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1 2m ， ( s in s in )a m sin sinma 亮条纹满足但条件是： 则 例题 3-1 如图所示，设有一波长为 的单色平面波沿着 与缝平面的法线成 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。写出各级亮条纹对应的衍射角 所满足的条件。 解：在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为 ( s in s in )a A B asin asin 例题 3-2 在单缝衍射实验中，透镜焦距 f =0.5m，入 射光波 长为 500nm，缝宽 a =0.1mm 。求：中央明 纹的宽度和第一级明纹的宽度。 ks i na 解：中央明纹的宽度 l0等于两个第一级暗条纹之间 的距离，暗条纹方程： a fks i nftgfx 9 3 0 1 1 3 0 . 5 5 0 0 1 02 2 5 1 0 ( m ) 0 . 1 1 0 fl x x a 第一级明纹的宽度 l1等于第一级暗条纹与第二级暗 条纹之间的距离 9 3 1 2 1 3 0 . 5 5 0 0 1 0 2 . 5 1 0 ( m ) 0 . 1 1 0 fl x x a s inam sin tg xf 例题 3-3 若有一波长为 =600nm的单色平行光，垂直 入射到缝宽 a=0.6mm的单缝上 ， 缝后有一焦距 f = 80 cm 透镜。 (1)求第三级暗纹位置 ;（ 2）对该点而言狭缝处 波面可分成几个半波带？ 解： 93 = / 3 6 0 0 1 0 0 . 8 0 / 0 . 6 1 0 2 . 4 m m x f tg m f a 在衍射角 较小的条件下 ,有 当 m=3时 ,可分成 2m=6个半波带。 例题 3-4 在单缝衍射实验中，透镜焦距 f =1.0m，入 射光波 长为 1 428.6nm和 2 600nm，观察到 1的某 m级明纹与 2的 （ m 1） 级明纹重叠于 x=3mm处。求 缝宽 a。 1 1 2 2 2 1 21 si n ( 2 1 ) 2 si n ( 2 1 ) 2 ; 3 2 1 am a m m m mm 解： 11( 2 1 ) 0.5m m 2 mfa x t g s i n s i n /x f f x f 例题 3-5 宽度为 a 的一条狭缝被白光照射，如果波长 为 650nm的 红光的第一级极小落在 30度的位置上，问 缝宽有多大？若波长为 的光的第一级极大也落在 30 度的位置上，该光的波长有多大？ 解： sinam m=1时 0 2 2 650 130 0( nm )s i n 30a 当波长为 的光的第一级极大也落在 30度的位置上时 s i n ( 2 1 ) 2am m=1时 02 s i n 3 0 1 3 0 0 4 3 0 ( n m )33a 例 3-6 单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两 种波中波长 1=400nm ， 2 =760nm。已知单缝宽度 a=1.0 10-2cm透镜焦距 f =50cm，求两种光第一级衍 射明纹中心之间的距离。 11 1 22 2 3 si n ( 2 1 ) 22 3 si n ( 2 1 ) 22 am am 1 1 2 2 x tg f x tg f a fx 2 3 2 2 22 3 0.27 ( c m ) 2 fx x x a 解 （ 1） 由单缝衍射明纹公式可知 , sin 1 1 tg 由于 , 2 3 1 1 a f x 所以 两第一级明纹之间的距 离为 例题 3-7 已知：一雷达位于路边 d =15m处 ， 射束与公 路成 15 角 ， 天线宽度 a = 0.20m， 射束波长 =30mm。 求：该雷达监视范围内公路长 L =? d a L 1 150 解：将雷达波束看成是单缝衍射的 0级明纹 由 1sin a 有 -31 3 0 1 0sin 0 .1 50 .2 0a 1 8.6 3 如图： 00115 23. 63 00115 6. 37 ( c t g c t g ) 1 5 ( c t g 6 . 3 7 c t g 2 3 . 6 3 1 0 0 ( m )Ld ) d a L 1 150 例 3-8 若有一波长为 =600nm 的单色平行光，垂直入 射到缝宽 a =0.6mm的单缝上，缝后有一焦距 f = 40cm 透镜。试求： （ 1） 屏上中央明纹的宽度 ;（ 2） 若在屏 上 P点观察到一明纹， OP=1.4mm。 问 P点处是第几级明 纹，对 P点而言狭缝处波面可分成几个半波带？ 解： (1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹 的宽度 7 3 3 6 1 02 2 0 . 4 0 . 8 1 0 ( m ) = 0 . 8 ( m m ) 0 . 6 1 0 xf a si n 2 1 ) 2am （ （ 2） 根据单缝衍射的明纹公式： 3 3 70 . 6 1 0 1 . 4 1 0 / 0 . 4 6 1 0 1 / 2 3m s i n xtg f 在衍射角 较小的条件下 : 因此，可得 sin 2 1 ) 12 2 sin am ax m x f tg f （ 所以 P点所在的位置为第三级明纹。 s in 2 1 ) / 2am（由 可知： 当 m 3时，可分成 2m+1 7个半波带。 m in 0 1 d L 解：当两黄线恰可分辨时，两爱里斑中心到人眼张角 为最小分辨角 例题 3-9 人眼的最小分辨角约为 1， 教室中最后一排 (距黑板 15m)的学生对黑板上的两条黄线 (5893)的最 小分辨距离为多少？并估计瞳孔直径大小 。 dmin I * * S1 S2 L m in 0 1 1 60 1 5 0 . 0 0 4 3 6 ( m ) 180 dL 由于 0 1.22 D 因此 - 1 0 -4 0 5 8 9 3 1 01 . 2 2 1 . 2 2 2 . 4 7 ( m m ) 2 . 9 1 0 D 例 3-10 在正常照度下 ,人眼瞳孔的直径为 3mm，人眼 对绿光最敏感 ,其波长为 550nm,人眼中玻璃液的折射 率为 n=1.336。 求 :(1) 人眼的最小分辨角？ (2) 在教室的黑板上画两条 平行线相距为 2mm,坐在教室距黑板多远处的同学能 看清它？ 则 解：已知 D 3mm， 550nm， d0 2mm。 在玻璃液中 / n 65 5 0 1 0 / 1 . 3 3 6 1 . 2 2 1 . 2 2 0 . 0 0 0 1 6 7( r a d )3D 设学生离黑板的距离为 l ： 0 /dl 0 / 2 / 0 . 0 0 0 1 6 7 1 1 9 7 6 ( m m ) 1 2 ( m )ld 例题 3-11 汽车二前灯相距 1.2m， 设 =600nm人眼瞳 孔直径为 5mm。 问：对迎面而来的汽车，离多远能分 辨出两盏亮灯？ 解：人眼的最小可分辨角 -6 -4 0 6 0 0 1 01 . 2 2 = 1 . 2 2 = 1 . 4 6 4 1 0 ( r a d ) 5D 1.2m 0 ?L 00Ld 0 -4 0 1 . 2 = = 8 2 0 0 ( m ) 1 . 4 6 4 1 0 dL 例题 3-12 人眼直径约为 3mm，问人眼最小分辩角为 多少？远处两细丝相距 2mm，问离开多远时恰能分辩？ （视觉最敏感波长 550nm） 解： 00 / 8 .9 ( m ) y Ly L 0 y n=1 n=1.336 L 1 2 1 2 -6 -4 0 550 101.22 = 1.22 =2.24 10 1 3D 例题 3 13 一束单色平面光波，其波长为 500nm，强度 为 I0。 正入射到如图所示的衍射屏上（由半径为 1的 1 2的圆孔和半径为 2的 1 2圆孔组成）， 1 1mm， 2 1.414 mm，轴上观察点离衍射屏 2m，求观察点处的 光强度？ 1 2 解：透光屏分为两部分，半径为 1=1mm的圆孔和 半径 为 2=1.414mm 的二分之一圆孔。 已知 510-4mm， r0 2103mm。先看半径为 1的二分之一圆孔包含的 “ 半波带数 ” 2 1 1 43 0 1 1 5 10 2 10N r 2 0 (1 + )N RN Rr 即恰为一个 “ 半波带 ” ，令一个 “ 半波带 ” 在观察点的 振幅为 a1，则 。 11 2aA ； 再看半径为 2的二分之一圆孔包含的 “ 半波带数 ” 2 2 2 43 0 2 2 5 10 2 10N r 即恰为两个 “ 半波带 ” ，故 A2 0。所以 1 2 1 1 11 0 22A A A a a 总 无屏时时的振幅为 12aA 0 因此观察点处的光强度为 I0。 例题 3 14 一束单色平面光波，其波长为 500nm，强度 为 I0。 正入射到如图所示的 1 2环形衍射屏上，其内外 半径分别为 1 1mm， 2 1.414 mm，轴上观察点离衍 射屏 2m，求观察点处的光强度？ 解： 先看半径为 1的二分之一圆孔 包含的 “ 半波带数 ” 2 1 1 43 0 1 1 5 10 2 10N r 再看半径为 2的二分之一圆孔包含的 “ 半波带数 ” 2 2 2 43 0 2 2 5 10 2 10N r 因此只剩下第二波带的 1 2，因此振幅为 a2 2。 由于 1 0 12 2 aA II aa 0 例题 3-15 在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验装置 中， S 为单缝， L 为透镜， C 放在 L 的焦平面处的 屏幕。当把单缝 S 垂直于透镜光轴稍微向上平移时， 屏幕上的衍射图样。 C S CL (A)向上平移； (B) 向下平移； (C)不动； (D)条纹间距变大。 中央明纹在透镜主焦点上， 缝平移条纹不动，透镜平移 条纹平移。 思考 3-16 在单缝夫琅和费衍射的观测中： 1) 令 单缝在纸面内垂直透镜的光轴上 、 下移动 ， 屏上 的衍射图样是否改变； 2) 令光源垂直透镜的光轴 上 、 下移动时 ， 屏上的衍射图样是否改变 。 答：（ 1）不会改变，因为光线是平行于光轴垂直入 射到单缝上对透镜来说，平行于光轴的平行光都将 汇聚在它的主焦点上； （ 2）这时衍射图样将向下或 向上平移。 P P Q 当 P点移至无限远 等光程 Q 焦 点 焦 平 面 例 3 17 一波长为 6000埃的单色光垂直入射在光栅上 , 第二级明条纹出现在 sin2=0.2处 ,第四级缺级。 求： （ 1） 光栅上相邻两缝的间距 d ;（ 2） 光栅上狭缝 的宽度 a ;（ 3） 该光栅能呈现的全部级次。 解：已知 600nm， sin 2=0.2， m=4是缺级。 s in s inmd m d 6 2 2 2 6 0 0 0 6 1 0 ( m ) s in 0 . 2d （ 1） 由光栅方程可得 (3)由光栅方程可得 (2) 由于第四级是缺级，因此 64 1 . 5 1 0 ( m ) 4 dd a a s ins in dd m m 呈现的级次必须满足 : /2, 因此 6 10 6 1 0 10 6 0 0 0 1 0 dm 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9m 例题 3-18 用每厘米有 5000条的光栅 ,观察钠光谱线 = 5893 。 问： 1. 光线垂直入射时； 2. 光线以 30度角倾斜入射时 ，最多能看到几级条纹？ 解： 1.由光栅方程： sindm -4 - 5 - 5 s i n 1 / 5 0 0 0 2 . 0 1 0 = = = 3 . 3 9 5 . 8 9 3 1 0 5 . 8 9 3 1 0 ddm m a x 3m 最多能看到 3级条纹。 2. 倾斜入射 0=30 相邻狭缝的光线 在 进入光栅之前有一 附加光程差 A B B C s i n s i ndd 光栅方程： ( sin sin ) ( 1 sin ) = 5. 09ddm ( s i n s i n ) =dm 最多能看到 5级条纹。 x f 0 屏 A . B C . . 例题 3 19 一个平面光栅，当用光垂直照射时，能在 300 角的衍射方向上得到 600nm的第二级主极大，并能分辨 =0.05nm的两条光谱线，但不能得到 400nm的第三级主 极大。计算此光栅的透光部分的宽度 a 和不透光部分的宽 度 b以及总缝数。 解： ( 1 ) ( ) sin 30 2 60 0ab 600( 2) 2 0. 05N (3 ) 3abmm a缺 2400a b n m 6000N 3 2 4 0 0 800 2 1 6 0 0 a b a a n m b a n m 例 3 20 N 根天线沿一水平直线等距离排列组成天线列 阵，每根天线发射同一波长为 的球面波，从第 1根天 线到第 N 根天线，相位依次落后 /，相邻天线间的距 离 d=/2，如图所示，求：在什么方向 (即与天线列阵法 线的夹角 为多少 )上，天线列阵发射的电磁波最强。 解：将 N 根天线阵视为衍射光栅 要使发射的电磁波最强： 2 m 0 2 0 1 2 = 2 sin = 2 2 dm 4 1 4 1sin = 42 mm d 0 , 1, 2 ,m 1 N . . . . . ( ) s i n 3 1 0 0a b a b 9 51 0 0 6 0 0 1 0 2 1 0 ( m ) 3a 32ab baa 52 4 1 0 ( m )ba 解： 例题 3 21 垂直入射光栅的光波长 =600nm，在衍射 角 sin 0.03处应出现的第三级明纹正好缺级，求光 栅的透光缝和不透光缝的宽度。 由于第三级明纹正好缺级，因此 100 100 2 3 ab a ba 3 61 1 0 2 1 0 ( m ) 500d 最多接收到 7条谱线，但 d/a=2有缺级 2 1 , 2 ,dm m m ma m=2、 4的谱线消失。 因此屏上可接收到 5条谱线，分别为 m=0、 1、 3、 5。 解：由已知 例题 3 22 波长为 589.3nm的平行钠光以 30 照射 光 栅，已知光栅上每毫米有 500条刻痕，且透明和不透 明的宽度相等，问最多能观察到几条亮条纹？ 0( ) ( s i n s i n 3 0 )a b m m a x ( 1 0 . 5 ) 5 . 1dm m i n ( 1 0 . 5 ) 1 . 7dm 3s in s in 3 1 d d 由于 d 较大（ 104nm）， 1 和 3都很小，因此 33 11 s in s in tg tg m d fxxx 10.0 213 例题 3 23 波长为 500nm的单色平行光垂直地照射在 一 衍射光栅上，光栅常数为 2.0 10-3cm，光栅后面放一 焦距为 2.0m的透镜把衍射光会聚在接收屏上。求第一 谱线与第三谱线间的距离。 解：设第一、第三级谱线的衍射角分别为 1 和 3 ，第一、第三级谱线到中央亮条纹的距离分别为 x1和 x3 则 d 小不可用此近似 。 3 3 1 1 tg f x tg f x 例题 3 24 波长范围在 450 650nm 之间的复色平行 光 垂直照射在每厘米有 5000条刻线的光栅上，屏幕放 在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占 范围的宽度为 35.1cm。求透镜的焦距 f 。 解：光栅常数 m102)10(5m1 65 d 11 22 sin 2 sin 2 d d 设 1 2 450 nm 650 nm 01 1 02 2 2 a r c sin 26 74 2 a r c sin 40.5 4 . d d 则据光栅方程 ， 1和 2的第 2 级谱线满足： 透镜的焦距 第二级光谱的宽度 )( 1212 tgtgfxx 2 1 2 1( ) / ( ) 1 0 0 (c m )f x x t g t g
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