资源描述
第二章函 数2.1函数2.1.1函数第2课时映射与函数 学习目标 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功 知识链接 函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的 ，按照确定的法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作yf(x)，xA.唯一确定的数y任意数x 预习导引 1.映射和一一映射的有关概念名称定义映射及有关概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的 元素x，在B中 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的 ，记作 .于是yf(x)，x称作y的 .映射f也可以记为：f：AB，xf(x)，其中 叫做映射f的定义域，由 构成的集合叫做映射f的值域，通常记作 .f(A)任意一个有且仅有一个象f(x)原象A所有象f(x)2.映射与函数的关系映射是函数概念的 ，函数是一种 .一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的 ，在集合A中都 ，这时我们说这两个集合的元素之间存在 关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的 .一一映射特殊的映射任意一个元素有且只有一个原象一一对应推广要点一映射的判断例1下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？解当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数.(2)Aa|an，nN；解是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)A0，)，BR，f：xy2x；解当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆.解是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集.规律方法按照映射定义可知，映射应满足存在性集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.跟踪演练1在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.要点二映射个数问题例2已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求满足条件的映射的个数.解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(2)20,2(2)0.因此满足条件的映射共有7个.规律方法对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2集合A1,2,3，B3,4，从A到B的映射f满足f(3)3，则这样的映射共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个解析由于要求f(3)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.B要点三映射的象与原象例3已知映射f：AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x2y2,4xy).(1)求A中元素(5,5)的象；解当x5，y5时，x2y217，4xy25.故A中元素(5,5)的象是(17,25).(2)求B中元素(5,5)的原象.解令B中元素(5,5)的原象为(x，y)，故B中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1).(1)求A中元素(1,2)的象；解当x1，y2时，3x2y10,4x3y19.故A中元素(1,2)的象为(0,9).(2)求B中元素(1,2)的原象；1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是()A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同解析根据映射的概念可知：A中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A正确.A1 2 3 4 52.下列对应法则f为A到B的函数的是()A.AR，Bx|x0，f：xy|x|B.AZ，BN，f：xyx2C.AZ，BZ，f：xyD.A1,1，B0，f：xy0解析在选项A、B、C中，集合A中的有些元素在对应法则作用下，在集合B中找不到象.选项D表示无论x取何值y都等于0.所以选D.D1 2 3 4 51 2 3 4 53.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()解析按映射的定义判断知，D项符合.D4.设集合A、B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，象(2,1)的原象是()B1 2 3 4 551 2 3 45.已知集合Aa，b，Bc，d，则从A到B的不同映射有_个.解析ac，bc；ad，bd；ac，bd；ad，bc，共4个.4课堂小结1.映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能有剩余.(2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射.(3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射.2.映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.
展开阅读全文