f A 2(7) f f 四、包含算子的恒等式(2) ( )fg f g g f (4) ( )A B A B (8) ( ) 0A (6) ( ) ( ) ( )A B B A A B 11 (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B A B A A B A B (9) ( )A B A B (10) ( )f A f A f A (12) 0f 2(13) ( ) ( )A A A (14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B A A B B A A B (15) ( ) 0f g 作 业 P8 (5) (10) P26 1-5 1-13