全称量词命题和存在量词命题的否定

2021-2022 学年高一上数学必修一15.2全称量词命题和存在量词命题的否定【学习目标1 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2能正 确地对含有一个量词的命题进行否定知识tst理抜理救材势实基础知识点 含量词的命题的否定p綈p结论全称量词命题VxM, p(x)日x丘M,綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题3xM, p(x)VxM,綈 p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题思考辨析 判断正误1. 3xM, p(x)与VxM,綈p(x)的真假性相反.(V )2. “任意xWR, x220的否定为 “mxWR, x20.解(1)綈p：存在一个实数m,使方程x2+mx1=0没有实数根.因为该方程的判别式A= m240 恒成立，故綈 p 为假命题綈p： mxWN,2xW0.綈p为假命题.二、存在量词命题的否定例 2 写出下列命题的否定(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)3xR, x2+lv0.解 (1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)VxR, X2+120.反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行 否定，可以结合命题的实际意义进行表述跟踪训练 2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数；(2)3x, yWZ,使得2x+y=3.解 (1)命题的否定： “不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都 不是正数” 由于I21 = 2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定：“Vx, yZ, ；2x+yH3.当 x=0, y=3 时，2x+y=3,命题的否定是假命题.三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x,不等式x2+4x1m恒成立.求实数m的取值范围.解 令 y=x2+4x1, xWR,则 y= (x2)2 5,因为VxR，不等式x2+4x1m恒成立，所以只要mm有解”，求实数m的取值范围.解 令 y= x24x 1 ,因为 y= x24x 1= (x 2)23.又因为3xR,x2+4x1m 有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是mlmy（或avy）”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通 常转化为求函数y的最大值（或最小值），即aymax（或ay（或avy）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通 常转化为求函数y的最小值（或最大值），即aymin（或a1 C. a1 D. aW1答案 D解析 命题p： 3xR, x2+2x+aW0是真命题，则AO,即aW1.故选D.随堂演练基融巩固学以敘用1. 命题 “xWR, lxl+x20”的否定是（）A. VxR, lxl+x20B. VxR, lxl+x2W0C. 3xR, lxl+x20D. 3xR, lxl+x20答案 C解析 条件VxGR的否定是3xR，结论“lxl+x220的否定是“lxl+x21”的否定是（）A. 对任意实数x,都有x1B. 不存在实数x,使xW1C. 对任意实数x,都有xW1D. 存在实数x,使xW1答案 C解析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解“存在实数x,使x1”的否定是“对任意实数x,都有xW1”.故选C.3. 关于命题p：“VxWR, x2+1M0”的叙述，正确的是（）A. 綈p： 3xR, x2+1 工0B. 綈p： VxR, x2+1 = 0Cp 是真命题,綈 p 是假命题Dp 是假命题,綈 p 是真命题答案 C解析 命题p： “ VxR, x2+1工0”的否定是“ 3xR, x2+1=0”.所以p是真命题， 綈 p 是假命题4命题“同位角相等”的否定为答案 有的同位角不相等解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等 5命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：.答案 所有的三角形都不是直角三角形解析 命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照 存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定课堂小结1知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定(2)命题真假的判断 2方法归纳：转化思想3常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反课时对点练注重戏基籐化落实M基础巩固1.若p： VxWR, IxIWl,贝)A.綈p： 3xWR, IxI1B.綈p： VxR, IxI1C.綈p： 3xR, IxIlD.綈p： VxWR, IxI21答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，xWR, IxIWl的否定为：3xR, IxI1，故选 A.2. 命题Vx0,都有x2x+3W0”的否定()A. 3x0,使得 x2x+3W0B. 3 x0,使得 x2x+30C. Vx0,都有 x2x+30D. VxWO,都有 x2x+30答案 B解析 命题“Vx0,都有x2x+3W0”的否定是：3x0,使得x2x+30.3. 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有 理数”，故选 B.4. 命题p： VxN, X3X2的否定形式綈p为（）A. VxN, x3Wx2B. 3xN, x3x2C. 3xN, X3X2的否定形式是存在量词命题；.綈 p：“mxWN, X3Wx2”.故选D.5. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A. 命题綈p是真命题B .命题p是存在量词命题C. 命题p是全称量词命题D. 命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题, 故选 C.6. 命题TxN, x21”的否定是.答案 VxN, x2Wl解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“mxWN, x21”的 否定为 “VxWN, x2W1”.7. 命题：3xR, x2x+1=0的否定是.答案 VxWR, x2x+1M0.解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以 3xR， x2x+1=0 的否定是：VxWR, x2x+1 工0.8. 命题“任意一个xR,都有x22x+4W0”的否定是.答案 存在xR,使得x22x+40解析 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在xR，使得 x22x40.9写出下列命题的否定,并判断它们的真假(1) VxR, x20；(2) 3xR, x2=l；(3) 3xR, x 是方程x23x+2 = 0 的根；(4) 等腰梯形的对角线垂直解(1)命题的否定：3xR，使X2W0,因为x=0时，02=0,所以命题的否定为真.(2)命题的否定：VxGR,使x2工1, 因为x=1时，X2=1,所以命题的否定为假.命题的否定：VxGR, x不是方程x2-3x+2=0的根，因为x=1时，12-3X1+2=0,即 x=1 为方程的根,所以命题的否定为假.(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直,是真命题.10. 命题p是“对某些实数x,若xa0,则xbWO”，其中a, b是常数.(1) 写出命题p的否定；(2) 当a, b满足什么条件时，命题p的否定为真？解(1)命题p的否定：对任意实数x,若xa0,则xb0.(2)bWa.M综合运用11. 下列命题的否定是真命题的是()A. 三角形角平分线上的点到两边的距离相等B. 所有平行四边形都不是菱形C. 任意两个等边三角形都是相似的D. 3是方程x29 = 0的一个根答案 B解析 A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D的否定：3不是方程x29=0的一个根，假命题，故选B.12. 已知命题“3xWR,使4x2+(a2)x+10是假命题，贝V实数a的取值范围是()A. a0B. 0WaW4C. a三4D. 0a0是真命题，即判别式 / = (a2)24X4X40,即 A = (a2)24,则一2a22,即0a0的否定是,命题3xR, x2+lv0的否定是.答案 3xR, x2x+3W0 VxR, x2+1014. 已知命题p：任意xWR, x2+2ax+a0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是答案 alaWO,或a三1解析若命题p为真命题，则力=4a24a0,.*.0a0”是假命题，求实数a的取值范围.解 因为命题“存在xWR, ax22ax30的否定为“对于任意xR, ax22ax3WO恒 成立” ，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题事实上，当a=O时，对任意的xR，不等式一3WO恒成立；当aMO时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax22ax3WO恒成立的等 价条件是a0且其判别式力=4a2+12aW0,即一3 Wa0；综上知，实数a的取值范围是al 3WaW0.