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直线和平面所成的角直线和平面所成的角 平面的一条斜线和平面的一条斜线和它在平面内的射影所成它在平面内的射影所成的锐角，叫做的锐角，叫做这条直线这条直线这条直线这条直线和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，分别指中，分别指出对角线出对角线A1C与六个面所成的角与六个面所成的角.AC1B1A1DCBD1练练 习习AlBODl是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂足，是垂足，OB是斜线是斜线l的射影，的射影，是是斜线斜线l与平面与平面 所成的角所成的角.与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？CAlBOD 与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？在在RtAOB中，中，在在Rt AOC中，中，ABAC，sinsinAODAOD 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成斜线和平面所成的角，是这条斜线和的角，是这条斜线和平面内任意的直线所平面内任意的直线所成的一切角中最小的成的一切角中最小的角。角。C最小角原理最小角原理例题例题 .如图，在如图，在Rt ABC中，已知中，已知 C=90，AC=BC=1，PA平面平面ABC，且，且PA=，求，求PB与平面与平面PAC所成的角所成的角.PACB例例1解：解：PA 平面平面ABC PABC 平面平面PAC又又AC BC PA AC=1,PA=PC=平面平面ABCBC 平面平面PACAC=A PB与平面与平面PAC所角为所角为BPC又又BC=1，tan BPC=BPC=30 C A PB11即即BP与平面与平面PAC所成的角为所成的角为30 .如图，如图，AO是平面是平面的的斜线，斜线，AB 平面平面于于B，OD是是内不与内不与OB重合的直重合的直线，线，AOB=，BOD=，AOD=，求证：求证：cos =cops cos ABODC 证明：设证明：设A在平面在平面内的内的射影为射影为B，则，则B必在必在OB上，过上，过A作作ACOD于于C,连结连结BC,易得易得BCOC.cos =cos =cos =cos cos =cos 例例2 .线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘米，厘米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成角的所成角的余弦值。余弦值。MNMNMNMNOOMOM就是就是MN与与所成的角所成的角移出图移出图移出图移出图MNNMO614MMONN614例例3 .如图，已知如图，已知Rt ABC的的斜边斜边BC在平面在平面 内，两直角边内，两直角边AB.AC和平面和平面 所成的角分别为所成的角分别为 45 和和 30，求，求斜边斜边BC上上的高的高AD和平面和平面 所成的所成的 角角.OD ABCD例例41.两直线与一个平面所成的角相等两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗它们平行吗？2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？两平行直线和一个平面所成的角相等吗？3.AO与平面与平面 斜交，斜交，O为斜足，为斜足，AO与与平面平面 成成 角，角，B是是A在在 上的射影上的射影,OD是是 内的直线，内的直线，BOD=30，AOD=60，则，则sin =。（不一定）（不一定）（相等）（相等）练习练习4.已知斜线段的长是它已知斜线段的长是它在平面在平面上射影的上射影的2倍，倍，求斜线和平面求斜线和平面所成的所成的角。角。ABO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB的的两倍，求两倍，求AB与平面与平面所成的角。所成的角。5.在正方体在正方体ABCDA B C D 中，中，E.F分别是分别是A A.AB的中点，求的中点，求EF与面与面A C CA所成的角所成的角.（60 ）（30 ）作业作业课本课本P38第第6例例 4求求直线与平面所成的角，关键要找到直线与平面所成的角，关键要找到所所要求要求的角的角小结小结 将矩形将矩形ABCD中的中的 ABD沿沿对角线对角线BD折折起，使起，使A在平面在平面BCD上的射影上的射影O在在CD上，若上，若O恰为恰为CD中点，求折后直线中点，求折后直线AB与平面与平面BCD所成的角所成的角.DABCADEBCO思考题思考题
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