《简正振动声子杨》PPT课件.ppt

第 1 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.2 三维晶格的振动 本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。 ),.,( npm p 21 一、运动方程及其解 设晶体原胞的基矢为 a1、 a2、 a3； 沿基矢方向晶体各有 N1、 N2、 N3个原胞，即晶体一共有 N N1N2N3个原胞； 每个原胞内有 n个原子，质量为 lp lXR p 个 原胞第 p个原子的平衡点位置矢量为 l第 第 2 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 p 原胞内第 p个原子的位置矢量。 332211 alalalRzyx l ;, 每个原胞中 ， n个不同原子平衡位置的相对坐标为 nrrr , 21 该原子相对于平衡点的位移为 l u p 它沿坐标轴的分量为 l u p lp lXR p 第 3 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 上式是 3nN个相耦合的运动方程组。 ( 1 ),p lp ll l l lm u u u pp p p p 是原子（ l,p）与原 子（ l,p）之间的准 弹性力系数 , 1 , 2 ; , 1 , 2 ; , ,l l N p p n x y z 第 p个原子在 方向的运动方程为 第 4 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为： lpi R r q t p l u A e p piq rppA A e ( 2 )li q R t pAe 第 5 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 将试解代入运动方程，可得到 3n个线性齐次联立方程（ 由于晶格的 平移对称性，使得 3nN个联立方方程组减少到 3n个 ）： njqjj 321 ,),( )(; 32 pp Am 使 pA 有非零解的条件是系数行列式等于零： 由此可得到 3n个色散关系 每个色散关系代表一支格波，共有 3n支格波 。 第 6 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 格波的色散关系中，有 3支当 , 00 q 另外， 3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为 光学支 。 这三支称为声频波， 它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似 下与弹性波类似，称为 声学支 ； 第 7 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 波矢空间以 1 2 3 1 1 2 3l l l l l N l lu u u p p p 二、周期性边界条件确定模式数目 321 bbb , 波矢 q为 为倒基矢，则 )( 4332211 bxbxbxq 根据波恩卡门边界条件 1 2 3 1 2 2 3l l l l l l N lu u u p p p 1 2 3 1 2 3 3 ( 5 ) , l l l l l l l N u u u p p p 第 8 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 或写成 )( 6 33 22 11 ll ll ll RuaNRu RuaNRu RuaNRu 11( ) ( )lli q R t i q R q N a tee 由（ 6）式，得 边界条件表示，沿着 ia 方向，原胞的标数增加 iN 振动情况相同。 33 ( ) ( ) ( 7 ) , ll i q R t i q R q N a t ee 22( ) ( )lli q R t i q R q N a tee 第 9 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 即 )( 81 ii aNiqe 也就是说 1 1 1 1 1 1 2, hq N a h x N 2i j ijab 3 3 3 3 3 3 ( 9 ) 2, h q N a h x N 2 2 2 2 2 2 2, hq N a h x N 应用到关系 第 10 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 321 hhh , 为整数。代回（ 4）式 )( 103 3 3 2 2 2 1 1 1 b N hb N hb N hq )( 4332211 bxbxbxq 代表 q空间均匀分布的点子 . 若 hK 是倒格矢，则 hq q q K lu p 不变。 因此 q的取值可限制在第一布里渊区之内。 第 11 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 , 1 , 2 , 322NN h 个 q值。 3 1 2 3 2b b b 倒空间原胞体积： 原胞 体积 第一布里渊区里共有 1 2 3N N N N 波矢 q的点在布里渊区中的密度为 3 3 31 2 3() 2 2 2 N N N V b b b 第 12 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 如果 q改变一个倒格子矢量 1 1 2 2 3 3mK h b h b h b 从三维晶格行波试解： )( 2tRqi p leA p lu 可以看出， q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系 ，具体表现 在位相因子： lRqie 由于 1 1 2 2 3 32lhR K h l h l h l 不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别。 第 13 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 对第一个波矢 q，有 3n个 )(q j 与之对应，每一组 q, 表示 晶格的一种振动模式，由此可知 三维晶体中振动模式数目为 3nN个。 对于有 N个原胞的三维晶体，每个原胞有 n个原子，每个原子有 3个 自由度，所以晶体的总自由度数也是 3nN。 第 14 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 波矢 q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。第一布里渊区。 晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数 N； 格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和 3nN 。 概括起来，我们得到以下结论： 第 15 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.3 简正振动 声子 理论考虑： 前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解 一维链的振动模，得出如下结论： 晶体中原子的集体振动 -格波，可展开成 简谐平面波 的线性 迭加。 对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间 的相互作用可忽略，形成 独立 格波模式。 在玻恩 -卡门周期性边界条件下，得到 分立 的独立格波模式，可 用 独立简谐振子 来表述。 下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论， 并引入 声子概念 晶格振动中的简谐振子的能量量子。 第 16 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 一、简谐近似和简正坐标 数学处理： 通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量） =动 能 + 势能（化成） =独立简谐振子能量之和 从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学 体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。 上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是 简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。 处理小振动问题的理论方法和主要结果 做为晶格振动这部分 内容的理论基础。 第 17 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 i j n ij m ij r B r AU 0 2 1 在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的 相互作用势能 ),( 321 NuuuUU 取最小值。 相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。 N个原子的位移矢 量共有 3N个分量，写成 原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即 ( 1 , 2 , 3 )iu i N 第 18 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 将 , , N ji ji ji N i i i uuuu UuuUUU 3 1 0 23 1 0 0 2 1 在平衡位置展开成泰勒级数 ),( 321 NuuuUU 因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取 U0为能 量零点，并略去二次以上的高次项，得到 23 ,1 0 1 2 N ij ij ij UU u u uu 上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。 第 19 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 处理小振动问题一般都取简谐近似。 对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐 近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。 在有些物理问题中 就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。 第 20 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 N i ii umT 3 1 2 2 1 为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标 N个原子体系的动能函数为 NQQQ 3,2,1 , 简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系： N j jijii Qaum 3 1 在简正坐标中，势能和动能化成 33 2 2 2 11 11 , 22 NN i i i ii U Q T Q 第 21 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 由上式可得出 正则动量 i i i QQ LP 振动系统的 拉格朗日函数 为： 23 1 23 1 2 2 1 2 1 i N i i N i i QQUTL 于是系统的 哈密顿函数 化成 N i iii QpUTH 3 1 222 2 1 将上式代入 正则方程 i i i QqQ HP i )( 2 第 22 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 NiQQ iii 32102 , 得到 这是 3N个相互无关的 谐振子的运动方程 ，表明各简正坐标描述独立的简 正振动。 s i n ( )iiQ A t 借助简正坐标，将 N个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化 为 3N个独立的谐振子的简谐振动。 其中，任意简正坐标的解为 i ：振动的圆频率 第 23 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系： N j jijii Qaum 3 1 上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。 NitA m au j i ij i 321 ,)s i n ( 当只考虑某一个 Qj的振动时 ，位移坐标可表示为 一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是 表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同。 第 24 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 二、一维简单晶格 说明二个问题： （ 1）简正坐标的引入 前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为 晶格振动等价于 N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动 频率； 根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力 学原理，引入简正坐标是等效的。 第 25 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 )( tq n ai qnq qeAu 表示 第 q个格波引起第 n个原子的位移 ， 而 第 n个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加 在简谐近似和最近邻近似下 ，一维单原子晶格的振动总能量为 212 2121 n nn n n uuumE 势能项 n nnnn n nn uuuuuuU 1 22 1 2 1 22 1 2 1 q q tq n ai qnn q q eAuu )( 第 26 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 势能项 中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变 换一下形式，写成： n nnnn n nn uuuuuuU 1 22 1 2 1 22 1 2 1 i q n a q n eqQNmu )( 1 则 ti q qeANmqQ )( 第 27 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式 q i q n a n qQeNum )( 1 其中 Q(q)就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为 iq n a nq eNa 1 Q(q)是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都 具有平方和的形式。 N j jijii Qaum 3 1 比较，得 第 28 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 为了证明这一点，需要利用以下两个关系式： 1 0 )( * 1 )()( qq N n qqi n ae N qQqQ 第二个关系式 ， 实际就是线性变换系数的正交条件 第一个关系式 可以从原子位移为实数的条件得到 ，因为 i n a q q n eqQNmu )( 1 第 29 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 i n a q q n eqQNmu )(1 也可以写成 因为原子位移 un为实数，所以 *nn uu 比较上面两式，可得 )()( * qQqQ 把上式两端取共轭 i n a q q n eqQNmu )(* 1 i n a q q n eqQNmu )( 1 第 30 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第二个关系式 ，线性变换系数的正交条件 当 q q时， llsNa sqq ,2 当 q=q时， 1 0 )(1 qq N n qqi n ae N 显然成立。 s为整数，故有 第 31 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 211 () 00 11NN i n si n a q q N nn eeNN 利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式。 21 0 1 ()N is nN n eN 2 / 2 2/ 11 01 i s N is is N ee Ne 利用等比级数前 n项求和 公式 第 32 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 晶格动能： n numT 2 2 1 当 qq 时 11 )( n qqi n ae N q qi n a n q i n a q eqQeqQ Nmm )()( 1 2 1 11 )( n qqi n ae N n qqi n a qq eNqQqQ )()()( 121 第 33 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 有 q qq qQ qQqQqQqQT 2 * )( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 22 2 1 2 1 2 1 )( qQ uuU q q n nn 同理可求出晶格势能 ： 其中 aqmq c o s1122 是一维简单格子的色散关系。 第 34 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 这样可以写出晶格振动总能量如下： N q q qQqQE )()(21 22 . 2 至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明 Q(q)确实 是系统的简正坐标。 第 35 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 引入简正坐标以后： 晶格振动的总能量可以表示为 N个独立简谐振子的能量之和。 这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑 : 实际坐标空间的 N个相互作用的原子体系的微振动和 简正坐标所构成的态空间中 N个独立谐振子 等效 第 36 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 三、声子 根据量子力学对谐振子的处理，频率为 q的谐振子的能量本征值是 2,1,0,)21( qqqq nn 所以晶格的总能量 q qq N q q nE )21( nN i ii nE 3 )21( 上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为 第 37 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 引入声子的概念 ： 由于格波的能量是以 为单位量子化的，通常把这个能量量 子称为 声子 。 q 声子是玻色子 ： 声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所以我们可以 把声子看成是一种 “ 准粒子 ” 。由于同种声子（ 和 q都相同的声子 ） 之间不可区分而且自旋为零， 声子是玻色子 。 平均声子数： 由于对每个声子能级 ，声子的占据数没有限制，声子遵 从玻色统计，对 能级的平均占据数由普朗克公式给出： )(qi )(qi 第 38 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 1 1 Tki Bieqn )( 声子的准动量 声子不仅是一个能量子，它还具有 “ 动量 ” 。 波矢 q的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的 波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称 为声子的 准动 量 。 q 第 39 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便： （ 1） 简谐近似下晶格振动的热力学问题就可 看做由 3nN种不同声子 组成的理想气体系统 处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声 子气体。 （ 2） 光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、 电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化。 （ 3） 元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固 体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体运动状态的的激发单元常称 为元激发。相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发 的理论方法是相类似的。 第 40 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.4 晶格振动谱的实验测定方法 除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝 大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定。 一、定义： 晶格振动谱就是格波的色散关系 （ q），也称声子谱。 实验测定 （ q） :粒子与晶格振动的非弹性散射 中子、光子等与声子的碰撞。 当 中子、光子 入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以 为单元交换能量。使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态。用声子 概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子。 第 41 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类 ： 光子散射方法，中子散射方法。 二、光子散射 设入射 光子的频率为 ，波矢为 k，与 频率为 、 波矢为 q的声子 碰撞后，光子的频率和波矢分别变成 k, 碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒。 )2( )1(, kqk 两种过程： 吸收声子过程： 第 42 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 以上四式可化成以下两式 )(. )(, 6 5 qkk )4( )3(, qkk 产生（又称发射）声子过程： 第 43 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 当入射光的频率 及波矢 k一定，在不同方向 (k 的方 向 )测出散射光的频率 ，由 与 的差值求出声子频 率 ， 由 k与 k 的方向及大小求出声子波矢 q的大小及方向， 即可求出晶格振动频谱。 实验方法： 第 44 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化 : 光被长声学波的散射称为布里渊散射。由于长声学波的能量非常小， q 0 （不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非 常小，可以近似认为 kk 即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得 )7(2s i n2 kq k q k 波矢 q的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由 kk 方向决定。由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱 第 45 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 )6()( qvq p 其中 是晶体中的声速。 pv 喇曼散射： 光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散 射。 由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学 波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大。 )(. )(, 6 5 qkk 第 46 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 三、中子散射方法 中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律。 设中子的质量： m， 入射中子的动量： P， 散射后中子的动量： p 由散射过程中能量守恒，得 )7(22 22 mpmp 由动量守恒，得 )8()( pKqp h 第 47 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 )7(22 22 mpmp )8()( pKqp h 号对应吸收一个声子的过程， 的两声子是等价的条件。 hKq 动量守恒中利用了波矢 q与波矢 ,0hK 倒逆散射过程或 U过程。 ,0 hK 正常散射过程。 号对应发射一个声子的过程。 第 48 页 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 221 ( 9 ) 2 ppm 由（ 10）式 求出波矢的模 由（ 9）式 求出频率 ，即可确定出某方向上的振动谱 ).(q 对于正常散射过程 ，由（ 7） 和（ 8）两式分别得 1 ( 1 0)q p p 与 p p 的夹角 求出波矢的方向 由