《声与振动基础》PPT课件.ppt

李 忠 厚延 安 大 学2013年 3月 主 要 内 容第 一 章 绪 论第 二 章 声 波 的 基 本 性 质 及 传 播 特 性 第 一 章 绪 论 声 学 是 物 理 学 的 一 个 分 支 ， 是 自 然 科 学 中 最 古老 的 学 科 之 一 ; 声 学 是 一 门 发 展 的 、 具 有 广 泛 应 用 性 的 学 科 ，涉 及 到 人 类 生 产 、 生 活 及 社 会 活 动 的 各 个 方 面 ，具 有 很 大 的 “ 外 延 性 ” ， 即 边 缘 学 科 的 特 点 。 声 学 是 一 门 研 究 声 波 的 产 生 、 传 播 、 接收 以 及 与 物 质 相 互 作 用 的 科 学 。 声 是 一 种 机 械 扰 动 在 气 态 、 液 态 、 固 态物 质 中 传 播 的 现 象 。 声 学 研 究 的 范 畴 非 常 广 ， 分 支 很 多 ：图 1-1 声 学 分 支 与 其 他 学 科 的 关 系 20Hz20kHz 20kHz0,d0;而 膨 胀 时 压 强 和 密 度 都 降低 ， 即 dP0,d0 ， 则 说 明 波 沿 正 x方 向 移 动 了 x距 离 ； 如果 x 0 ， 这 就 说 明 （ 2-4-6） 是 表 征 了 沿 x方 向行 进 的 波 。 （ 2） 任 一 时 刻 t0 时 ， 具 有 相 同 相 位 0 的 质 点 轨 迹 是一 个 平 面 ， 这 只 要 令 t0-kx= 0 ， 即 可 解 得 ：consttx 00这 就 是 说 ， 这 种 声 波 传 播 过 程 中 ， 等 相 位 面 是 平 面 ，所 以 通 常 称 为 平 面 波 。（ 3） 由 （ 2-4-7） 式 可 得 ： txC 0可 见 C0 代 表 单 位 时 间 内 波 阵 面 传 播 的 距 离 ， 也 就 是声 传 播 速 度 。 总 之 ， 以 （ 2-4-5） 式 及 （ 2-4-6） 式 描 述的 声 场 是 一 个 波 阵 面 为 平 面 ， 沿 正 x方 向以 速 度 C0 传 播 的 平 面 行 波 ， 同 时 容 易 看出 ， 平 面 声 波 在 均 匀 的 理 想 媒 质 中 传 播时 ， 声 压 幅 值 Pa 、 质 点 速 度 振 幅 va 都 是不 随 距 离 改 变 的 常 数 ， 也 即 说 明 声 波 在传 播 过 程 中 不 会 有 任 何 衰 减 。 此 外 ， 应 指 出 ， 平 面 声 场 中 任 何 位 置 处 ，声 压 和 质 点 速 度 都 是 同 相 位 的 。 二 、 声 波 传 播 速 度 对 理 想 气 体 中 的 小 振 幅 声 波 ， 我 们 已 经 求 得 其声 速 为 ： 0020 PC 例 如 ， 对 于 空 气 ： =1.402 ， 在 标 准 大 气 压 P0 ， 温 度为 0 时 ， 0 = 1.293kg/m3 ， 则 C0 =331.6 m/s 因 为 声 速 C0 与 媒 质 平 衡 状 态 的 参 数 有 关 ， 所 以 温 度的 变 化 必 然 引 起 声 速 的 变 化 。 若 考 虑 温 度 因 素 时 ，对 理 想 气 体 由 卡 拉 伯 龙 公 式 ： RTMPV 气 体 摩 尔 量 ， R 气 体 常 数 因 此 声 速 的 定 义 式 可 改 写 为 0000 RTPC (2-4-8)由 此 可 见 ， 声 速 与 无 声 扰 动 时 媒 质 平 衡 状 态 的 绝对 温 度 T0的 平 方 根 成 正 比 ， 若 采 用 摄 氏 温 标 t ，因 为 T0 =273+t， 则 温 度 为 t 的 声 速 为 ： tCCCCtRCtC ooo 227300273 000 (2-4-9)式 中 smCC o 6.33100 将 此 值 代 入 上 式 得 ： tCtC o 6.06.3310 (m/s) (2-4-10)由 此 算 得 20 时 的 声 速 为 344m/s。 三 、 声 阻 抗 率 与 媒 质 特 性 阻 抗 声 阻 抗 率 的 定 义 ： 声 场 中 某 位 置 的 声 压 与 该位 置 的 质 点 速 度 的 比 值 为 该 位 置 的 声 阻 抗 率 ，即 ： vPZ S 声 场 中 某 位 置 的 声 阻 抗 率 ZS 一 般 来 说 可 能 是 复 数 ， 像电 阻 抗 一 样 ， 其 实 数 部 分 反 映 了 能 量 的 损 耗 。(2-4-11)根 据 声 阻 抗 率 的 定 义 （ 2-4-11） 式 ， 对 平 面 声 波 情 况 ，应 用 （ 2-4-5） 与 （ 2-4-6） 式 ， 可 求 得 平 面 前 进 声 波 的声 阻 抗 率 为 ： 00CZS (2-4-12) 对 沿 负 x方 向 传 播 的 反 射 波 情 形 ， 通 过 类 似 的讨 论 可 求 得 : 00CZS (2-4-13)由 此 可 见 ， 在 平 面 声 场 中 ， 各 位 置 的 声 阻 抗 率 数 值上 都 相 同 ， 且 为 一 实 数 。 这 反 映 了 在 平 面 声 场 中 各位 置 上 都 无 能 量 的 贮 存 ， 在 前 一 个 位 置 上 的 能 量 可以 完 全 地 传 播 到 后 一 个 位 置 上 去 。 第 五 节 声 场 中 的 能 量 关 系 声 波 传 到 原 先 静 止 的 媒 质 中 ， 一 方 面 使 媒 质 质点 在 平 衡 位 置 附 近 来 回 振 动 ， 同 时 在 媒 质 中 产生 了 压 缩 和 膨 胀 的 过 程 。 前 者 使 媒 质 具 有 了 振动 能 量 ， 后 者 使 媒 质 具 有 了 形 变 位 能 ， 两 部 分之 和 就 是 由 于 声 扰 动 使 媒 质 得 到 的 声 能 量 。 扰动 的 传 播 ， 声 能 量 也 就 跟 着 转 移 ， 因 此 可 以 说声 波 的 过 程 实 质 上 就 是 声 振 动 能 量 的 传 播 过 程 一 、 声 能 量 与 声 能 量 密 度 设 想 在 声 场 中 取 一 足 够 小 的 体 积 元 ， 其 原 先 的 体 积 为 V0，压 强 为 p0， 密 度 为 0 ， 由 于 声 扰 动 使 该 体 积 元 得 到 的动 能 为 20021 vVEk （ 2-5-1）此 外 ， 由 于 声 扰 动 ， 该 体 积 元 压 强 从 P0升 高 P0 +P到 ，于 是 该 体 积 元 具 有 了 位 能 。 （ 2-5-2） pp pdvE 0式 中 负 号 表 示 在 体 积 元 内 压 强 和 体 积 的 变 化 方 向 相 反 ， 压 强 增 加时 体 积 将 缩 小 ， 此 时 外 力 对 体 积 元 作 功 ， 使 它 的 位 能 增 加 ， 即 压缩 过 程 使 系 统 贮 存 能 量 ， 反 之 ， 当 体 积 元 对 外 作 功 时 ， 体 积 元 的位 能 就 会 减 小 ， 也 即 膨 胀 过 程 使 系 统 释 放 能 量 。 因 为 媒 质 体 积 的 变 化 与 压 强 的 变 化 是 互 相 联 系 的 ，这 由 状 态 方 程 （ 2-3-3a） 式 所 描 述 ， 对 其 微 分 可 得考 虑 到 体 积 元 在 压 缩 和 膨 胀 过 程 中 质 量 保 持 一 定 ，则 体 积 元 体 积 的 变 化 和 密 度 的 变 化 之 间 存 在 着 关 系 dcdp 20 （ 2-5-3） 0VdVd 对 小 振 幅 声 波 ， 则 可 简 化 成 00 VdVd 将 其 带 入 （ 2-5-3） 式 ， dVVcdp 0 200 由 此 解 出 dV并 带 入 （ 2-5-2） 式 ， 再 对 p积 分 得20 000200 0 22 pcVpdpcVE pp 体 积 元 的 总 能 量 为 动 能 与 位 能 之 和 ， 即 22020200 12 pcvVEEE pK （ 2-5-4）单 位 体 积 的 声 能 量 称 为 声 能 量 密 度 ， 即 2202020 121 0 pcvVE （ 2-5-5）尽 管 上 式 是 以 平 面 波 为 例 而 导 出 的 ， 但 因 推 导 过 程 并未 对 声 场 作 任 何 特 殊 限 制 ， 因 而 该 式 即 适 用 于 平 面 声波 ， 也 适 用 于 球 面 波 及 其 他 类 型 声 波 的 普 遍 表 达 式 。 将 平 面 行 波 的 声 压 （ 2-4-5） 式 及 （ 2-4-6） 式 取 实部 后 带 入 （ 2-5-4） 式 ， 即 可 得 到 kxtcpVkxtcpkxtcpVE aaa 2200 202020 22020 200 coscoscos2 （ 2-5-6）由 此 可 看 出 ， 平 面 声 场 中 任 何 位 置 上 动 能 与 位 能 的变 化 是 同 相 位 的 ， 动 能 达 到 最 大 值 时 位 能 也 达 到 最大 值 。（ 2-5-6） 式 代 表 体 积 元 内 声 能 量 的 瞬 时 值 ， 如 果 将 它 对 一 个 周 期 取 平 均 ， 则 得 到 声 能 量 的 时 间 平 均 值 。 200 200 211 cpVEdtTE aT 单 位 体 积 中 的 平 均 声 能 量 称 为 平 均 声 能 量 密 度 ， 即200 2200 20 2 cpcpVE ea 式 中 为 有 效 声 压 。 因 为 在 理 想 媒 质 平 面 声 场中 ， 声 压 幅 值 是 不 随 距 离 改 变 的 常 数 ， 所 以 平 均 声能 量 密 度 处 处 相 等 ， 这 是 理 想 媒 质 中 平 面 声 场 的 又一 特 征 。 2ae pp (2-5-7) 二 、 声 功 率 与 声 强平 均 声 能 量 流 的 单 位 为 W（ 瓦 ）单 位 时 间 内 通 过 垂 直 于 声 传 播 方 向 的 面 积 S的 平 均 声 能 量 就 称 为平 均 声 能 量 流 或 称 为 平 均 声 功 率 。 因 为 声 能 量 是 以 声 速 C0传 播 的 ，因 此 平 均 声 能 量 流 应 等 于 声 场 中 面 积 为 S、 高 度 为 C0的 柱 体 内 所包 括 的 平 均 声 能 量 。 即 ScW 0 (2-5-8)通 过 垂 直 于 声 传 播 方 向 的 单 位 面 积 上 的 平 均 声 能 流就 称 为 平 均 声 能 量 流 密 度 或 称 为 声 强 ， 即20cSWI (2-5-9) 根 据 声 强 的 定 义 ， 它 还 可 用 单 位 时 间 内 、单 位 面 积 的 声 波 向 前 进 方 向 毗 邻 媒 质 所作 的 功 来 表 示 ， 因 此 也 可 写 成式 中 Re表 示 取 实 部 ， 声 强 的 单 位 为 W/m2。对 沿 正 x方 向 传 播 的 平 面 声 波 ， 无 论 将 （ 2-5-7） 式 代 入 （ 2-5-9） 式 或 是 将 （ 2-4-6） 式代 入 （ 2-5-10） 式 ， 都 可 以 得 到 dtvRpRTI eT e 01 (2-5-10) eeaaeaea vpvpvcvccpcpI 21212 200200020 2002 (2-5-11) 对 沿 负 x方 向 传 播 的 反 射 波 情 形 ， 可 求 得这 时 声 强 是 负 值 ， 它 表 明 声 能 量 向 负 x方 向 传 递 。 由此 可 见 ， 声 强 是 有 方 向 的 量 ， 它 的 指 向 就 是 声 传 播的 方 向 。由 （ 2-5-11） 及 （ 2-5-12） 式 可 见 ， 声 强 与 声 压 幅 值 或 质点 速 度 幅 值 的 平 方 成 正 比 。 此 外 在 相 同 质 点 速 度 幅 值 的情 况 下 ， 声 强 还 与 媒 质 的 特 性 阻 抗 成 正 比 。 例 如 在 空 气和 水 中 有 两 列 相 同 频 率 、 相 同 速 度 幅 值 的 平 面 声 波 ， 这时 水 中 的 声 强 要 比 空 气 中 的 声 强 约 大 3600倍 。 可 见 ， 在特 性 阻 抗 较 大 的 媒 质 中 ， 声 源 只 需 用 较 小 的 振 动 速 度 就可 以 发 射 出 较 大 的 能 量 ， 从 声 辐 射 的 角 度 看 这 是 很 有 利的 。 2000020 212 aa vccpcI (2-5-12) 第 六 节 声 波 的 反 射 、 折 射 与 透 射前 面 讨 论 了 平 面 声 波 在 无 限 空 间 中 自 由 传 播 的规 律 ， 然 而 声 波 在 传 播 路 径 上 常 会 迁 到 各 种 各样 的 “ 障 碍 物 ” 。 例 如 ， 声 波 从 一 种 媒 质 进 入另 一 种 媒 质 时 ， 后 者 对 前 一 种 媒 质 所 传 播 的 声波 就 是 一 种 障 碍 物 。 当 声 波 在 前 进 过 程 中 遇 到障 碍 物 将 会 产 生 反 射 、 折 射 与 透 射 等 现 象 。 一 、 声 学 边 界 条 件声 波 的 反 射 、 折 射 及 透 射 都 是 在 两 种 媒 质 的 分 界面 处 发 生 的 。 因 此 首 先 要 讨 论 在 分 界 面 存 在 些 什么 声 学 特 性 和 规 律 ， 即 声 学 的 边 界 条 件 是 什 么 。设 有 两 种 都 延 伸 到 无 限 远 的 理 想 流 体 ， 其 特 性 阻抗 分 别 为 1c1和 2c2， 如 下 图 所 示 那 样 互 相 接 触1c1 2c2P（ 1） P（ 2） 图 2-3 设 想 在 分 界 面 上 割 出 一 块 面 积 为 s， 厚 度 足 够 薄 的 质 量元 ， 其 左 右 两 个 界 面 分 别 位 于 两 种 媒 质 里 ， 其 质 量 设 为M ， 如 果 在 分 界 面 附 近 两 种 媒 质 里 的 压 强 分 别 为 P(1)和 P(2) ， 它 们 的 压 强 差 就 引 起 质 量 元 的 运 动 ， 按 牛 顿 第二 定 律 ， 其 运 动 方 程 为 dtdvMSPP )2()1(因 为 分 界 面 是 无 限 薄 的 ， 即 这 个 质 量 元 的 厚 度 乃 至 质 量 是 趋 近 于 零 的 ， 而 质 量 元 的 加 速 度 不 可 能 趋 于 无 穷 大 ，所 以 要 上 式 成 立 就 必 须 存 在 0)2()1( PP (2-6-1) (2-6-1)式 对 有 无 声 波 的 情 况 都 成 立 ， 当 无 声波 存 在 时 ， 该 式 给 出 两 媒 质 中 的 静 压 强 在 分界 面 处 是 连 续 的 。当 有 声 波 存 在 时 ， 考 虑 到)2()1( 00 PP 10 )1()1( pPP 202 )2()2( pPP ， 则 有 21 pp (2-6-3)(2-6-2)即 两 种 媒 质 中 的 声 压 在 分 界 面 处 是 连 续 的 。 此 外 ， 如 果 分 界 面 两 边 的 媒 质 由 于 声 扰动 得 到 的 法 向 速 度 （ 垂 直 于 分 界 面 的 速度 ） 分 别 为 和 ， 因 为 两 种 媒 质 保 持 恒 定接 触 ， 所 以 两 种 媒 质 在 分 界 面 处 的 法 向速 度 相 等 ， 即 21 vv (2-6-4)（ 2-6-3） 式 与 （ 2-6-4） 式 就 是 媒 质 分界 面 处 的 声 学 边 界 条 件 。 二 、 平 面 声 波 垂 直 入 射 时 的 反 射 和 透 射 kxtjiai epp 1c1 2c2Pi PiPr 0 x 下 面 分 别 求 解 媒 质 和 媒质 中 的 声 场 。在 媒 质 中 求 解 一 维 声 波方 程 （ 2-3-7） 式 得 声 压 P1 的 形 式 为 xktjxktj BeAep 111 (2-6-5)图 2-4 式 (2-6-5)第 一 项 代 表 沿 x方 向 前 进 的 波 ， 也 就 是 原 来 已知 的 入 射 波 pi ， 所 以 这 里 的 常 数 A就 是 入 射 波 的 幅 值 pia ； 第 二 项 代 表 向 负 x方 向 行 进 的 波 ， 它 实 际 代 表 了入 射 波 遇 到 分 界 面 以 后 在 媒 质 中 产 生 的 反 射 波 ， 记为 pr ， 即 有 xktjrar epp 1 因 此 （ 2-6-5） 式 可 改 写 为 xktjraxktjiari epepppp 111 (2-6-6)即 媒 质 中 的 声 场 为 入 射 波 与 反 射 波 之 和 。 媒 质 中 的 声 场 的 一 般 解 形 式 上 仍 为 （ 2-6-5） 式 ， 但 由 于 媒 质 无 限 延 伸 ， 不 会 出 现 负 x方 向 传 播 的 波 ， 所 以 这 里 只 需 保 留 （ 2-6-5）式 中 的 第 一 项 ， 它 实 际 上 代 表 了 透 入 媒 质 的 透 射 波 ， 记 为 ， 即得运 用 速 度 方 程 可 求 出 两 种 媒 质 中 质 点 速 度 v1及 v2分 别 为 xktjtat eppp 22 (2-6-7) xktjraxktjia evevv 111 （ 2-6-8） xktjtaevv 22 式 中 ， 111cpv aia 11cpv rara 22cpv tata 下 面 通 过 声 学 边 界 条 件 来 确 定 反 射 、 透 射 的 大 小 。 据声 学 边 界 条 件 知 ， 在 x=0的 分 界 面 处 应 有 声 压 连 续 及 法向 质 点 速 度 连 续 0201 xx pp 0201 xx vv （ 2-6-9）将 式 （ 2-6-6） 、 （ 2-6-7） 式 代 入 （ 2-6-9） 式 得 到 taraia ppp taraia vvv （ 2-6-10） 联 合 （ 2-6-8） 式 及 （ 2-6-10） 式 即 可 求 得 在 分 界 面 上 反 射波 声 压 与 入 射 波 声 压 之 比 rp ， 反 射 波 质 点 速 度 与 入 射 波质 点 速 度 之 比 tv 分 别 为 ： 11121212 12 RRRR RRppv tarap 121221 21 11 RRRR RRv viavv ra 12121 2 1222 RRRR Rppt iatap 1221 1 1 22 RRR Rvvt iatav （ 2-6-11）式 中 111 cpR 222 cpR 1212 RRR 2121 RRR 由 此 可 见 ， 声 波 在 分 界 面 上 反 射 与 透 射 的 大 小 仅 决定 于 媒 质 的 特 性 阻 抗 ， 这 再 次 说 明 媒 质 的 特 性 阻 抗对 声 传 播 有 着 重 要 的 影 响 。 下 面 分 几 种 情 况 讨 论 ：1、 R1=R2（ R12=1）由 （ 2-6-1） 式 代 入 得 rp=rv=0 tp=tv=1这 表 明 声 波 没 有 反 射 ， 即 全 部 透 射 ， 也 就 是 说 即 使存 在 着 两 种 不 同 媒 质 的 分 界 面 ， 但 只 要 两 种 媒 质 的特 性 阻 抗 相 等 ， 那 么 对 声 的 传 播 来 说 分 界 面 就 好 像不 存 在 一 样 。 2、 R2=R1（ R12 1）由 （ 2-6-11） 式 得 rp0,rv0,tv0因 为 R2R1， 媒 质 比 媒 质 在 声 学 性 质 上 更“ 硬 ” 。 这 种 边 界 称 为 硬 边 界 ， 在 硬 边 界 附 近 ， 当入 射 波 质 点 速 度 指 向 边 界 面 使 这 里 的 媒 质 呈 压 缩相 时 ， 入 射 波 的 质 点 速 度 在 碰 到 分 界 面 时 好 像 弹 性碰 撞 一 样 ， 变 成 一 个 反 向 的 速 度 ， 结 果 反 射 波 的 质点 速 度 也 使 这 里 的 媒 质 呈 现 压 缩 相 ， 所 以 在 硬 边界 面 上 ， 反 射 波 质 点 速 度 与 入 射 波 质 点 速 度 相 位 改变 180 ， 反 射 波 声 压 与 入 射 波 声 压 同 相 位 。 3、 R2R1（ R12 1）由 （ 2-6-11） 式 代 入 得 rp0 tp0,tv0因 为 R2R1（ R12 1）由 （ 2-6-11） 式 得 rp1 , rv -1 tp 2 , tv 0因 为 R2R1， 媒 质 比 媒 质 说 来 十 分 “ 坚 硬 ” ， 入 射 质 点 速度 v i碰 到 分 界 面 以 后 完 全 弹 回 媒 质 ， 所 以 反 射 波 的 质 点 速 度 v r 与 入 射 波 的 质 点 速 度 v i大 小 相 等 ， 相 位 相 反 ， 结 果 在 分 界 面 上合 成 质 点 速 度 为 零 ， 而 反 射 波 声 压 与 入 射 波 声 压 大 小 相 等 ， 相位 相 同 ， 所 以 在 分 界 面 上 的 合 成 声 压 为 入 射 声 压 得 两 倍 。 实 际上 这 时 发 生 的 是 全 反 射 ， 在 媒 质 中 入 射 波 与 反 射 波 叠 加 形 成了 驻 波 ， 分 界 面 处 恰 是 速 度 波 节 和 声 压 波 腹 。 至 于 在 媒 质 中 ，这 时 并 没 有 声 波 传 播 ， 媒 质 的 质 点 并 未 因 媒 质 质 点 的 冲 击而 运 动 (t v = 0 )， 媒 质 中 存 在 的 压 强 也 只 是 分 界 面 处 的 压 强pt=2pi 的 静 态 传 递 ， 并 不 是 疏 密 交 替 的 声 压 。 下 面 讨 论 声 波 通 过 分 界 面 时 的 能 量 关 系 。 因 为 反 射 波 与透 射 波 都 仍 是 平 面 波 ， 应 用 (2-5-11)式 可 求 得 反 射 波 声强 与 入 射 波 声 强 大 小 之 比 即 声 强 反 射 系 数 r1 及 透 射 波 强度 与 入 射 波 声 强 之 比 即 声 强 透 射 系 数 t1分 别 为21212212 1211 211 2 1122 RRRR RRcpcpr iaraI 21212221 2111222 2 )1( 4)(4122 RRRR RRrcpcpIIt IiaraitI (2-6-12)(2-6-13)从 (2-6-12)式 可 以 看 出 ， 因 为 公 式 中 R2与 R1 是 对 称的 ， 所 以 声 波 不 论 从 媒 质 入 射 到 媒 质 或 者 相 反 ，声 强 反 射 系 数 都 是 相 等 的 。 三 、 平 面 声 波 斜 入 射 时 的 反 射 与 折 射为 了 处 理 方 便 ， 我 们 把 分 界面 的 坐 标 取 为 x=0如 左 图 2-5所 示 。 设 有 一 入 射 平 面 波 ，其 行 进 方 向 与 分 界 面 的 法 线即 x轴 有 一 夹 角 ， 因 为 波 的行 进 方 向 不 再 向 前 面 一 节 那样 是 恰 好 沿 着 轴 的 ， 所 以 现在 的 入 射 平 面 也 不 能 写 成 像(2-4-5)式 那 样 简 单 的 形 式 。ty 0 x ri 图 2-5 我 们 知 道 ， 当 平 面 声 波 的 传 播 方 向 也 就 是 波 阵 面 的 法 线方 向 与 x 轴 相 一 致 时 ， 平 面 波 的 表 达 式 为)( kxtjnepp (2-6-14)这 时 同 一 波 阵 面 上 不 同 位 置 的 点 (x,y,z )因 为 有 相 同 的x 坐 标 ， 因 此 声 压 的 振 幅 和 相 位 均 相 同 ， 即 这 些 位 置上 的 声 压 都 以 上 式 描 述 ， 式 中 的 值 实 际 上 代 表 的 是位 置 矢 量 在 波 阵 面 法 线 方 向 (这 里 恰 巧 为 轴 )上 的 投影 。 如 下 页 2-6图 (a)。 如 果 设 想 一 列 沿 空 间 任 意 方 向行 进 的 平 面 波 ， 也 会 发 现 ， 那 时 波 阵 面 上 的 不 同 位 置也 因 为 位 置 矢 量 在 波 阵 面 法 线 方 向 上 的 投 影 相 等 而 具有 相 同 的 声 压 。 见 下 页 图 2-6 (b)。 所 以 我 们 可 以 把 上式 中 一 般 化 地 理 解 为 声 场 某 点 的 位 置 矢 量 在 波 阵 面法 线 上 的 投 影 ， 它 等 于 波 阵 面 法 线 的 单 位 矢 量n=cosi+cosj+cosk 与 位 置 矢 量 r=xi+yj+zk 标 量积 ， 即 x=n r , 图 azz 0 xr 波 振 面y x y(x ,y , z) nz 0 xr波 振 面y x y图 b(x ,y , z)图 2-6 ,为 波 阵 面 法 线 与 x,y,z三 个 坐 标 轴 间 的 夹 角 ，cos,cos,cos 为 该 法 线 的 方 向 余 弦 。 只 是 在 此 情况 下 的 法 线 方 向 与 x 轴 重 合 ， 所 以 有 =0o,= =90o。于 是 可 以 将 上 式 更 一 般 地 推 广 到 三 维 空 间 而 写 成)( knrtjnepp 如 果 令 kn=K， 它 代 表 波 阵 面 法 线 方 向 上 长 度 为 K的矢 量 ， 称 为 波 矢 量 (简 称 波 矢 )。 则 上 式 成 为 )( rtjaepp 此 式 即 为 沿 空 间 任 意 方 向 行 进 的 平 面 波 的 表 达 式 ，其 中 K为 波 矢 ， r为 位 置 矢 量 。 因 为 coscoscos kzkykxrknrK (2-6-15) 所 以 (2-6-15)式 也 可 写 成 )coscoscos( kzyxtjaepp 根 据 上 式 ， 只 要 知 道 平 面 波 传 播 方 向 的 方 向 余 弦cos,cos,cos ， 就 可 以 计 算 空 间 一 点 (x ,y ,z) 的 声压 。由 声 压 P ， 应 用 速 度 式 即 可 求 得 空 间 任 意 一 点(x ,y ,z )的 质 点 速 度 沿 三 个 坐 标 的 分 量 pcdtzp pcdtyp pcdtxpzyx 000 000 000 cos1 cos1 cos1 （ 2-6-16）（ 2-6-17） 再 回 到 斜 入 射 问 题 （ 图 2-5） 。 当 有 一 列 行 进 方 向 仍 在 xy 平 面 内 ， 但 与 x轴 夹 角 为 i的 平 面 声 波 入 射 于 分 界 面 上 时 ，根 据 刚 才 的 讨 论 ， 对 该 入 射 平 面 波 有 = i,=90o - i, =90o， 所 以 按 (2-6-16)式 及 (2-6-17)式 ， 声 压 及 质 点 速 度 沿 方 向 的 分 量 分 别 为 ： iiix yxtjiai pcepp ii11 )sincos(cos 11 (2-6-18)式 中 ， 反 射 波 的 行 进 方 向 仍 在 xy平 面 内 ， 但 与x 轴 有 一 夹 角 ， 设 为 =-r ， 如 图 所 示 ， 显 然 有 =90o - r, =90o ， 所 以 反 射 波 声 压 及 质 点 速 度 沿 x 方 向 的 分 量可 表 示 为 11 /c rrrx yxtjrar pcepp rr11 )sincos(cos 11 （ 2-6-19）因 此 ， 媒 质 中 的 声 场 就 为 入 射 波 与 反 射 波 之 和 )sincos(11)sincos(111 )sincos()sincos(1 1111 1111 coscos rrii rrii yxtjraiyxtjiairxixx yxtjrayxtjiari epcepc epepppp （ 2-6-20）在 媒 质 中 就 简 单 地 只 有 一 列 折 射 波 ， 设 折 射 波 前 进 方向 与 x轴 夹 角 为 t ， 则 = t,=90o-t, =90 o ， 所 以 折 射波 声 压 及 质 点 速 度 沿 方 向 的 分 量 分 别 可 表 示 为 tttx yxtjtat pcepp tt22 )sincos(cos 22 （ 2-6-21） 现 在 的 问 题 就 是 应 用 x=0 处 的 声 学 边 界 条 件 确 定 反 射 波 、折 射 波 的 大 小 及 方 向 。根 据 (2-6-3)式 及 (2-6-4)式 ， 在 分 界 面 处 应 满 足 声 压 及 法 向质 点 速 度 连 续 ， 即 x=0处 有 txrxix tri ppp 将 (2-6-20)式 及 (2-6-21)式 代 入 上 式 即 得 tri tri yjtatyjraryjiai yjtayjrayjia epcepcepc epepep sin22sin11sin11 sinsinsin 211 211 coscoscos (2-6-22)要 使 (2-6-22)式 对 x=0平 面 上 任 意 y 值 都 成 立 ， 必 要 条 件是 各 项 的 指 数 因 子 相 等 ， 即 tri sinsinsin 211 由 此 解 得 2112sinsin ccti ri (2-6-23)这 就 是 著 名 的 斯 奈 尔 声 波 反 射 与 折 射 定 律 ， 它 说 明 声波 遇 到 分 界 面 时 ， 反 射 角 等 于 入 射 角 ， 而 折 射 角 的 大小 与 两 种 媒 质 中 声 速 之 比 有 关 ， 媒 质 的 声 速 越 大 ，则 折 射 波 偏 离 分 界 面 法 线 的 角 度 越 大 。考 虑 到 (2-6-23)式 ， 则 (2-6-22)式 可 简 化 为 tatraiiai taraia pcpcpc ppp 221111 coscoscos (2-6-24)由 此 解 得 分 界 面 上 反 射 波 声 压 与 入 声 波 声 压 之 比 rp ，以 及 透 射 波 声 压 与 入 射 波 声 压 之 比 分 别 为 tp ： it tti iiatap it itti tiiarap cc ccc cppt cc cccc ccppr coscos cos3coscos cos2 coscos coscoscoscos coscos 1122 221122 22 1122 11221122 1122 (2-6-25)设 ttxts iixis cp cp coscos 222 111 （ 2-6-26）这 里 的 Zs1 和 Zs2 分 别 为 入 射 波 及 折 射 波 的 声 压 与相 应 质 点 速 度 的 法 向 分 量 的 比 值 ， 称 为 法 向 声 阻抗 率 ， 它 即 与 媒 质 特 性 阻 抗 有 关 ， 又 与 声 波 传 播方 向 有 关 ， 那 么 (2-6-25)式 可 改 写 为 12 2 12 122 ss sp ss ssptr (2-6-27)将 斜 入 射 时 的 结 果 (2-6-27)式 与 垂 直 入 射 时 的 结 果(2-6-11)式 相 比 较 ， 可 见 两 种 情 况 下 的 rp及 tp形 式上 都 相 似 ， 只 是 斜 入 射 时 要 用 法 向 声 阻 抗 率 Zs代替 垂 直 入 射 时 声 阻 率 R， 实 际 上 (2-6-11)式 只 是 (2-6-27)式 在 i =0时 的 特 例 ， 所 以 也 可 以 把 (2-6-11)式得 R1和 R2 理 解 为 声 波 的 法 向 声 阻 抗 率 。 只 是 此 时i =t =0 ， 所 以 垂 直 入 射 时 的 法 向 声 阻 抗 率 恰 等 于媒 质 的 特 性 阻 抗 。关 于 媒 质 特 性 阻 抗 对 于 声 波 反 射 及 透 射 的 影 响 已作 了 详 细 讨 论 ， 下 面 主 要 考 察 声 波 入 射 角 对 反 射现 象 的 影 响 ， 为 方 便 书 写 ， 引 入 符 号 211212 ccnm (2-6-28)m称 为 密 度 比 ， n称 为 媒 质 对 媒 质 的 折 射 率 。 于 是(2-6-25)式 可 改 写 成 ： inm nmv i iip 222 sincos sincos 2 ii ip nm mt 22 sincos cos2 (2-6-29) 分 几 种 情 况 讨 论1、 全 透 射当 声 波 入 射 角 i满 足 ， 也 就 是 入 射角 为 0sincos 22 inm i 1sin 2 22 m nmio (2-6-30)此 时 vp=0 ,tp=1， 即 声 波 以 i0入 射 时 不 会 出 现 反 射 ，声 波 全 部 透 进 媒 质 ， 所 以 i0称 为 全 透 射 角 。 当 然并 不 是 对 任 意 两 种 媒 质 （ 即 任 意 的 m和 n值 ） 都 可 能出 现 全 透 射 现 象 ， 这 可 由 （ 2-6-30） 式 看 出 。 只 有 从该 式 解 得 实 数 的 i0值 时 ， 才 会 发 生 全 透 射 ， 即 必 须满 足 条 件 ,解 此 不 等 式 得 当 m1 时 ， mn1或 当 m1 时 ， mn c2 的 情 况 ； 后 者 相当 于 2 c2 1 c1 ， 同 时 c1 c1时 恒 有 有 t i 。 那 么 可 以 想 象 ， 当 入 射 角 i由 零 度逐 渐 增 大 时 ， 折 射 角 自 然 也 随 之 增 大 ， 当 入 射 角 大 到 等 于 某 一定 角 度 ic 时 ， 有 t =90o ， 即 这 时 折 射 波 沿 着 分 界 面 传 播 。 如果 入 射 角 再 增 大 ， 以 至 i ic ， 这 时 ， 也 就 是 不 存 在 实 数 角 i ，这 意 味 着 在 媒 质 中 没 有 通 常 意 义 的 折 射 波 。 这 时 反 射 角 仍 等于 入 射 角 。 而 反 射 系 数 变 成 一 复 数 ， 其 绝 对 值 恒 等 于 1， 即 反射 波 幅 值 等 于 入 射 波 幅 值 ， 所 以 入 射 波 的 能 量 全 部 反 射 回 媒 质 中 ， 只 是 相 对 于 入 射 波 而 言 产 生 了 一 个 相 位 跃 变 ， 因 此 称 该现 象 为 全 内 反 射 。 ic称 为 全 内 反 射 临 界 角 ， 它 等 于21arcsinccic (2-6-31) 当 声 波 以 i =90o入 射 时 称 为 掠 入 射 。 根 据 （ 2-6-29） 式 可 以 看 出 ， 这 时 不 管 媒 质 和 特 性阻 抗 如 何 ， 也 不 管 是 由 媒 质 向 媒 质 入 射 或相 反 ， 都 有 ， 即 都 会 全 反 射 。 其 实 如 果c2 c1 (n c1 (n1)情 况 ， 却 只有 在 i =90o 时 才 会 全 反 射 。3、 掠 入 射 1pr 4、 垂 直 透 射若 媒 质 的 声 速 比 媒 质 的 声 速 小 很 多 ， 即 c2 c1 ，则 由 反 射 与 折 射 定 律 （ 2-6-23） 式 看 出 ， 对 任 意 的入 射 角 i ， 均 有 i =0 ， 即 折 射 波 总 是 垂 直 于 分 界 面的 ， 声 波 入 射 于 多 孔 介 质 状 吸 声 材 料 时 ， 相 当 于 这种 情 况 。最 后 讨 论 一 下 声 波 斜 入 射 时 的 能 量 关 系 。 由 （ 2-6-25） 式 可 以 求 得 反 射 波 声 强 与 入 射 波 声 强 大 小 之 比即 声 强 反 射 系 数 r1及 透 射 波 声 强 与 入 射 波 声 强 之 比即 声 强 透 射 系 数 t 1 分 别 为 21122 211222211 21 coscos coscos2 ti tiiaiara cc ccpp cpr 21122 2221111 22 21 coscos cos42 22 ti iiata cc cccp cpt （ 2-6-32）不 难 发 现 这 时 ， 这 似 乎 与 能 量 守 恒 定 律发 生 了 矛 盾 。 但 事 实 上 ， 因 为 斜 入 射 时 声 束 面 积会 变 宽 或 变 窄 （ 见 图 2-7）111 tr tS PrPi i Si St 图 2-7 所 以 声 强 透 射 系 数 并 不 能 完 全 反 映 透 射 的 能 量 关 系 ，这 时 必 须 来 考 虑 平 均 声 能 量 流 。考 虑 到 入 射 声 束 与 折 射 声 束 的 面 积 分 别 为 Si与 St ，可 求 得 平 均 声 能 量 流 透 射 系 数 为 21122 2211 coscos coscos4coscos ti tii tIii ttw cc cctSI SIt (2-6-33)至 于 反 射 波 ， 因 为 反 射 角 等 于 入 射 角 ， 所 以 反 射声 波 声 束 面 积 等 于 入 射 声 波 声 束 面 积 ， 因 而 Iw rr (2-6-34)这 时 可 以 证 明 ， 即 反 射 波 平 均 声 能量 流 与 透 射 波 平 均 声 能 量 流 之 和 等 于 入 射 波的 平 均 声 能 量 流 。 1 ww rt