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四边形：一：如图， ACD、 ABE、BCF均为直线 BC同侧的等边三角形 .(1) 当 ABAC时，证明四边形 ADFE为平行四边形；(2) 当 AB = AC时，顺次连结 A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.FEDABC二：如图，已知 ABC是等边三角形， D、 E分别在边 BC、AC上，且 CD=CE，连结 DE并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、 BE和 CF。（ 1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（ 2）判断四边形 ABDF是怎样的四边形，并说明理由。（ 3）若 AB=6，BD=2DC，求四边形 ABEF的面积。四：在矩形 ABCD中，点 E是 AD边上一点，连接 BE，且 ABE30， BEDE，连接 BD点 P从点 E 出发沿射线 ED运动，过点 P作 PQBD交直线 BE于点 Q(1) 当点 P 在线段 ED上时（如图 1），求证： BEPD 3 PQ；3（2）若 BC6，设 PQ长为 x，以 P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；（3）在的条件下，当点 P 运动到线段 ED的中点时，连接 QC，过点 P 作 PF QC，垂足为 F，PF交对角线 BD于点 G（如图 2），求线段 PG的长。解：（ 1）证明： A=90ABE=30 AEB=60 EB=ED EBD= EDB=30 PQBD EQP= EBD EPQ= EDB EPQ= EQP=30 EQ=EP过点 E作 EM OP垂足为 M PQ=2PM3PE=3 EPM=30 PM=PEPQ23 BE=DE=PD+PE BE=PD+ 3 PQ3（ 2）解：由题意知 AE=1 BE DE=BE=2AE2 AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4当点 P 在线段 ED上时（如图1） 点 Q做 QH AD于点 H QH= 1 PQ=1 x22由（ 1）得 PD=BE- 3 PQ=4- 3 x33y=1PD QH=3 x 2x212当点 P 在 段 ED的延 上 （如 2） 点 Q作 QH DA交 DA延 于点 H QH = 1 x2 点 E 作 EM PQ于点 M33同理可得 EP=EQ=PQ BE=PQ-PD33 PD= 3 x-4 y=1 PD QH =3 x2x3212（ 3）解： 接 PC交 BD于点 N（如 3）点 P 是 段 ED中点 EP=PD=2 PQ=23 DC=AB=AE tan60 = 23 PC=PD2DC2=4PD1 DPC=60 cos DPC=PC2 QPC=180 - EPQ- DPC=90 PQBD PND= QPC=90 PN=1 PD=12QC=PQ2PC2=2 7FPCFPCPGN=90 -PCF=90 - PCN= PCF 1 分 PNG= QPC=90 PNG QPC PGPN PG=12 7 =21QCPQ233五：如图 , 这是一张等腰梯形纸片, 它的上底长为2, 下底长为 4, 腰长为 2, 这样的纸片共有 5 张. 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形, 那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 ?分别画出它们的示意图 , 并写出它们的周长 .2224解：如 所示六：已知 : 如图 , 在矩形 ABCD中,E 、F 分别是边 BC、AB上的点 , 且 EF=ED,EFED.求证 :AE 平分 BAD.证明：四边形ABCD是矩形 B= C= BAD=90 AB=CD BEF+BFE=90 EF ED BEF+CED=90 BEF=CED BEF= CDE又 EF=ED EBF CDE BE=CD BE=AB BAE= BEA=45 EAD=45 BAE=EAD AE平分 BADEBCFAD（第 23 题）七：如图 , 矩形纸片ABCD中 , AB=8, 将纸片折叠 , 使顶点B 落在边AD 的 E 点上 , BG=10.(1) 当折痕的另一端 F 在 AB边上时 , 如图 (1). 求 EFG的面积 .(2) 当折痕的另一端 F 在 AD边上时 , 如图 (2). 证明四边形 BGEF为菱形 , 并求出折痕 GF的长 .AE HD AEDH (A)FFAFE(B)DBGCBGC图（ 1）BGC图（ 2）解 :(1)过点 G作 GH AD,则四边形ABGH为矩形 , GH=AB=8, AH=BG=10, 由图形的折叠可知BFG EFG,EG=BG=10, FEG= B=90； EH=6, AE=4, AEF+HEG=90, AEF+ AFE=90 , HEG= AFE, 又= =90 , , EFAEEFG1= 1 5 10=25.EHG AEAFEHGGH, EF=5, S =2EFEGEG2(2) 由图形的折叠可知四边形 ABGF四边形 HEGF, BG=EG, AB=EH, BGF= EGF, EFBG， BGF= EFG, EGF= EFG, EF=EG, BG=EF, 四边形 BGEF为平行四边形, 又 EF=EG, 平行四边形 BGEF为菱形；H (A)连结，、互相垂直平分，在Rt中,=10,= =8, 由勾股定理可得BE BE FGEFHEF BGEH ABAFE (B) DFH=AF=6 ， AE=16 ， BE=AE 2AB2=85， BO=45 ， O=2=222BGCFG OGBGBO =4 5 。八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上（保留作图痕迹）（2）写出你的作法解：（ 1）所作菱形如图、所示说明：作法相同的图形视为同一种例如类似图、图的图形视为与图是同一种（ 2）图的作法：作矩形 A1B1C1D1 四条边的中点E1、 F1、 G1、 H1；连接 H1E1、 E1F1、 G1F1、 G1H1四边形 E1F1G1H1 即为菱形图的作法：在 B2C2 上取一点 E2，使 E2C2 A2E2 且 E2 不与 B2 重合；以 A2 为圆心， A2E2 为半径画弧，交 A2D2 于 H2；以 E2 为圆心， A2E2 为半径画弧，交 B2C2 于 F2；连接 H2F2，则四边形 A2E2F2H2 为菱形九：如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P与 A、C不重合），AD点 E 在射线 BC上，且 PE=PB.P（ 1）求证： PE=PD； PEPD；（ 2）设 AP=x, PBE的面积为 y.BEC 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.解：（ 1）证法一： 四边形 ABCD是正方形， AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45 . PC=PC， PBC PDC（SAS） . PB= PD， PBC= PDC.又 PB= PE ， PE=PD. （ i ）当点 E 在线段 BC上 ( E 与 B、 C不重合 ) 时，A PB=PE， PBE= PEB， PEB= PDC，PD1 PEB+ PEC= PDC+ PEC=180， DPE=360 -( BCD+ PDC+ PEC)=90 ， PE PD.）（ ii ）当点 E与点 C重合时，点 P 恰好在 AC中点处，此时，（ iii ）当点 E 在 BC的延长线上时，如图 . PEC= PDC， 1= 2， DPE= DCE=90， PE PD.综合（ i ）（ii ）（ iii） , PE PD.（ 2）过点 P 作 PF BC，垂足为 F，则 BF=FE.AP=x， AC= 2 ， PC= 2 - x ， PF=FC=2 ( 2x) 12 x .22BF=FE=1- FC=1-( 12 x )=2 x .2 2 SPBE=BF PF=2 x ( 12 x )1 x22 x .2222BPE PD.APBFEH2CEDC即 y1 x22 x (0 x 2 ).22 y1 x22 x1 ( x2 ) 21 .22224 a1 0，2 当 x2时， y最大值1.42（ 1）证法二：过点 P 作 GF AB，分别交 AD、BC于 G、 F.如图所示 . 四边形 ABCD是正方形，AGD 四边形和四边形都是矩形，32ABFGGFCD AGP和 PFC都是等腰直角三角形 .P GD=FCFP， GP=AGBF， PGD= PFE=90 .1又 PB=PE， BF=FE，BF EC GP=FE， EFP PGD（SAS） . PE=PD. 1= 2. 1+ 3= 2+ 3=90 . DPE=90 . PE PD.（ 2）AP=x， BF=PG= 2 x ， PF=1-2 x .22PBE= 2x(12x)1x22x .SBFPF2222即 y1 x22 x(0 x 2 ).22 y1 x22 x1 ( x2 ) 21 .22224 a1 0，2 当 x2时， y 最大值1 .24十：如图 1，四边形 ABCD是正方形， G是 CD边上的一个动点 ( 点 G与 C、D不重合 ) ，以 CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG，连结 BG，DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1 中线段 BG、线段 DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG绕着点 C按顺时针 ( 或逆时针 ) 方向旋转任意角度，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立 , 并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形 （如图 46），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb( ab，k0) ，第(1) 题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第(2)题图5 中，连结DG 、 BE ，且a=3，b=2， k= 1 ，求 BE 2DG 2 的值2解 : (1) BGDE , BGDE BGDE , BGDE仍然成立在图（ 2）中证明如下四边形ABCD 、四边形 ABCD 都是正方形 BCCD ， CG CE ， BCDECG 900BCGDCE BCG DCE （ SAS） BG DECBGCDE又BHCDHOCBGBHC900CDEDHO 900DOH900 BG DE（ 2） BGDE 成立， BGDE 不成立简要说明如下四边形 ABCD 、四边形 CEFG 都是矩形，且 AB a ， BC b ， CGkb ， CEka (a b ， k 0 )BCCGb ，BCDECG900DCCEaBCGDCEBCGDCECBGCDE又BHCDHOCBGBHC900CDEDHO900 DOH900 BG DE（ 3） BGDE BE 2DG 2OB 2OE 2OG 2OD 2BD 2GE2又 a3， b 2， k12 BD 2GE2223212( 3) 265 BE 2DG 265244
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