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结束放映 第 1页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 探究 一 向量在平面几何中的 应用 探究二 向量在三角函数中的 应用 探究三 向量在解析几何中的 应用 训练 1 例 1 辨析感悟 训练 2 例 2 训练 3 例 3 知识与方法回顾 技能与规律探究 知识梳理 经典题目再现 结束放映 第 2页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 1向量在平面几何中的应用 ab |a|b| x 1 x 2 y 1 y 2 x 21 y 21 x 22 y 22 结束放映 第 3页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其 应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向 量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算 公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 2向量在三角函数中的应用 3向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背 景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用 直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算 是考查的主体 4向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与 向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题 结束放映 第 4页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 ( 1) 已知 ABC 中， BC 边最长， AB a ， AC b ，且 a b 0 ，则 ABC 的形状为钝角三角形 ( ) ( 2) 在四边形 AB CD 中， AB DC ，且 AC BD 0 ，则四边 形 AB CD 是矩形 ( ) ( 3) ( 2014 贵州调研改编 ) 在平面直角坐标系 x O y 中，若定点 A ( 1,2) 与动点 P ( x ， y ) 满足 OP OA 4 ，则点 P 的轨迹方程是 x 2 y 4 0.( ) 1向量与其他数学知识的交汇 结束放映 第 5页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 2平面向量在物理中的应用 (4) 作用于同一点的两个力 F 1 和 F 2 的夹角为 2 3 ，且 | F 1 | 3 ， | F 2 | 5 ，则 F 1 F 2 大小为 19 .( ) (5) 已知一物体在共点力 F 1 ( lg 2 ， lg 2) ， F 2 ( lg 5 ， lg 2) 的作用下产生位移 s (2 lg 5,1) ，则共点力对物体做的功 W 为 2.( ) 结束放映 第 6页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 两 条 主 线 一 个 手 段 (1) 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的 直观与形象，向量本身是一个数形结合 的产 物，在利用向量解决问题时，要注意数与形 的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻 辑思维的结合 (2) 要注意变换思维方式，能从不同角度 看问题，要善于应用向量的有关性质解题 实现平面向量与三角函数、平面向 量与解析几何之间的转化的主要手段是 向量的坐标运算 结束放映 第 7页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 向量在平面几何中的应用 【 例 1 】 ( 1) ( 2013 课标全国 卷 ) 已 知正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 为 CD 的中点，则 A E B D _ _ . 解法一 A E B D A D 1 2 A B ( A D A B ) 解法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系 ( 如图 ) ( 1) 法一：把向量 A E 与 B D 分 别用基底 A D ， A B 表示 审题路线 法二：建立平面直角坐标系 求向量 A E ， B D 的坐标 A D 2 12 A B 2 2 2 12 2 2 2. 则 A (0,0) ， B (2,0) ， C (2 ,2) ， D (0,2) ， E (1,2) A E ( 1 ,2 )， B D ( 2 ,2 ) 从而 A E B D ( 1,2 ) ( 2,2 ) 1 ( 2) 2 2 2. 用三角形法则，向已 知转化。 注意垂直向量积为零 x y 结束放映 第 8页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 ( 2) ( 2013 天津卷 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中， AD 1 ， BAD 60 ， E 为 CD 的中点若 A C B E 1 ，则 AB 的长为 _ 解析 (2) 向量在平面几何中的应用 (2) 把向量 A C 与 B E 分别用 基底 A B ， A D 表示 利用 A C B E 1 整理 建立关于 | A B |的一元二次 方程 解得 |A B |. 审题路线 考 点 由题意可知， A C A B A D ， B E 12 A B A D . 因为 A C B E 1 ， 所以 ( A B A D ) 12 A B A D 1 ， AD 2 12 AB AD 12 AB 2 1. 结束放映 第 9页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 (2) (2013 天津卷 ) 在平行四边形 ABCD 中， AD 1 ， BAD 60 ， E 为 CD 的 中点若 A C B E 1 ，则 AB 的长为 _ 考 点 因为 | A D | 1 ， B AD 60 ， 所以 A B A D 12 | A B |， 因此 式可化为 1 14 | A B | 12 | A B |2 1 ， 解得 | A B | 0( 舍去 ) 或 12 ， 所以 AB 的长为 12 . 1 2 向量在平面几何中的应用 用平面向量解决平面几 何问题时，有两种方法： 基向量法和坐标系法， 建立平面直角坐标系时 一般利用已知的垂直关 系，或使较多的点落在 坐标轴上，这样便于迅 速解题 规律方法 结束放映 第 10页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 【训练 1 】 ( 1) ( 2014 杭州质检 ) 在边长为 1 的 菱形 A BC D 中， BA D 60 ， E 是 BC 的 中点，则 A C A E ( ) A . 3 3 3 B . 9 2 C . 3 D . 9 4 考 点 向量在平面几何中的应用 解析 (1) 建立如图平面直角坐标系，则 A 3 2 ， 0 ， C 3 2 ， 0 ， B 0 ， 1 2 . E 点坐标为 3 4 ， 1 4 ， A C ( 3 ， 0) ， A E 3 3 4 ， 1 4 ， A C A E 3 3 34 94 . D 结束放映 第 11页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 解析 (2 ) ( 2) 在 AB C 所在平面上有一点 P ，满足 P A P B P C A B ，则 P A B 与 ABC 的面积之比值是 ( ) A . 1 3 B . 1 2 C . 2 3 D . 3 4 考 点 向量在平面几何中的应用 即 S P AB S ABC 1 3. 任选一三角形，利用向 量的三角形法则化简 P A P C A B - P B = A B + B P = A P P C =2 A P A 、 P 、 C 共线 由已知可得 P C 2 AP ， P 是线段 AC 的三等分点 ( 靠近点 A ) ， 易知 S P AB 13 S ABC ， 结束放映 第 12页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 向量在三角函数中的应用 【 例 2 】 设向量 a (4 c os ， sin ) ， b ( sin ， 4 cos ) ， c ( cos ， 4 sin ) ( 1) 若 a 与 b 2 c 垂直，求 tan ( ) 的值； (2) 求 | b c | 的最大值； (3) 若 tan t an 16 ，求证： a b . 考 点 (1)解 因为 a 与 b 2 c 垂直， 所以 a ( b 2 c ) 4 cos sin 8 cos co s 4 sin c os 8 sin sin 4 sin ( ) 8 cos ( ) 0 ， 因此 tan ( ) 2. (2)解 由 b c ( s in cos ， 4 cos 4 sin ) ，得 | b c | sin cos 2 4 cos 4 sin 2 17 15 sin 2 4 2 . 又当 k 4 ( k Z ) 时，等号成立， 所以 | b c |的最大值为 4 2 . (3)证明 由 tan tan 16 ， 得 4 cos sin sin 4 cos ， 所以 a b . 结束放映 第 13页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运 用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式， 然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模 或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算， 利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 向量在三角函数中的应用 结束放映 第 14页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 【训练 2 】 ( 201 3 江苏卷 ) 已知向量 a ( c os ， sin ) ， b ( c os ， sin ) ， 0 .( 1) 若 | a b | 2 ，求证： a b ； ( 2) 设 c ( 0,1 ) ，若 a b c ，求 ， 的值 考点 证明（ 1） 由题意得 |a b | 2 2 ， 向量在三角函数中的应用 即 ( a b ) 2 a 2 2 a b b 2 2. 又因为 a 2 b 2 | a | 2 | b | 2 1 ， 所以 2 2 a b 2 ， 即 a b 0 ，故 a b . 解（ 2） 因为 a b ( c o s c o s ， sin si n ) (0,1)， 所以 c os c os 0 ， sin sin 1 ， 由此得， c os c os ( ) ， 由 0 ， 得 0 ， 又 0 ， 故 . 代入 sin sin 1 得 ， sin sin 1 2 ， 而 ， 所以 56 ， 6 . 结束放映 第 15页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 向量在解析几何中的应用 【例 3 】 已知平面上一定点 C (2,0) 和直线 l ： x 8 ， P 为该平面上一动 点，作 PQ l ，垂足为 Q ，且 PC 1 2 PQ PC 1 2 PQ 0. (1) 求动点 P 的轨迹方程； (2) 若 EF 为圆 N ： x 2 ( y 1) 2 1 的任一条直径，求 PE PF 的最值 考 点 ( 1) 设 P ( x ， y ) ，则 Q (8 ， y ) 解 由 ( PC 1 2 PQ ) ( PC 1 2 PQ ) 0 ， 得 | PC | 2 1 4 | PQ | 2 0 ， 即 ( x 2) 2 y 2 1 4 ( x 8) 2 0 ， 所以点 P 在椭圆上，其方程为 x 2 16 y 2 12 1. 化简得 x 2 16 y 2 12 1. 结束放映 第 16页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 ( 2) 若 EF 为圆 N ： x 2 ( y 1) 2 1 的任一条直径，求 PE PF 的最值 考 点 (2) 因 PE PF ( NE NP ) ( NF NP ) ( NF NP ) ( NF NP ) ( NP ) 2 NF 2 NP 2 1 ， P 是椭圆 x 216 y 212 1 上的任一点， 设 P ( x 0 ， y 0 )， 则有 x 20 16 y 20 12 1 ，即 x 20 16 4 y 20 3 ， 又 N (0 , 1) ，所以 NP 2 x 20 ( y 0 1) 2 13 y 20 2 y 0 17 向量在解析几何中的应用 结束放映 第 17页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 考 点 向量在解析几何中的应用 13 ( y 0 3) 2 20. 因 y 0 2 3 ， 2 3 ， 所以当 y 0 3 时， NP 2 取得最大值 20 ， 故 PE PF 的最大值为 19 ； 当 y 0 2 3 时， NP 2 取得最小值为 13 4 3 ( 此时 x 0 0) ， 故 PE PF 的最小值为 12 4 3 . 结束放映 第 18页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 考 点 规律方法 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包 装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 “向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解 决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 (2)工具作用：利用 a bab 0； a ba b(b0)， 可解 决垂直 、 平行问题 ， 特别地 ， 向量垂直 、 平行的坐标表示 对于解决解析几何中的垂直 、 平行问题是一种比较可行的 方法 向量在解析几何中的应用 结束放映 第 19页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 【训练 3 】 已知点 P (0 ， 3) ，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半 轴上，点 M 满足 PA AM 0 ， AM 3 2 MQ ，当点 A 在 x 轴上移 动时，求动点 M 的轨迹方程 设 M ( x ， y ) 为所求轨迹上任一点，设 A ( a, 0) ， Q (0 ， b )( b 0) ， 解 则 PA ( a, 3) ， AM ( x a ， y ) ， MQ ( x ， b y ) ， 由 PA AM 0 ，得 a ( x a ) 3 y 0. 由 AM 3 2 MQ ，得 ( x a ， y ) 3 2 ( x ， b y ) 3 2 x ， 3 2 y b ， x a 3 2 x ， y 3 2 y 3 2 b ， a x 2 ， b y 3 . 把 a x2 代入 ， 整理得 y 14 x 2 ( x 0 ). 得 x x2 3 y 0 ， 所以动点 M 的轨迹方程为 y 14 x 2 ( x 0) 结束放映 第 20页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这 就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识 可以解决某些函数问题 -课堂小结 - 2 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与 函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过 向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域， 是解决这类问题的一般方法 3 解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标 表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题 结束放映 第 21页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作 （见教辅） 结束放映 第 22页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 经典题目再现 【 教你审题 】 结束放映 第 23页 获取详细资料请浏览： http:/ 返回概要 山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作 （见教辅）
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