资源描述
浙江工商大学数学分析（I）课程考试试题,适用专业:数学,计算浙江工商大学2010 /2011学年第一学期考试试题(A卷)课程名称：数学分析（I） 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级名称： 学号： 姓名： 题号 一 二三四五总分 分值1010103535100得分阅卷人一、判断题 （每空2分，共10分）(1)若对任意的, 至多只有有限项满足, 则收敛于.( )(2)如果极限存在, 则函数在点连续. ( )(3)可微函数在点取极值的充分必要条件是.( )(4)若, 则曲线必不存在水平渐近线. ( )(5)有理函数总存在初等函数的原函数. ( )二、选择题（每题2分，共10分）(1) 设 为单调数列，若存在一收敛子列，这时有( )A. ；B. 不一定收敛；C. 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立 (2) 设在R上为一连续函数，为一区间则有( )A.当为开区间时必为开区间；B.当为闭区间时必为闭区间；C.当为开区间时必为开区间；D.以上A. B. C都不一定成立 (3) 设在某去心邻域内可导这时有( )A.若存在，则；B.若在连续，则A成立；C.若存在，则；D.以上A. B. C都不一定成立 (4) 若，则，使得当时，必有( )A. 单调递増； B. ；C. 若存在，则A成立； D. 以上A, B, C都不一定成立(5) 下列等式中成立的是 .A. B. C. D. 三、填空题（每空2分，共10分）1.设, 则极限_ .2. 无穷小量当时的阶为_ , 主要部分为_ .3. 已知, 则_ .4. 曲线在处的切线方程是_ . 5设一曲线的切线斜率为, 且经过点, 则此曲线方程是_ . 四、计算题（每题7分，共35分）1） (2)写出在点的带有皮亚诺形余项的泰勒展开式。 (3) (4) 设存在,且，求的值.。（5）求。五、证明题（每题7分，共35分）(1) 设在上都连续试证：若，则必存在，满足(2) 证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：,其中 均为正数(3) 证明存在，并求出它其中（4）设在上可导，如果 求证：。（5）叙述致密性定理、Cauchy准则并用致密性定理证明Cauchy准则。浙江工商大学2010/2011学年第一学期（ A卷）答案一、判断题 （每空2分，共10分）1、 2、3、 4、 5、二、选择题（每题2分，共10分）1A 2. C 3.B 4.B 5.D三、填空题（每空2分，共10分）1、 2、 3、 1 4.、 5. 四、计算题（每题7分，共35分）(1) 因为 , 为有界量, (4分)所以原式 (7分) (2) （2分） （4分） = (7分)（3）由 （2分） （4分） （6分）所以 （7分）（4）解：由题知在的某邻域，连续且。 （1分） 因为 （3分）所以 （5分）又 存在，由罗必塔法则 （6分）所以 。 （7分）（5）令, 则 (2分) (4分) (6分) (7分) 五、证明题（每题7分，共35分）（）只需引入辅助函数：易知在上连续，满足，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在，满足，即 （7分）（）的定义域为，在其上满足：， （2分）所以为一严格凸函数根据詹森不等式，对任何正数，恒有 （6分）最后借助函数的严格递增性，便证得不等式 （7分）（3）（i）归纳证明，假设其成立则 （2分）（ii）单调递增，这是因为关于单调递增，故由（i） （4分）故由单调收敛定理极限存在，令，则，所以 （7分）（4）先设,因为 （2分）故, 根据罗必塔法则 （4分） 同样可证的情况. （5分） 对于的情况, 可设, 则有，由上面的讨论得到，. 即 . （7分） （5）致密性定理: 有界数列存在收敛子列。Cauchy收敛准则：Cauchy数列等价于收敛数列。 （2分）只须证明Cauchy数列为收敛数列。令为Cauchy数列，则易证为有界数列，从而存在收敛子列，故， 。 （4分） （不妨设），。此时 。 （6分）此即。 （7分）第 10 页 共 10页
展开阅读全文