计算方法第1章(绪论).ppt

1 计算方法 华中科技大学 CAD中心 2 教材 计算方法 张诚坚，何南忠。高等教育出版社 计算方法简明教程 王能超 高等教育出版社 徐长发 实用计算方法 华中科技大学出版社。 任选 Matlab使用手册一本 时间 : 32学时 =20学时 +12学时上机 考核 : 课堂与作业 (20%) + 上机 (10%)+考试 (70%) 联系方式 ： 13871458387 罗年猛 上机 : 请学习委员联系机房 3 第一章 绪 论 1 引 言 2 误差的种类及其来源 3 绝对误差和相对误差 4 有效数字及其与误差的 关系 4 1 引 言 计算方法也称数值分析。数值分析是研究各种数 学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算机求 出数学问题得到数值解的全过程，称为 数值计算 。 使用计算机解决科学计算问题时大致经历如下几 个过程： 5 随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国 防尖端技术，例如机电产品设计、工程项目设计、气 象预报、武器研制、火箭发射等 ，都有大量复杂的数 值计算问题急待解决。 实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 上机计算 结果可视化 6 用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中 的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为 数 学问题 ，即建立起能描述并等价代替该实际问题 的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代 数方程 等等，然后选择合适的计算方法，编 制出计算机程序，最后上机调试并进行计算，以 得到所欲求解的结果。 7 数值计算方法 ， 将要求解的数学模型简化成一系 列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的 数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。 这里所说的 “ 算法 ” ，不仅仅是数学公式，而是指由 基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案 和步骤。 8 选择适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。 例如，计算 n次多项式： 0111)( axaxaxaxP nnnn 2 )1()1(21 nnnn 若直接计算 ，再逐项 相加，共需做 )10( nixa ii ， 9 n=10时需做 55次乘法和 10次加法。若用秦九韶 (Horner)算 法，将多项式 P(x)改成 aaa aaa xx xxxxP nnn 012 21 ) )()( 来计算时 ,只要做 n次 乘法 和 n次加法即可。 10 算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度 和效率，由于数值计算的近似性和误差的 传播、积累，直接影响到计算结果的精度 ，甚至关系到计算的成败。不合适的算法 会导致计算误差达到不能容许的地步，而 使计算最终失败，这就是算法的 数值稳定 性问题 。 11 数值计算过程中会出现各种误差，往往是 无法避免的，例如近似值带来的误差，模 型误差、观测误差、截断误差和舍入误差 等，应该设法尽量降低其数值，尤其要控 制住经多次运算后误差的积累，以确保计 算结果的精度。 12 12 12 3x 27099 1 )12( 1 27099 )12( 6 6 x x x x 可用四种算式算出： 计算实例 13 如果分别用近似值 和 按上列四种算法计算，其结果如下 表 1-1 所示。 4.1572 4166.112172 14 1 2 3 4 序 号 算 式 计 算 结 果 5/72 12/172 表 1-1 1 005233.0125 6 0 0 5 0 7 6.01 9 71 1 6 6 6 6 7.061 005046.0237812 005020.02912 6 005233.0125 6 15 由 表 1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结 果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之 毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计 算结果的精确度影响很大。 因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差 的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律， 误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性 概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个 错误的结果。 16 2 误差的种类及其来源 数值计算中，误差主要有如下几种： 2.1 模型误差 在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象 抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响 ，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实 际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它 与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称 为“模型误差”。 17 2.2 观测误差 在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过 人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精 度 的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差， 这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。 2.3 截断误差 在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数 求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能 完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系 列有限 的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行 “ 截断 ” ，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。 18 这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例 如，函数 sinx 和 ln (1+x)可分别展开为如下的无穷幂级数： !7!5!3s i n 753 xxx xx (2.1) )11( 432 )1l n ( 432 x xx xxx (2.2) 19 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。 这就是由于截断了无穷级数自第四项起。 !5!3s i n 53 xx xx (2.4) (2.3) 若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取 32)1l n ( 32 xx xx 20 的后段的产生的截断误差。 （ 2.3)和 (2.4)的截断误差 是很容易估算的，因为幂级数 (2.1)和 (2.2) 都是交错 级数，当 x1时的各项的绝对值又都是递减的，因 此，这时它们的截断误差 可分别估计为： xR4 !7)( 7 4 xR x 4 44 xR x 和 21 2.4 舍入误差 在数值计算过程中， 由于受计算机机器字长的限制，它所能表 示的数据只能是有限位数，这时就需把数据舍入成一定位数的 近似的有理数来代替。 如 1 6 6 6 6 6.0 6 1 !3 1 4 1 4 2 1 3 5 6.12 1 4 1 5 9 2 6 5.3 由此引起的误差称为 “舍入误差” 。 22 数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析 的就是截断误差 和舍入误差了。在计算机上经过千 百次运算后所积累起来的总误差不容忽视，有时可能 会大得惊人，甚至到达“淹没”所欲求解的真值的地 步，而使计算结果失去根本的意义。 因此，在讨论 算法时，有必要对其截断误差的估算和舍入误差的 控制作适当的分析。 23 3 绝对误差和相对误差 3.1 绝对误差和绝对误差限 定义 设某一个准确值（称为真值）为 ，其近似 值为 ，则 与 的差 x *x xxx )( * x*x 称为近似值 的“ 绝对误差 ”，简称 “误 差 ” 。 x 0)( x (3.1) 24 由于真值往往是未知或无法知道的，因此， 的准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计此 绝对误差的上限，也即可以求出一个正值 ，使 )(x *)( xxx (3.2) 此 称为近似值 的 “ 绝对误差限 ” ，简称 “ 误差限”， 或称 “精度” 。有时也用 *x *xx (3.3) 来表示 （ 3.2） 式。 这时等式右端的两个数值 和 代表了 所在范围的上、下限。 越小， *x *x x 25 表示该近似值 的精度越高。 例如 ， 用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度 。 读数方 法如下： 如长度 接近于毫米刻度 ， 就读出该刻度数 作为长 度 的近似值 。 显然 ， 这个近似值的绝对误差限就是半个毫 米 ， 则有 *x )(21)( * 毫米 lll l l 5.05 1 3 l l l* l* 如果读出的长度是 513 毫米，则有 26 这样，虽仍不知准确长度 是多少，但由 （ 3.3） 式可 得到不等式 512.5l513.5 (毫米 ) 这说明 必在 512.5,513.5毫米区间内。 27 3.2 相对误差和相对误差限 用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。 例如测量 10米的长度时产生 1厘米的误差与测量 1米 的长度时产生 1厘米的误差是大有区别的。虽然两 者的绝对误差相同，都是 1厘米，但是由于所测量 的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确 得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要 看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大 小，这就需要引进相对误差的概念。 定义绝对误差与真值之比，即 x xx x xx r *)( )( (3.4) 28 称为近似值 的“ 相对误差 ”。 在上例中 ， 前一种测量的误差为 ， 而后一种 测量的相对误差则为 ， 是前一种的十倍 。 由 （ 3.4） 可见 ， 相对误差可以从绝对误差求出 。 反之 ， 绝对误差也可由相对误差求出 ， 其相互关系 式为： )()( xxx r 10001 1001 *x (3.5) 相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似 值运算结果的误差时，它 比绝对误差更能反映出误 差的特性 。因此在误差分析中，相对误差比绝对误差 更为重要。 29 相对误差也无法准确求出。因为 （ 3.4） 中的 和 均无法准确求得。也和绝对误差一样，可以 估计它的大小范围，即可以找到一个正数 ，使 （ 3.6） )( x r x x 称为近似值 的“ 相对误差限 ”。 相对误差是个无名数，它没有量纲。例如，称 100 千克重的东西若有 1千克重的误差和量 100米长 的东西有 1米长的误差，这两种测量的相对误差都 是 1/100。与此相反，由于绝对误差是名词，有量纲 ，上例中两种测量的绝对误差 1千克和 1米的量纲不 同，两者就无法进行比较。 *x 30 在实际计算中，由于真值 总是无法知道的，因此 往往取 * * )()( x xx r x (3.7) 作为相对误差的另一定义。 下面比较 与 之间的相差究竟有多 大： )(* xr )(xr )( 2 * * 1 ) * 11 )()()( x xx xx xxx rr 31 一般地， 很小，不会超过 0.5。这样 不 大于 2，因此，上式右端是一高阶小量，可以忽略 )( 2 2 2 )(1 1 )( * )( * 1 x r x x x x xx xx r r r )(xr )(1 1 xr 32 )(* xr )(xr %100)()( * x xxr )(2)()( )( 2* xxx rrr xr 上式右端是一高阶小量，可以忽略，故用 来代 替 。 相对误差也可用百分数来表示： 这时称它为 百分误差 。 33 4 有效数字及其误差的关系 4.1 有效数字 在表示一个近似值的准确程度时，常用到“ 有 效数字 ”的概念。例如， ，若按 四舍五入取四位小数，则得 的近似值为 3.1416 ； 若取五位小数则得其近似值为 3.14159 。这种近似值 取法的特点是误差限为其末位的半个单位，即 1 4 1 5 9 2 6 5.3 410 2 11 4 1 6.3 34 510 2 11 4 1 5 9.3 定义 当近似值 的误差限是其某一位上的半 个单位时，称其“准确”到这一位，且从该 位起直到前面 第一位非零数字为此的所有 数字都称为 有效数字 。 一般说，设有一个数 ，其近似值 的规格化形式： *x x *x mnx 10.0 21* (4.1) 35 式中： 都是 中的一个数字 ， n是正整数， m是整数。 若 的误差限为： n 21 , ;01 9,2,1,0 nmxxx 10 2 1)( * *x (4.2) 则称 为具有 n位有效数字的有效数，或称它精确 到 。其中每一位数字 都是 的有效数字。若 （ 4.1） 中的 是经四舍五入得到 的近似数，则 具有 n 位有效数字。例如， 3.1416 是 的具有五位有效数字的近似值，精确到 0.0001. *x nm10 n , 21 *x *x *x 36 如， 203 和 0.0203 都是具有三位有效数字的有效数。但 要注意， 0.0203 和 0.020300 就不同了，前者仅具有三 位有效数字，即仅精确到 0.0001 ；而后者则具有五位 有效数字，即精确到 0.000001。可见，两者的精确程度 大不相同，后者远较前者精确（差 100倍）。因此，有 另一种情况，例如 x = 0.1524， x* = 0.154 ，这时 x* 的 误差为 - 0.0016，其绝对值超过 0.0005（第三位小数的 半个单位），但却没有超过 0.005（第二位小数的半个 单位），即 005.00005.0 * xx 显然， 虽然有三位小数但却只精确到第二位小数，因 此，它只具有二位有效数字。其中 1和 5都是准确数字， *x 37 而第三位数字 4 就不再是准确数字了，我们就称它 为 存疑数字 。 注 ： 用计算机进行的数值计算，由于受到计算机字 长的限制，要求输入的数有一定的位数，计算的结 果也只保留一定的位数，且所保留下来的不一定都 是有效数字，同时也不是所有的有效数字都可保留 下来。 4.2 有效数字与误差的关系 由 (4.2) 可知 ,从有效数字可以算出近似数的绝 对误差限 ;有效数字的位数越多 ,其绝对误差限也就 越小。且还可以从有效数字求出其相对误差限。 38 1 1 * 10 mx 1 1 1 1 * 10 2 1 10 10 2 1 * )( )( n m nm r x x x 当用 (4.1)表示的近似值 x*，具有 n位有效数字时， 显然有 (4.3) 故由 (4.2)可知，其相对误差 39 1 1 10 2 1 n 故相对误差限为 (4.4) 由 (4.4)可见 ,有效数字的位数反映了近似值的相对精 确度。 上述关系的逆也是成立的，即当用 (4.1) 表示的 近似值 x*，如果其相对误差 能满足 )(* x r 1 1 * 10 )1(2 1)( nr x (4.5) 40 即 x* 至少具有 n位有效数字 。 11* 101 mx nm nm r xxx 10 2 1 10 )1(2 1 10)1( )()( 1 1 1 1 * 则 x*至少具有 n位有效数字。这是因为 : 由 (4.5)及 有 41 例 1 当用 3.1416来表示 的近似值时 ,它的相对误差 是多少 ? 解 3.1416具有五位有效数字 , ，由 (4.3)有 31 415* 10 6 110 32 1)( xr 例 2 为了使积分 的近似值 I*的相对误差 不超过 0.1%，问至少要取几位有效数字 ? 解 可以知道 I=0.7476 ，这样， ，由 (4.3)有 dxe x 10 2 71 %1.01072 1)( 1* nr I 42 可解出 n=3，即 I*只要取三位有效数字 I* =0.747 就能保证 I*的相对误差不大于 0.1%。