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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合 （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由补集定义易得,故选B.【考点定位】补集的概念2、已知是第二象限角，（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为是第二象限角，故选A.【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】即，故选B.【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式6、函数（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由，故选A.【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化.7、已知数列满足则的前10项和等于（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，数列是以为公比的等比数列. ，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知且则的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】如图，,由椭圆定义得，在Rt中，由得，椭圆C的方程为，故选C.【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题中图象可知,，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由题意知，则.故选D【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥中，则与平面所成的角的正弦值等于（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如图，在正四棱锥中，连结AC、BD记交点为,连结,过C作CH于点H,BDAC，BD，BD平面 CH平面CHBD,CH平面CDH为CD与平面所成的角. =. 由等面积法得，CH=OC， ，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线与点，C的焦点，且斜率为的直线与C交于A,B两点，若，则(A) （B） （C） （D）【答案】D【解析】设直线AB方程为，代入得设，则，（*）即即由（*）及得，故选D【考点定位】直线与抛物线相交问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设是以2为周期的函数，且当时，则= .【答案】【解析】是以2为周期的函数，且时，则【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有种可能的结果；第二步，二等奖有种可能的结果；第三步，三等奖有种可能的结果,故共有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若满足约束条件则的最小值为 .【答案】0【解析】，表示直线在轴上的截距，截距越小，就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，【考点定位】线性规划求最值16、已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .【答案】16【解析】如图，设MN为公共弦，长度为R,E为MN的中点，连结OE,则OEMN,KEMN.OEK为圆O与圆K所在平面的二面角.OEK=60.又OMN为正三角形.OE=.OK=且OKEK R=2.【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）等差数列中，（I）求的通项公式；（II）设【解析】()设等差数列的公差为，则因为，所以解得，所以的通项公式为.（）所以【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18（本小题满分12分）设ABC的内角A,B,C的对边分别为，（）求（）若求【解析】()因为，所以由余弦定理得，因此B=120.（）由()知A+C=120，所以=故或，因此C=15或C=45.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19（本小题满分12分）如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.（I）证明：（II）求点 【解析】()证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.过P作PO平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD,因此（）解：取PD的中点F，连结OF,则OFPB，由()知，故OFCD.又,故POD为为等腰三角形，因此OFPD.又PDCD=D，所以OF平面PCD.因为AECD，CD平面PCD的，AE平面PCD,所以AEPCD.因此，O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而.所以A到平面PCD的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题20（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（I）求第局甲当裁判的概率；（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.【解析】()记表示事件“第2局结果为甲胜”， 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则,（）记表示事件“第1局结果为乙胜”表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”则，所以 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21（本小题满分12分）已知函数（I）求；（II）若【解析】()当时， .令，得.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（）由得. 当，时，所以在是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题22（本小题满分12分）已知双曲线离心率为直线（I）求；（II）证明：【解析】()由题设知，即，故.所以C的方程为.将代入上式，求得.由题设知，解得. 所以，（）由()知，,C的方程为由题意可设的方程为，代入并化简得，设，则，于是由得，即故解得从而由于故，因而，所以成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力第 10 页 共 10 页
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