高考数学专题闯关教学点直线平面之间的位置关系共张

点、直线、平面之间的位置关系 主干知识整合 1 直线与平面的平行问题 直线与平面平行的判定方法 (1)判定定理：不在平面内的一条直线和平面内 的一条直线平行 ， 那么这条直线与这个平面平 行 (2)转化为面面平行再推证线面平行 (3)一直线在两平行平面外，且与其中一平面平 行，则这一直线与另一平面也平行 2 平面与平面的平行问题 (1)在面面平行的判定定理中 “ 两条相交直线 ” 中的 “ 相交 ” 两个字不能忽略 ， 否则结论不一 定成立 (2)若由两个平面平行来推证两直线平行时，则 这两直线必须是第三个平面与这两个平面的交 线 (3)分别在两个平行平面内的两条直线 ， 它们可 能平行 ， 也可能异面 (4)a、 b为两异面直线 ， a， b， 且 a ， b ， 则 . (5)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面 平行 3 直线与平面的垂直问题 ( 1 ) 在判定定理中，易忽视两直线为 “ 相交直线 ” ( 2 ) 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直； 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 ( 3 ) a b b a . 4 平面与平面的垂直问题 (1)判定的关键是结合图形利用条件在一平面内 找一条线是另一平面的垂线 ， 由此可知 ， 凡是 包含此线的面都与另一面垂直 (2)空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直、 平面与平面垂直三者之间可以互相转化，其转 化关系为： (3)利用面面垂直的性质定理添加面的垂线时 ， 一定要注意是在某一平面内作交线的垂线 此 线即为另一面的垂线 ， 否则结论不一定成立 (4)几个易混淆的结论： 垂直于同一个平面的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交； 垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或 异面 高考热点讲练 线线、线面的位置关系 例 1 三棱柱 ABCA1B1C1中 ， 侧棱与底面垂直 ， ABC 90 ， AB BC BB1 2， M， N分 别是 AB， A1C的中点 求证： (1)MN 平面 BCC1B1； (2)MN 平面 A1B1C. 【 证明 】 (1)连接 BC1， AC1， M， N是 AB， A1C的中点 ， MN BC1. 又 MN平面 BCC1B1， MN 平面 BCC1B1. (2) 三棱柱 ABCA1B1C1中 ， 侧棱与底面垂直 ， 四边形 BCC1B1是正方形 BC1 B1C， MN B1C. 连接 A1M， CM， AMA1 AMC， A1M CM. 又 N为 A1C的中点 ， MN A1C. B1C与 A1C相交于点 C， MN 平面 A1B1C. 【 归纳拓展 】 线面平行、线面垂直的证明是 立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练 运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包 括思路分析、方法确认，书写表达规范新课 标考试说明对立体几何的要求有所降低，这只 是在知识应用方面有所降低，但是表达规范性 上提出了更高的要求，一定要推理充分，论证 有力，思路清晰，逻辑严密 变式训练 1 如图，梯形 ABCD 和正 P A B 所在 平面互相垂直，其中 AB DC ， AD CD 1 2 AB ， 且 O 为 AB 中点求证： ( 1 ) BC 平面 P OD ； ( 2 ) AC PD . 证明： ( 1 ) 因为 O 为 AB 的中点， 所以 BO 1 2 AB ， 又 AB CD ， CD 1 2 AB ， 所以有 CD BO ， CD BO ， 所以四边形 ODC B 为平行四边形，所以 BC OD ， 又 DO 平面 P OD ， BC 平面 P OD ， 所以 BC 平面 P OD . (2)连接 OC. 因为 CD BO AO， CD AO， 所以四边形 ADCO为平行四边形 ， 又 AD CD， 所以 ADCO为菱形 ， 所以 AC DO， 因为 PAB为正三角形 ， O为 AB的中点 ， 所以 PO AB， 又因为平面 ABCD 平面 PAB， 平面 ABCD 平面 PAB AB， 所以 PO 平面 ABCD， 而 AC平面 ABCD， 所以 PO AC， 又 PO DO O， 所以 AC 平面 POD. 又 PD平面 POD，所以 AC PD. 如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F分别是 AP， AD的中点求证： (1)直线 EF 平面 PCD； (2)平面 BEF 平面 PAD. 面与面的位置关系 例 2 【 证明 】 (1)如图，在 PAD中，因为 E， F分 别为 AP， AD的中点，所以 EF PD.又因为 EF 平面 PCD， PD平面 PCD， 所以直线 EF 平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB AD， BAD 60 ，所 以 ABD为正三角形 因为 F是 AD的中点，所以 BF AD. 因为平面 PAD 平面 ABCD， BF平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD AD，所以 BF 平面 PAD. 又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF 平面 PAD. 【 归纳拓展 】 (1)要证两平面平行，常根据： “ 如果一个平面内有两相交直线分别和另一平 面平行，那么这两个平面平行 ” 或 “ 一个平面 内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平 行，那么这两个平面平行 ” ，还可以利用线面 垂直的性质，即 “ 垂直于同一条直线的两个平 面平行 ” (2)要证明两平面垂直，常根据 “ 如果一个平面 经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ” 从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂 直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解 题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂 直的转化途径进行 变式训练 2 在如图所示的几何体中 ， 四边形 ABCD是正方形 ， MA 平面 ABCD， PD MA， E、 G、 F分别为 MB、 PB、 PC的中点 ， 且 AD PD 2MA.求证： (1)平面 EFG 平面 PMA； (2)平面 EFG 平面 PDC. 证明： (1) E、 G、 F分别为 MB、 PB、 PC的中 点 ， EG PM， GF BC. 又 四边形 ABCD是正方形 ， BC AD， GF AD. EG、 GF在平面 PMA外 ， PM、 AD在平面 PMA内 ， EG 平面 PMA， GF 平面 PMA. 又 EG、 GF都在平面 EFG内 ， 且相交 ， 平面 EFG 平面 PMA. (2)由已知 MA 平面 ABCD， PD MA， PD 平面 ABCD. 又 BC平面 ABCD. PD BC. 四边形 ABCD为正方形 ， BC DC. 又 PD DC D， BC 平面 PDC. 在 PBC中 ， G、 F分别为 PB、 PC的中点 ， GF BC， GF 平面 PDC. 又 GF平面 EFG， 平面 EFG 平面 PDC. 平面图形的折叠问题 例 3 如图，在 A BC 中， B 2 ， AB BC 2 ， P 为 AB 边上一动点， PD BC 交 AC 于点 D ，现 将 P D A 沿 PD 翻折至 PD A ，使平面 P D A 平面 P BC D . ( 1) 当棱锥 A P BC D 的体积最大时， 求 PA 的 长； ( 2) 若点 P 为 AB 的中点， E 为 A C 的中点，求 证： A B DE . 【解】 ( 1 ) 令 PA x (0 x 2) ，则 A P PD x ， BP 2 x . 因为 A P PD ，且平面 A PD 平面 P B C D ， 故 A P 平面 P B C D . 所以 V A P B C D 1 3 Sh 1 6 (2 x ) ( 2 x ) x 1 6 (4 x x 3 ) 令 f ( x ) 1 6 (4 x x 3 ) ， 由 f ( x ) 1 6 (4 3 x 2 ) 0 ，得 x 2 3 3 ( 负值舍去 ) 当 x 0 ， 2 3 3 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递增； 当 x 2 3 3 ， 2 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递减 所以当 x 2 3 3 时， f ( x ) 取得最大值 故当 V A P B C D 最大时， PA 2 3 3 . ( 2 ) 证明： 设 F 为 A B 的中点，如图所示，连接 PF ， FE ， 则有 EF 綊 1 2 BC ， PD 綊 1 2 BC . 所以 EF 綊 PD . 所以四边形 E F P D 为平行四边形 所以 DE PF . 又 A P PB ，所以 PF A B ， 故 DE A B . 【 归纳拓展 】 (1)解决与翻折有关的几何问题 的关键是搞清翻折前后哪些量改变 、 哪些量不 变 ， 抓住翻折前后不变的量 ， 充分利用原平面 图形的信息是解决问题的突破口 (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到 三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉 的几何体中去解决 变式训练 3 如图 ， 已知四边形 ABCD是直角梯 形 ， ABC 90 ， AD BC， AD 2AB 2BC.沿 AC将 ABC折起 ， 使点 B到点 P的位置 ， 且平面 PAC 平面 ACD. (1)证明： PC CD； (2)在 PA上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PCD？ 若存在，请指出点 E的位置，并给出证明；若不存 在，请说明理由 解： (1)证明：在直角梯形 ABCD中 ， 易知 AC CD， 平面 PAC 平面 ACD， 交线为 AC， CD 平面 PAC， 又 PC平面 PAC， PC CD. (2)存在 ， 当点 E为 PA的中点时 ， BE 平面 PCD. 证明如下： 取 PA的中点为 E， AD的中点为 F， 连接 BE， BF， EF. 不妨设 AD 2， BC 1， BC FD， 又 BC FD， 不妨设四边形 BCDF是平行四边形 ， BF CD， BF平面 PCD， BF 平面 PCD. E， F分别是 PA， AD的中点 ， EF PD. EF平面 PCD， EF 平面 PCD. EF BF F， 平面 BEF 平面 PCD， BE平面 BEF， BE 平面 PCD. 考题解答技法 例 ( 本题满分 12 分 ) 如图，四棱锥 P A B C D 中， PA 底面 A B C D ， AB AD ，点 E 在线段 AD 上， 且 CE AB . ( 1) 求证： CE 平面 P A D ； ( 2) 若 PA AB 1 ， AD 3 ， CD 2 ， C D A 45 ，求四棱锥 P A B C D 的体积 【 解 】 (1)证明：因为 PA 平面 ABCD， CE 平面 ABCD， 所以 PA CE.2分 因为 AB AD， CE AB， 所以 CE AD.3分 又 PA AD A， 所以 CE 平面 PAD.4分 (2)由 (1)可知 CE AD. 在 Rt ECD中 ， DE CDcos 45 1， CE CDsin 45 1.6分 又因为 AB CE 1 ， AB CE ， 所以四边形 ABCE 为矩形 .8 分 所以 S 四边形 ABCD S 矩形 ABCE S ECD AB AE 1 2 CE DE 1 2 1 2 1 1 5 2 . 1 0 分 又 PA 平面 ABCD ， PA 1 ， 所以 V 四棱锥 P ABCD 1 3 S 四边形 ABCD PA 1 3 5 2 1 5 6 . 1 2 分 【 得分技巧 】 (1)证明 CE PA， CE AD； (2)正确计算底面 ABCD的面积是最重要的得分 点 【 失分溯源 】 (1)解答本题第 (1)问，不说明 CE平面 ABCD，直接说明 PA CE，或不写出 PA AD A直接下结论，这是做这一类题常犯 的错误，步骤不完整 (2)解答第 (2)问不能充分 利用 Rt CDE求 DE， CE的长