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27.2 圆 的 对 称 性导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结学 练 优 九 年 级 数 学 下 （ HS） 教 学 课 件2.圆 的 对 称 性第 2课 时 垂 径 定 理 1.进 一 步 认 识 圆 ， 了 解 圆 的 对 称 性 .2.理 解 垂 直 于 弦 的 直 径 的 性 质 和 推 论 ， 并 能 应 用 它 解 决 一 些 简 单 的 计 算 、 证 明 和 作 图 问 题 .（ 重 点 ）3.灵 活 运 用 垂 径 定 理 解 决 有 关 圆 的 问 题 .（ 难 点 ）学习目标 问 题 ： 你 知 道 赵 州 桥 吗 ? 它 的 主 桥 是 圆 弧 形 ,它 的 跨 度 (弧 所 对的 弦 的 长 )为 37m, 拱 高 (弧 的 中 点 到 弦 的 距 离 )为 7.23m， 你 能 求出 赵 州 桥 主 桥 拱 的 半 径 吗 ？导入新课问题引入 讲授新课垂径定理一做 一 做 ： 剪 一 个 圆 形 纸 片 ， 在 圆 形 纸 片 上 任 意 画 一 条 垂 直于 直 径 CD的 弦 AB,垂 足 为 P， 再 将 纸 片 沿 着 直 径 CD对 着 ，比 较 AP与 PB， AC与 CB， 你 能 发 现 什 么 结 论 ？ OA BDP互动探究 线 段 : AP=BP弧 : AC=BC, AD=BD 理 由 如 下 ：把 圆 沿 着 直 径 CD折 叠 时 ， CD两 侧 的 两个 半 圆 重 合 ， 点 A与 点 B重 合 ， AP与 BP重 合 ， AC和 BC,AD与 BD重 合 OA BDPC想 一 想 ： 能 不 能 用 所 学 过 的 知 识 证 明 你 的 结 论 ？ OA BDCP试一试已 知 ： 在 O中 ， CD是 直 径 ， AB是 弦 ， AB CD，垂 足 为 P.求 证 ： AP=BP， AC =BC, AD =BD.证 明 ： 连 接 OA、 OB、 CA、 CB， 则 OA=OB.即 AOB是 等 腰 三 角 形 . AB CD， AP=BP.又 CP=CP， Rt APC Rt BPC， AC=BC， AC =BC.（ 同 一 个 圆 中 ， 如 果 弦 相 等 ， 那 么 它 们 所 对 的 弧 相 等 ） AD =BD.由 此 易 得 u垂 径 定 理 OA BCDP垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ,并 且 平 分 这 条 弦 所 对的 两 条 弧 . CD是 直 径 ， CD AB， AP=BP, AC =BC, AD =BD.归纳总结u推 导 格 式 ： 下 列 图 形 是 否 具 备 垂 径 定 理 的 条 件 ？ 如 果 不 是 ， 请 说 明 为什 么 ？是 不 是 ， 因 为没 有 垂 直 是 不 是 ， 因 为 CD没 有 过 圆 心A BOCDE OA BC A BOE A BDCO E议一议 垂 径 定 理 的 几 个 基 本 图 形 ：A BOCDE A BOED A BO DC A BOC OA BDCP1.已 知 ： 在 O中 ， CD是 直 径 ， AB是 弦 （ 不 是 直径 ） ， 与 CD交 于 点 P， 且 P是 AB的 中 点 .求 证 ： AB CD， AC =BC, AD =BD.试一试证 明 ： 连 接 OA、 OB、 CA、 CB， 则 OA=OB.即 AOB是 等 腰 三 角 形 . P是 AB的 中 点 ， AB CD.即 AP=BP， CD是 直 径 ， CD AB， AC =BC, AD =BD.（ 垂 径 定 理 ） OA BDCP2.已 知 ： 在 O中 ， CD是 直 径 ， AB是 弦 ，求 证 ： CD垂 直 平 分 AB. AC =BC,证 明 ： 连 接 OA、 OB、 CA、 CB， 则 OA=OB.即 AOB是 等 腰 三 角 形 . AC =BC, AC=AB.（ 在 同 一 个 圆 中 ， 如 果 弧 相 等 ，那 么 它 们 所 对 的 弦 相 等 .） OC=OC， AOC BOC， AOC= BOC， 即 OC是 AOB的 角 平 分 线 . CD垂 直 平 分 AB. 思 考 ： “ 不 是 直 径 ” 这 个 条 件 能 去 掉 吗 ？ 如 果 不 能 ， 请 举出 反 例 . 平 分 弦 （ 不 是 直 径 ） 的 直 径 垂 直 于 这 条 弦 ,并 且 平分 这 条 弦 所 对 的 两 条 弧 ； 平 分 弧 的 直 径 垂 直 平 分 这条 弧 所 对 的 弦 .u垂 径 定 理 的 推 论 OA BCD特 别 说 明 ：圆 的 两 条 直 径 是 互 相 平 分 的 .归纳总结 例 1 如 图 ， OE AB于 E， 若 O的 半 径 为 10cm ,OE=6cm ,则 AB= cm . OA BE解 析 ： 连 接 OA， OE AB， AB=2AE=16cm .16一 垂径定理及其推论的计算二 2 2 2 210 6 8AE OA OE cm . 典例精析 例 2 如 图 ， O的 弦 AB 8cm ， 直 径 CE AB于 D， DC2cm ， 求 半 径 OC的 长 . OA BECD解 ： 连 接 OA， CE AB于 D， 1 1 8 4(cm )2 2AD AB 设 OC=xcm ， 则 OD=x-2,根 据 勾 股定 理 ， 得解 得 x=5，即 半 径 OC的 长 为 5cm .x2=42+(x-2)2， 你 能 利 用 垂 径 定 理 解 决 求 赵 州 桥 主 桥 拱 半 径 的 问 题 吗 ?试一试 A BOCD解 ： 如 图 ， 用 AB表 示 主 桥 拱 ，设 AB所 在 圆 的 圆 心 为 O， 半 径为 R.经 过 圆 心 O作 弦 AB的 垂 线 OC垂足 为 D， 与 弧 AB交 于 点 C， 则 D是 AB的 中 点 ， C是 弧 AB的 中 点 ，CD就 是 拱 高 . AB=37m ， CD=7.23m . AD= AB=18.5m ， OD=OC-CD=R-7.23. 解 得 R 27.3（ m ） .即 主 桥 拱 半 径 约 为 27.3m .R2=18.52+(R-7.23)2 2 2 2OA AD OD 如 图 a、 b,一 弓 形 弦 长 为 cm， 弓 形 所 在 的 圆 的 半 径为 7cm， 则 弓 形 的 高 为 _ . 64 C DC BOA DOA B图 a 图 b2cm或 12cm 练一练 在 圆 中 有 关 弦 长 a,半 径 r, 弦 心 距 d（ 圆 心到 弦 的 距 离 ） ， 弓 形 高 h的 计 算 题 时 ， 常 常通 过 连 半 径 或 作 弦 心 距 构 造 直 角 三 角 形 ，利 用 垂 径 定 理 和 勾 股 定 理 求 解 .方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦 a， 弦 心 距 d， 弓 形 高 h， 半 径 r之 间 有 以 下 关 系 ：弓形中重要数量关系 A BC DOhr d2a 22 2 2ar d d+h=r OA BC 1.已 知 O中 ， 弦 AB=8cm ， 圆 心 到 AB的 距 离 为 3cm ， 则此 圆 的 半 径 为 .5cm2. O的 直 径 AB=20cm , BAC=30 则 弦 AC= . 10 3 cm3.（ 分 类 讨 论 题 ） 已 知 O的 半 径 为 10cm ， 弦 MN EF,且MN=12cm ,EF=16cm ,则 弦 MN和 EF之 间 的 距 离 为 .14cm 或 2cm当堂练习 4.如 图 ， 一 条 公 路 的 转 弯 处 是 一 段 圆 弧 (即 图 中 弧 CD,点 O是 弧 CD的 圆 心 ),其 中 CD=600m ,E为 弧 CD上 的 一 点 ,且OE CD， 垂 足 为 F,EF=90m .求 这 段 弯 路 的 半 径 .解 :连 接 OC. OC DEF ,CDOE 1 1 600 300(m ).2 2CF CD 2 2 2,OC CF OF 22 2300 90 .R R 设 这 段 弯 路 的 半 径 为 Rm ,则 OF=(R-90)m .根 据 勾 股 定 理 ， 得解 得 R=545. 这 段 弯 路 的 半 径 约 为 545m . 拓 展 提 升 ：如 图 ， O的 直 径 为 10， 弦 AB=8,P为 AB上 的 一 个 动 点 ，那 么 OP长 的 取 值 范 围 .3cm OP5cm BA OP 垂 径 定 理 内 容推 论辅 助 线 一 条 直 线 满 足 : 过 圆 心 ; 垂 直 于 弦 ; 平分 弦 （ 不 是 直 径 ） ; 平 分 弦 所 对 的 优弧 ; 平 分 弦 所 对 的 劣 弧 .满 足 其 中 两 个 条 件就 可 以 推 出 其 它 三 个 结 论 （ “ 知 二 推 三 ” ）垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ,并 且 平 分 这 条 弦 所 对 的 两 条 弧 .两 条 辅 助 线 ：连 半 径 ， 作 弦 心 距构 造 Rt 利 用 勾 股 定理 计 算 或 建 立 方 程 .基 本 图 形 及变 式 图 形课堂小结 见 学 练 优 本 课 时 练 习课堂作业
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