二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.解 原式=例2 求极限 解法1 由，知,于是而,由夹逼准则得0.解法2 运用广义积分中值定理(其中在区间上不变号）,由于，即有界，,故0注 (1）当被积函数为或型可作相应变换.如对积分,可设;对积分,由于,可设.对积分，可设（2）的积分一般措施如下：将被积函数的分子拆项，分子=A分母+B分母,可求出，.则积分例3 求定积分分析 以上积分的被积函数中都具有根式,这是求原函数的障碍.可作合适变换,去掉根式.解法 解法2 小结 （定积分的换元法)定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元时还应注意:（）应为区间上的单值且有持续导数的函数;(2）换限要随着换元同步进行;(3)求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成本来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例 计算下列定积分（1)， ； （2）解 （1) 故 （) 这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式: 小结 (1)常运用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为,a时，设；积分区间为-a,时，设。可使新的积分区间与原积分区间相似，以利于合并或产生原积分。(2）运用例0.6(2）中同样的措施易得例5 设在上具有二阶持续导数，且,求解 故 小结 （）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则； （）当被积函数中具有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解例6 计算定积分（为自然数).解 是觉得周期的偶函数.例 证明积分与无关,并求值解 ，于是 小结 收敛的广义积分的计算和证明根据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.二、含定积分的不等式的证明例8 证明（1）;.证 （1）在上持续，令,得.比较与的大小,知在上的最大值为，最小值为，故 (2）由于觉得周期， 而 ，由于 ，因此 事实上，（2)中所给变上（下）限定积分与无关,仅为取正值的常数.例9 设是上单调减少的正值持续函数，证明 证 运用积分中值定理， （由于递减取正值).即 例10 设在上持续且单调递增，证明：当时,有 (1.)分析 将定积分不等式（10.1)视为数值不等式，可运用相应的函数不等式的证明措施证明。将要证的不等式两端做差，并将换成,作辅助函数，即需证证 作 ，则 （由于递增，)于是，由拉格朗日中值公式,有 即式（）成立例11 设在上持续,且，证明 分析 运用条件，生成变化量，借助于拉格朗日中值公式估计证 由于在上持续，故有界，即存在，使， 故 例1 设在上二阶可导,且,证明 分析 已知二阶可导，可考虑运用的一阶泰勒公式估计;又所证的不等式中浮现了点，故考虑使用处的泰勒公式.证 在处的一阶泰勒公式为,其中,在与之间运用条件，可得 ,两边从到取积分，得 小结 有关含定积分的不等式的证明，常用的有两种措施:（1） 运用定积分的保序性；（2） 运用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用例13 求由曲线与直线及所围成的图形分别绕轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积解 （1）绕轴旋转,积分变量为 （2)绕轴旋转 (3）绕=1旋转 解法1取为积分变量,直线及和双曲线的交点及的纵坐标分别为和.设平面图形，及(见图18)绕轴旋转而成的立体的体积分别为和，则所求旋转体的体积为 解法 取为积分变量,将提成两部分区间:和在上，体积元素为 在上,体积元素为 故所求体积为 解法3 选为积分变量，.将旋转体分割成以轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一措施称为柱壳法相应于区间的窄曲边梯形可近似地看做高为，宽为的举矩形，它绕轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积,即体积元素为 因此有 (3)绕旋转选为积分变量，体积元素为 所求体积为 小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定不不小于上限. (2）选用哪个变量作为积分变量，才干使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选用一般地若平面中的平面图形是由曲线 与直线所围成,则分别绕轴、轴旋转所得旋转体体积为 第二部分 二重（三重）积分一、重积分的计算及技巧总结计算二重积分的基本措施是化为二次积分,其核心是拟定积分顺序和拟定积分限.所遵循的原则是：1 直角坐标系下拟定积分顺序的原则（）函数原则内层积分可以求出的原则.例如一定应先对积分,后对积分例如一定应先对积分,后对积分.（2）区域原则 若积分区域为型(即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线相交最多为两个点），应先对积分,后对积分.若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域,它与的边界曲线相交最多为两个点）,应先对积分，后对积分.若积分区域既为型区域，又为型区域,这时在函数原则满足的前提下，先对积分或先对积分均可以；在这种状况下,先对哪个变量积分简朴，就先采用该积分顺序.(3)少分块原则 在满足函数原则的前提下,要使分块至少,从而计算简朴.2 直角坐标系下化二重积分为二次积分时,拟定积分限的原则（1）每层积分的下限都应不不小于上限.()一般而言,内层积分限可以是外层积分变量的函数,也可以是常数.（3）外层积分限必须为常数.当二重积分的积分域为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有的函数形式,即时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先后的积分顺序.4.极坐标下积分限的拟定当极点在积分域之外时 当极点在积分域的边界曲线上时 当极点在积分域内时 小结 化二重积分为二次积分的核心在于拟定二次积分的上、下限.拟定积分限采用穿线法,若先对后对积分，则将积分区域投影在轴上,可得的变化范畴.再过固定的点作一平行于轴的直线从下向上穿过区域,则可得到的变化范畴.从而可将积分域用不等式组表达出来，这种拟定上、下限的措施比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言,内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分顺序是先后,定限时仍采用“穿线法”。为拟定的变化范畴，从极点出发作射线穿过区域，并使射线沿逆时针方向转动,射线与积分域开始接触时的角即为的下限，拜别时的角即为上限；又由于极径，穿入时遇到的的边界曲线为下限，穿出时离开的的边界曲线为上限.小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分顺序是非常重要的,它不仅影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去选择坐标系要从积分域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,为便于记忆,现列表81表达.表181积分区域的形状被界函数的形状应选坐标系为矩形、三角形、或其她形状直角坐标系为圆域、圆环域、扇形域或环扇形域或极坐标系小结 运用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性,常常使二重积分的计算简化许多,避免容易出错的繁琐计算,并且使某些无法直接积分的问题得以解决但必须注意:运用这种措施，计算时一定要同步兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.小结 计算绝对值函数的积分,一般应先将积分区域分块,将被积函数分段表达，以去掉绝对值符号，然后运用二重积分有关积分区域的可加性,进行分块计算,最后把计算成果相加.5计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法,什么样的状况适合选用这种算法?“先二后一”法是计算三重积分的一种很有效的措施,该措施通过计算一种二重积分和一种定积分来得到成果在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的,因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”措施是这样的:如果域界于平面和之间,用任一平行于面的平面去截域得平面区域,则有当被积函数仅是的函数，而截得的区域的面积很容易求得时,特别合用“先二后一”措施小结 用不等式组表达空间区域的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域向面投影得到的投影区域是,过中任一点由下向上作平行于轴的直线穿过空间区域时可以遇到两个曲面：穿入时遇到的曲面和穿出时离开的曲面,于是变量的变化范畴是,，然后再根据区域在面上的投影区域拟定变量与的变化范畴固然,用“穿线法”时，也可以将空间区域向面或面投影，分析措施类似由于计算三重积分时一方面要将三重积分化为三次积分,而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表达空间区域，因此,学会用不等式组表达空间区域是非常重要的。小结 三重积分的计算，可化为先计算一种定积分再计算一种二重积分（或先计算一种二重积分再计算一种定积分）,从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算环节与二重积分相似： （1）作出积分区域的草图,根据其特点和被积函数的特点,选择合适的坐标系极合适的积分顺序;()拟定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；(）拟定积分限,化为三次积分;(4）计算积分.可见,三重积分计算,其核心仍是对的拟定积分分限,而画好积分区域的图形则有助于对的地拟定积分限