机械工程控制理论基础

张 克 仁 教授 第一章 自动控制系统的基本原理 + 第一节 控制系统的工作原理和基本要求 + 第二节 控制系统的基本类型 + 第三节 典型控制信号 + 第四节 控制理论的内容和方法 第二章 控制系统的数学模型 + 第一节 机械系统的数学模型 + 第二节 液压系统的数学模型 + 第三节 电气系统的数学模型 + 第四节 线性控制系统的卷积关系式 第三章 拉氏变换 + 第一节 傅氏变换 + 第二节 拉普拉斯变换 + 第三节 拉普拉斯变换的基本定理 + 第四节 拉普拉斯逆变换 第四章 传递函数 + 第一节 传递函数的概念与性质 + 第二节 线性控制系统的典型环节 + 第三节 系统框图及其运算 + 第四节 多变量系统的传递函数 第五章 时间响应分析 + 第一节 概述 + 第二节 单位脉冲输入的时间响应 + 第三节 单位阶跃输入的时间响应 + 第四节 高阶系统时间响应 第六章 频率响应分析 + 第一节 谐和输入系统的定态响应 + 第二节 频率特性极坐标图 + 第三节 频率特性的对数坐标图 + 第四节 由频率特性的实验曲线求系统 传递函数 第七章 控制系统的稳定性 + 第一节 稳定性概念 + 第二节 劳斯判据 + 第三节 乃奎斯特判据 + 第四节 对数坐标图的稳定性判据 第八章 控制系统的偏差 + 第一节 控制系统的偏差概念 + 第二节 输入引起的定态偏差 + 第三节 输入引起的动态偏差 第九章 控制系统的设计和校正 + 第一节 综述 + 第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制 + 第三节 校正方法与校正环节 + 第四节 控制系统的增益调整 + 第五节 控制系统的串联校正 + 第六节 控制系统的局部反馈校正 + 第七节 控制系统的顺馈校正 + 定义：在没有人的直接参与下，利用控 制器使控制对象的某一物理量准确地按 照预期的规律运行。 第一节 控制系统的工作原理和基本要求 + 控制系统举例与结构方框图 例 1.一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温 度为 100C ,利用表示函数功能的方块、 信号线，画出结构方块图。 图 1 人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温 度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上 煤炭助燃。 图 2 煤炭 给定的温度 100 C 0 手和锹 眼睛 实际的炉水温度 比较 例 2. 图示为液面高度控制系统原理图。试画 出控制系统方块图和相应的人工操纵的液 面控制系统方块图。 解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制 器通过比较实际的液面高度与希望的液 面高度，调解气动阀门的开合度，对误 差进行修正，可保持液面高度稳定。 图 3 浮子 箱体 控制器 水 图 4 实际的液位高度 头脑 眼睛 手和阀门希望的液位高度 水箱 图 5 水箱希望的液位高度 气动阀门 浮子 控制器 实际的液位高度 结构方块图说明： + 1.信号线：带有箭头的直线（可标时间或 象函数） U(t),U(s)； + 2.引用线：表示信号引出或测量的位置； + 3.比较点：对两个以上的同性质信号的加 减运算环节； + 4.方框：代表系统中的元件或环节。 + 方块图中要注明元件或环节的名称，函数 框图要写明函数表达式。 二控制系统的组成 + 1给定环节：给出输入信号，确定被控制量的 目标值。 + 2比较环节：将控制信号与反馈信号进行比较， 得出偏差值。 + 3放大环节：将偏差信号放大并进行必要的能 量转换。 + 4执行环节：各种各类。 + 5被控对象：机器、设备、过程。 + 6测量环节：测量被控信号并产生反馈信号。 + 7校正环节：改善性能的特定环节。 三控制系统特点与要求 + 1.目的：使被控对象的某一或某些物理量按 预期的规律变化。 + 2.过程：即“测量 对比 补偿”。 或“检测偏差 纠正偏差”。 + 3.基本要求： + 稳定性 系统必须是稳定的，不能震荡； + 快速性 接近目标的快慢程度，过渡过程要小； + 准确性 第二节 控制系统的基本类型 1开环变量控制系统（仅有前向通道） 图 6-1 控制元件 被控对象X ( t)i 0X ( t) 2闭环变量控制系统 图 6-2 反馈环节 控制元件 被控对象iX ( t) X X ( t)0 开环系统 优点：结构简单、稳定性能好； 缺点：不能纠偏，精度低。 闭环系统：与上相反。 第三节 典型控制信号 输入信号是多种多样的，为了对各种控制 系统的性能进行统一的评价，通常选定几种 外作用形式作为典型外作用信号，并提出统 一的性能指标，作为评价标准。 1阶跃信号 x(t)=0 t 0 x(t)=A t0 图 7 当 A=1时，称为单位阶跃信号，写为 1(t)。 阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例 如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡 过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用，相应的过 渡过程称为阶跃响应。 X (t) i t A 0 2脉冲函数 数学表达式 x(t)=A/T 0tT x(t)=0 其它 图 8 0 A t X(t) T 一 脉冲函数的强度为 A，即图形面积。 单位脉冲函数（ 函数）定义为 (t)=1(t) 性质有 : (t)=0 t0 (t)= t 0 且 1)( dtt 图 9 强度为 A的脉冲函数 x(t)也可写为 x(t)=A(t) 必须指出，脉冲函数 (t)在现实中是不存 在的，它只有数学上的意义，但它又是很重 要的很有效的数学工具。 0 t X(t) (t) 3斜坡函数（恒速信号） x(t)=At t0 x(t)=0 t 0 图 10 在研究飞机系统时，常用恒速信号作为外作用来 评价过渡过程。 X(t) t0 4恒加速信号 x(t)=At2/2 t0 x(t)=0 t 0 图 11 在研究卫星 、 航天技术的系统时 ， 常用恒加速信 号作为外作用来评价过渡过程 。 0 t X(t) 5正弦函数（谐波函数、谐和信号） x(t)=xmsin(t+) t0 x(t)=0 t 0 图 12 2 一 T mX T X(t) t 0 6延时函数（信号） f(t)=x(t-) t f(t)=0 t 0 图 13 f( t) t 0 X( t- ) X( t) 7随机信号（使用白噪声信号代替） 第四节 控制理论的研究内容和方法 一经典控制理论 1主要内容： 分析 掌握系统的特性，进行系统性能的改善； 实验 对系统特性和改善措施进行测试； 综合 按照给定的静态、动态指标设计系统。 2方法 时域法 以典型信号输入，分析输出量随时间变 化的情况； 频域法 以谐和信号输入，分析输出量随频率变 化的情况； 根轨迹法 根据系统的特征方程式的根，随系统 参数的变化规律来研究系统（又称图 解法）。 二现代控制理论 1引入状态空间概念； 2动态最佳控制； 3静态最优控制； 4自适应和自学习系统。 图 14 瓦特调速器 为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系， 必须建立数学模型。这一章中心问题是如何从控制 系统实体中抽象出数学模型。 第一节 机械系统的数学模型 1.机械平移系统（应用牛顿定律） F=0, F=m F(t)-c -kx=m 或 F(t)-Fc(t)-Fk(t)=m Fc(t)=阻尼器产生的阻尼力，为 c (t) Fk(t)=弹性恢复力， 为 kx(t) 整理： m +c +kx=F(t) a x x x x x x 2机械旋转系统 J (t)+c (t)+k (t)=M(t) + J转动惯量 + c阻尼系数 + K刚度系数 图 14 m F(t) K C X(t) 图 15 3机械传动系统参数的归算 机械系统的运动形式：旋转运动、直线运动。 机械系统的组成元件：齿轮、轴、轴承、丝杠、 螺母、滑块等。 对一个复杂的大系统，必须把各部件参数归算到 同一部件上。在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性 恢复力称为当量参数。 如何归算？采用单因素法。 3-1 惯性参数的归算 1转动惯量的归算 将图示系统中的 J1、 J2和 J3归算到 a轴上。 图 16 a b C J J J 1 2 3 3 2 1 , , , Z 1 Z 1 2 Z 2 Z 列各轴力矩平衡方程式： a轴： M=J1 + Mb-a b轴： Ma-b=J2 + Mc-b c轴： Mb-c=J3 Mb-a 负载力矩； Ma-b 是 b轴的主动（驱动）力矩。 dt d dt d dt d 列关系式： = = ， 同理 力相等关系 由线速度相等关系： 1 =2 得 ，同理， 代入各关系式，得 M(t)=M=J1+J2( )2+J3( )2 = Ja ba ab M M 2. 2. 1 1 mzF mzF 1 1 z z 2 2 z z M M cb bc 2 1mz 2 1mz 1 1 1 2 z z 2 2 2 3 z z 2 2 1 1 z z z z dt d 1 dt d 1 1 1 Z Z Ja 称为归算到 a轴上的归算转动惯量。 推之，对于系统有 n个轴，归算到 a轴时， Ja = Ui 是从 a轴到第 i轴的总速比，即主动齿轮齿 数积 /被动齿轮齿数积。 2 1 i n i i UJ 2移动质量归算为转动惯量 列运动平衡方程式 丝杠： M=J +M1 滑块 : F=m =F轴 式中： M1是滑块作用于丝杠的力矩； F轴 是丝杠作用于滑块的轴向力。 为求 M与 F之间的关系 ,列关系式 ,把丝杠按 D 展成平面。 tg=F周 /F轴 =S/D dt d dt dv 由关系式 F周 =M1, 则 F轴 =F= = 根据运动关系 = = 代入到 M=J +M1中，整理后得 M=J+m( )2 =J J=J+m ( )2 2 D 2 1 D M S D S M 12 V tn t Sn 2 2 S dt d 2 S dt d dt d 2 S 图 17 V C M ,J m 图 18 S 导 程 F 周 周 F F= V a D 第二节 液压系统的数学模型 分析思路 （见图 19）：划分为两个环节。 滑阀： 输入量 xi(t) 输出量 (t)（中间变量） 液压缸：输入量 (t) 输出量 xo(t) 建立各元件方程式 图 19 m K F(t) C 0X (t) P 滑阀 Q(t) P 1 1P Q(t) 液压缸 P 1 2P P 2 P 2 1、滑阀流量方程式 (t)=fxi(t), , 其中 = 压强差 流量 (t)是阀芯位移 xi(t)函数，同时又是负载 压强差的函数，具有非线性关系。 如果把非线性问题线性化，这是考虑在额定工 作点附近可展成泰勒级数办法，则 (t)=kqxi(t)-kp (1) 其中 kq是流量增益系数， kp是压力影响系数。 （ 1）式是根据试验数据修正而来。 l 21 l 2、液压缸工作腔液体流动连续方程式 (t)=A o(t)+kt + (2) A 工作面积， kt 漏损系数， V 液体体积压缩率， 弹性模量。 在不考虑液体的的可压缩性，又不考虑泄漏，（ 2） 式可简化为 (t)=Ao(t) (3) 3、液压缸负载平衡方程式 A =m o(t)+c o(t)+kxo(t)+F(t) (4) 若自由状态，即 F(t)=0,则 A =m o(t)+c o(t)+kxo(t) (5) x l 4 v l x l x x l x x 4、系统的运动方程式 消去中间变量 和 (t)，得 m o(t)+c o(t)+（ k+A2/ ) (t)=Akqxi(t)/kp (6) 若外部系统阻尼、刚度系数不受影响，即 c=0,k=0, 惯性力不考虑。 则 kqxi(t)=Axo(t) (7) 这是来多少油出多少油的关系式。 l x x k 0 x 第三节 电气系统的数学模型 1.阻容感网络系统 图 20 R L C (t)u 0iu (t) 由基尔霍夫第一定律（封闭系统） Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0 Ui(t)-Ri(t)- -L =0 =L +R + 二阶微分方程 0)( 1 tUi n i C 1 dtti )( dt tdi )( dt tdUi )( 2 2 )( dt tid dt tdi )( c 1 ti 2放大器网络系统 图 21 i ( t )2 1 i ( t ) 1 R ( t )u 0 i u ( t ) + - 3 ( t )i R 2 1）比例运算放大器 由 ij(t)=0 i1(t)=i2(t)+i3(t) 因为放大器内阻很大， i3(t) 0，于是有 i1(t) i2(t) 即 =i1(t)=i2(t)= (引入： Uo(t)=-UA=-(104-106)UA 由于 很大 ,UA 0) U0(t)=(1+ )UA(t)- Ui(t) n j 1 1 )( R UtU Ai 2 )( R tUU oA 1 2 R R 1 2 R R 2）积分运算放大器 图 22 (t )u i 0u (t ) C R 1 (t )i 1 2 (t )i 同前分析过程。 i1(t)= ;U0(t)= = 由 i1(t) i2(t)而来 输出与输入之间存在积分关系。 1 )( R tUi c 1 t dtti 0 2 )( t i dttUcR 0 1 )(1 3）微分运算放大器 图 23 i (t)2 i (t)1 (t)u 0 iu (t) R 2 C 由 Ui(t)= 得 i1(t)=c i2(t)= ,由 i1(t) i2(t) 关系式，得 U0(t)=R2C 输出与输入之间存在微分关系。 t dttic 0 1 )(1 dt tdU i )( 2 0 )( R tU dt tdU i )( 第四节 线性控制系统的卷积关系式 为建立输出与输入之间的关系，常利用卷积关系式。 一 .线性控制系统的权函数 图 24 系统 系统 X ( t)0 h( t) iX ( t) (t) h (t) 设图示系统，任意给输入量 xi(t)，输出量为 xo(t)。当 xi(t)=(t)，即为单位脉冲函数，此 时的输出（也称为响应） xo(t)记为 h(t)。 h(t)称为系统的单位脉冲响应或称为权函数。 若输入脉冲发生在 时刻，则 (t)和 h(t)曲 线都会向右移动 ，形状不变 。 图 25-1 0 t X (t) i i X (t) tj. t=n t = t i X (j. t) 即 xi(t)= (t1)，对应的 xo(t)= h(t1)， 其中 t1=t- 定义： (t-)= t+t (t-)=0 其它 这里 (t)t， t= t t 1 二、任意输入响应的卷积关系式 当 xi(t)为任意函数时，可划分为 n个具有强度 Aj的脉冲 函数的叠加，即 图 25-2 1 t= j. t (t- )i X (t) t 0 t (t) - t - 图 25-3 (t)h h t 0 t X (t) 0 (t- ) t Xi（ t） = 其中 Aj=xi（ jt） t =面积 =强度 在某一个脉冲函数 Aj(t-jt)作用下，响应 为 Ajh(t-jt)。 系统有 n个脉冲函数，则响应为： xo(t)= = n j j tjtA 1 )( n j j tjthA 1 )( )(.)( 1 tjthttjx n j i 当 n 时， ， nt ， jt=， t=d xo(t)= 卷积关系式 上式说明“任意输入 xi(t)所引起的输出 xo(t) 等 于系统的权函数 h(t)和输入 xi(t)的卷积”。 t t i dthtx0 )().( 三、卷积的概念与性质 定义：若已知函数 f(t)和 g(t)，其积分 存在，则称此积分为 f(t)和 g(t)的卷积，记作 。 性质： 1、交换律 = 证明：令 t-=t1 d=-dt1 (=t-t1) = = = （左 =右，变量可代换）证毕。 dtgf )().( )()( tgtf )()( tgtf )()( tftg )()( tgtf dtgf )().( 111 )()( dttgttf 111 )()( dtttftg 2、分配律 3、若 t 0时， f(t)=g(t)=0，则 = f(t)输入； g(t)系统； x0(t)输出 x0(t)= )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf )()( tgtf t dtgf 0 )()( )()( tgtf 四卷积积分的图解计算 积分上下限的确定： 下限 取 f()和 g(t-)值中最大一个； 上限 取 f()和 g(t-)值中最小一个。 要进行卷积计算，一是真实含义不清，二是 难以确定积分上下限。现用图解方法说明。 设 f(t)和 g(t)如图所示，求 f(t)*g(t)。 f(t)=1(t),g(t)=e-t 解： f(t)*g(t)= = dtgtf f(t) t0 1 f(t)=1(t) 0 t g(t) -tg(t)=e de t1 1 0 f( ) g( )=e - g( ) 0 g(-) 是 g()关于纵轴的镜像 g(t-)是 g(-) 在横轴上平移一个 t值，其形状不变。 g(- )=e g(- ) 0 0 g(t- ) t 相乘 隐条形区域才是 的积分值， 积分下限是 0，上限是 t，则 本例中， f()和 g(t- )的下限为 (0,-),取 0。 f()和 g(t- )的上限为 (, t),取 t。 tgf tgf t ttt eedetgtf 0 11 f( ) t g(t- ) 0 1 g(t- ) 第一节 傅氏变换（傅立叶变换） 一、傅氏级数的复指数形式（对周期函数而言，略讲） 二、非周期函数的傅氏积分 非周期函数 f(t)可以看作是 T 周期函数 fT(t)，即 F(t)= ，若 f(t)在 上满足： 1、在任一有限区间上满足狄氏条件（ 1连续或只有 有限个第一类间断点； 2 只有有限个极值点）； 2、在 上绝对可积（ 收敛）。 f(t)= 非周期函数的积分式 )(lim tfTT ),( ),( dttf )( ddf ee tjj .)(2 1 三、傅氏变换 1、傅氏变换概念 在傅氏积分式中，令 t是积分变量，积分后是 的函数。 称 F()=Ff(t) 傅氏变换 f(t)=F-1F() 傅氏逆变换 2、傅氏变换的缺点说明 1条件较强，要求 f(t)绝对收敛。做不到。 例如， 1(t)、 Asint，它们的积分 均发 散，即 Ff(t)不存在，无法进行傅氏变换。 2要求 f(t)在有意义，而在实际中， t 0常不定义。 dttfF e tj )()( dttf )( 解决的办法 ： 1将 f(t)乘以收敛因子 e-t 使积分 收敛 (0)； 2将 f(t)乘以 1(t)，使当 t 0时，函数值为零。 可将积分区间由 换成 。 于是傅氏变换变形为拉氏变换 Lf(t)： Lf(t)= 其中 S= 复变量。 成立的条件是 Re（ s） =0 经过处理，能解决大部分工程上的问题。 这就是 Laplace变换 (F.L.Z.H.W.X). dtetf t )( ),( ),0( dttfdttfdtttf eeee sttjtjt .).(.)(.).(1).( 00 )(_ j 第三节 拉普拉斯变换 (Laplace) 定义 : 1.若 t0时 ,x(t)单值 ;t0 则称 X(s)= 为 x(t)的拉氏变换式 ,记作 X(s)=Lx(t) X(t)=L-1X(s) 拉氏逆变换 dttx e st 0 )( dttx e st 0 )( 举例 1. 脉冲函数 (t)的拉氏变换 L(t)=1 2. 单位阶跃函数 x(t)=1(t)=1的拉氏变换 X(s)=L1(t)= , Re(s)0 即 0 3 x(t)= ， 常数 =L = ,Re(s)0 即 4. x(t)=sin t， 常数 =Lsin t= = Re(s)0 sdte st 1.1 0 et )(sX e t sdte ts 1 0 )( )(sX dtjdtt eeee sttjtjst .2 1.s i n 00 22 11 2 1 sjsjsj 5 X(t)=tn 幂函数的拉氏变换 利用伽玛函数方法求积分。 =L(tn)= 函数标准形式 令 st=u， t= tn=s-nun dt= du，则 = 若 n为自然数， X(s)=L(tn)= Re(s)0 )(sX dtt e stn . 0 dtetn tn .)( 0 1 dtetn tn .)1( 0 s u s 1 )(sX )1(11. )1(0)1( 1 0 nsdueussdueus nunnunn )1( ! ns n 比如： x(t)=t， = x(t)=t2 ， = x(t)=t3 ， = )(sX )(sX )(sX 2 1 s 3 2 s 4 6 s 第三节 拉氏变换的基本定理 与傅氏变换的定理差不多，但有的定理不 相同，同时比傅氏变换定理多一些。 1、线性定理（比例和叠加定理） 若 Lx1(t)=X1(s)， Lx2(t)=X2(s) Lk1x1(t)+k2x2(t)=k1X1(s)+k2X2(s) 例题 x(t)=at2+bt+c =Lat2+bt+c=aL(t2)+bL(t)+cL(1) = Re(s)0 )(sX s c s b s a 23 2 2、微分定理 若 Lx(t)=X(s)，则 L (t)=s2X(s)-x(0) x(0)是 x(t)的初始值，利用分部积分法可以证明。 推论： L Lx(n)(t)=snX(s)-sn-1x(0)-x(0) (n-1) 注意 大小写 ， 小写为时间函数。 若初始条件全为零，则 Lx(n)(t)=snX(s) x )0()0()()( 2 xsxsXstx 3、积分定理 若 Lx(t)= ，则 L = 推论： L = 4、衰减定理（复数域内位移性质） 若 Lx(t)= ，则 L = 表明原函数乘以指数函数的拉氏变换，等 于象函数做位移 。 )(sX t dx0 )( )(1 sXs t t ndx0 0 )()(. )(1 sXs n )(sX )(. txe st )( sX 例题 x(t)= 因 L = ，则 =L = te t c os tcos 22 s s )(sX te t cos 22)( s s 5、延时定理（时间域内位移性质） 若 Lx(t)= ， t 0时， x(t)=0， 则 Lx(t)= ， 在时间域内延迟（位移） ，行动于它的象函数 乘以指数因子 。 图 27 )(sX es )(sX es x( t) t 0 x( t) x( t- ) 6、初值定理 若 Lx(t)=X(s)，且 存在， 则 它建立了 x(t)在坐标原点的值与象函数 s 在 无限远点的值之间的对应关系。表明，函数 x(t)在 0点的函数值可以通过象函数 乘以 s，然后取极限值而获得。 )(lim ssX s )()( l i ml i m 0 ssXtx st )(sX )(sX 7、终值定理 若 Lx(t)= ，且 存在， 则 8、卷积定理 若 Lx(t)= ， Ly(t)= ， 则 L =. )(sX )(lim tx t )(lim)(lim 0 ssXtx st )(sX )(sY )()( tytx )(sX )(sY