量子力学试题

量子力学试题（一）及答案（20分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中V 0=卜|3,0 x ax a中运动，若t = 0时，粒子处于W（x,0）=2 1-心 2% x状态上，其中，中 .O为粒子能量的第n个本征态。（1）求t = 0时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求t 0时的波函数Wx,t）及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为E =2T n 2,n = 1,2,3, An2ma 2% n Of |Sln 耳 X（1）首先，将w 0时的波函数为,exp - E t +I门2 )bxp. - + J -4 中门 1exp -E 31(3)由于哈密顿量是守恒量，所以t 0时的取值几率与t = 0时相同。二. (20分)质量为m的粒子在一维势阱gx 0V(x)= - V ,0 x a中运动(V0 0)，若已知该粒子在此势阱中有一个能量E = V0的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于E = -? mV玉 0三.（20分）设厄米特算符片的本征矢为时,构成正交归一完备系,定义一个算符(1)计算对易子U(m,pnq(2)(3)证明 U(m, n)LJ + (p, q)=8计算迹TrA U(m,n)mnpq（1）对于任意一个态矢|w），有HE(4)若算符人的矩阵元为A=（cp |A|（p ）,证明mn m nfzA解:=HU (m,) 一 U(m,n)H 0时的波函数；（2）求出t 0时5与S乙的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为H =顼B = -y B s = _y Bo门6 三握 0 z 2 zz在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为E=， 虬）+;E 2 =-,g 2;=卜：在t=0时，粒子处于sz=2的状态，即|w G) = |+;而a满足的本征方程为f01 f a :=xf a 1 0V UJb kJb kuJ解之得由于，哈密顿算符不显含时间，故r 0时刻的波函数为f i exp -Etk n 1J（2）因为k,szL 0，所以sz是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算t = 0时sz的取值几率就知道了 t 0时sz的取值几率。由于=三,0 = 2 ； Wfs2J-n，4 =2 J故有而sx的取值几率为；.+iwQX+ | + (-M exP-Er|+ + exp -门1 J II-；2 = cos2 BLt2f i 一 exp - E t + exp -2 L k n 1J=sin2 Blt2五.（20分）类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为V（r）=-竺（Ze为核电荷）r当核电荷变为（Z + 1）e时，相互作用能增加布=空，试用微扰论计算它对能量 r的一级修正，并与严格解比较。解：已知类氢离子的能量本征解为Z 2 e 2 E o = E o =nlm n2n2 ao n1m.式中，a0 =-H_为玻尔半径。能量的一级修正为1 , E（i） = :n1m|W|n1m: = e2 nl n1 ：由维里定理知T = 1V2总能量令；n1|加1；-1 - E =T+V=-V=n2所以，得到.12 EZe 2EG) = e 2 -n |n = n = , n = 1,2,3, A0微扰论近似到一级的能量为Z 2 e 2Ze 2n2n2 an2a00而严格解为E (Z +1)2 e 2 Z 2 e 2 Ze 2 e 2n2n 2 a2n 2 an 2 a2n 2 a0000=0时能量的取值几率-I-I +1,A量子力学试题（二）及答案一、（20分）在，=0时刻，氢原子处于状态中（P,0） = C 】（）+仙2片式中，v （F）为氢原子的第个能量本征态。计算r n与平均值，写出t 0时的波函数。解：氢原子的本征解为E =一上n2 T| 2 2v （F）= R （r）Y （9 , 时，波函数为i i exp -e t3：8乙,i i - 3 exp / J、8v(P)exp二、（20分）设粒子处于一维势阱之中8, y (x)十y ,式中，v 。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的v 值。解：对于E 的情况，三个区域中的波函数分别为(x)= |(x )= A s2 (x )= B exp (3其中，.J2 m (E + V )nJ2 m|En利用波函数再x = 处的连接条件知，n = ,1,2, A在x = a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件W （Q ） = W （。）W ：（G ） = W 3（Q ）23得到A sin （kci + 兀）=8 exp （-a。）Ak cos （ka + nTi ） = - B ct exp （-a。于是有7ktan ka - 一a此即能量满足的超越方程。由于，余切值是负数，所以，角度引在第2、4象限。超越方程也可以改 写成Isin （ka ） =k ao式中，J2 r Vk = y.q_or|因为，sin （ka ） kao网(ka)| = 1 ,于是，有h i 7Ck a =匕 J2 叩 一o r|o 2整理之，得到71 2 r| 28日。2三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为1 d2p 2 m 2 门 2 2 1 d p 2 八d ) p 2 + _ m2 i门2 Id x )，在动量表象中，该哈密顿算符为2由于动量的本征函数为0 （p - p七故哈密顿算符的矩阵元为11d2 L (p 2 -_ m w 2 门 2 10 卬-p 2 m2d p 2 J-81 ()1. 尹、L()、p 几一 m w 2门 2Io、p p、， 2 m2d *，)I四、（20分）设两个自旋为 非全同粒子构成的体系，哈密顿量 2H = cf - f，其中，C为常数，与$分别是粒子1和粒子2的自 旋算符。已知*=时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自 旋沿七 轴的正方向，求* 时测量粒子1的自旋处于七轴负方向的几率 和粒子2的自旋处于七轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为H = Cf - f = C （S 2 顶 2 -顶 2 ） 12212选择耦合表象，由于S = ，1，故四个基底为1-1）； 13 =叩）；|4=|。在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵即11-3，可以直接写出它的解为IE = I+)E =2C=平,4g 2；= III 一3； = I】。：=土 （S 4； =。；= 士 U+-I-+；|w（。）= I- +1。- |。已知t =。时，体系处于因为哈密顿算符不显含时间，故t。时刻的波函数为|w (t) = exp 一 E |1。)一 exp 一 E |。V2 I V n 3 Jk n 4)-：+ :expI- +：exp粒子1处于轴负方向的几率为w 1 m = - 2,t) = |(- - |w(t)|2 + |- + |w (t)|2 =expkexpexpi八一一 C n t + expk 2)cosCn而粒子2处于M轴负方向的几率为W V S 2 m 一*卜1(- - lv (t)I2 + |(+ - |w(t )|2 =1212expVexpVexpexp( 5 c n tV2 )sin五、（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为2h。=上+v（尤）时，能量本征值与本征矢分别为e。与| ：，如果哈密顿算符变成H = H +X p （入为实参数）时， 0 H（1）利用费曼一海尔曼定理求出严格的能量本征值。（2）若入 = 1(n lp ln)又知x，亍 + a p1顷一 ix,i门i门日在任何束缚态n下，均有1xH-Hx n所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用a = 0时，H定出积分常数最后，得到H的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。人已知H 0满足的本征方程为可知E 0nn)xmnPmn第k个能级的一级修正为能量的二级修正为E（i）kknnkE 0 一 E 0kk人R Pkk(e 0E k0 一 E 0E0kxnk为了求出上式右端的求和项，在H0表象下计算(xp) = x pkkkn nk i 门kn kn nkn nk= -R(e 00xnk I可以证明，对于任意实束缚态波函数| k ）I xp )kk于是，得到(E 0nn / k一 E 0 ).kXk 2门22 R得到E( 2 )=人2叩一2人2一k近似到二级的解为叩2 2日2日量子力学试题（三）及答案、（20分）已知氢原子在t = 0时处于状态i r i ） 2，0（ i ）W 3,。）=三甲（x）八一三甲（x）1 +=-甲an3 2 10） 3 1 11） 3 3 0）其中，cp n（x）为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率 与平均值，写出t 0时的波函数。解已知氢原子的本征值为R。4 1（1）E = ， n = 1,2,3, An 2h2 n2将t = 0时的波函数写成矩阵形式W (x,0)=(x )+丰也(x )2一 3 P（2）(x )1利用归一化条件id2 r dx 3览 G)2一就(x)-（3）i2=9 c于是，归一化后的波函数为,：9W (x ,0)=、(x)(x)+2 -P 7 3，、入（x）（4）(x)能量的可能取值为气,E2, E3，相应的取值几率为（5）w (e ,0)= 4;W (e ,0)= 4;W (e ,0)=-172-能量平均值为E(0) = 4 E +1E + - E =717273些 4 X1+1X1+2 X17 1 7 4 7 92h 2161四酉504h 2（6）h h自旋z分量的可能取值为h, - h，相应的取值几率为2 2h )1 23rh 、ws = _ ,0=1=；ws=,0I z 2 J7 77vz2 )47(7)自旋z分量的平均值为14（8）t 0时的波函数(x)exp+净3(x ) exp-Ah3（9）(x)exp二. （20分）质量为m的粒子在如下一维势阱中运动V。 0）3.V (x)=-%,0.0，若已知该粒子在此势阱中有一个能量E = -V的状态,试确定此势阱的宽度a解 对于-匕 E 0的情况，三个区域中的波函数分别为W G)=0（1）W Esin(x + 5) W(x)= B exp(-ax)I 3其中，k = ：2m(E +V0)；_ v2mEi（2）利用波函数再x = 0处的连接条件知，8=机，n = 0,1,2,A 。在x = a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件（3）W （a ）=W （a）W （a ）=W （a）23得到A sin(ka + n丸)=B exp Qaa) Ak cos(ka + n兀)=-Ba exp (-aa )于是有tan a )=-（5）此即能量满足的超越方程。由于(6)E 0 a = n兀一?(n = 1,2,3,A )(7)最后得到势阱的宽度（8）三、（20分）证明如下关系式.一.一一 一-一 r r r（1）任意角动量算符J满足j x j = ihj。证明对x分量有=j j j j =ih/y z z y x同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符、=|n）（n|是一个厄米算符，其中，川）是任意正交归一的完备本 征函数系。证明 在任意的两个状态|w；与|必之下，投影算符p n的矩阵元为冲 |p n = win；n 甲;仲 |p： |甲)二(W 佬 1平=pn )* =而投影算符p的共朝算符p +的矩阵元为 nn福 |n)(n|w)=(甲 |n)* n |w)* = (w |n)(n|“显然，两者的矩阵元是相同的，由w ；与|史的任意性可知投影算符p是厄米算符。利用 W*。舄(x) = 8(x-x)证明(xp ) = x (p )，其中，/ (x)为 kkx mnmk x knkkk任意正交归一完备本征函数系。证明(x )=(xp) ) = j d xW * (x ) xp) wj dxw * (x)x j dx 5 (x一 x) j) W (x)=S一8j dxw * (x)x j dx 5 (x - x)p W (x，)=一8-8j dxw * (x)x j dxw* (x )w (x)p w (x)=-8-8k j dxw * (x)xw (x) j dx w * (x，)p w (x)=-8-8 x (p )mk x kn k四、(20分) 在L与L表象中，在轨道角动量量子数l = 1的子空间中，z分别计算算符L、L与L的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。x y z解 在L与L表象下，当轨道角动量量子数l=1时，m = 1,0,-1，显然，算符L、L与L皆为三维矩阵。 x y z一 人 一. .由于在自身表象中，故L是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是z相应的本征解为=h;=0;r1)虬=00.7r 0)lw。)=10v7/r 0)队1)=0117(2)对于算符L、 L而言，需要用到升降算符，即 x yL =1 如 + L)x 2+-1G- L)(3)L|im = h(l (/ +1)- m (m 土 1)(4)(5)(6)当l = 1,m = 1,0,-1时，显然，算符L、L的对角元皆为零，并且X y,人，、，人，-：；1,-1| LJ1,1； =；1,-1|匕 |1,1；=0：1,1| Lx |1,-1： = ;1,1| L1,-1； = 0只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即.X ih(1,-1 勺 |1,0)= (1,01% |1,-1) = (1,0|匕 |1,1 = (1,1|勺 |1,0)=金(1,0| (L-1)=siq1,0)=妲 (1,-1| Ly |1,0)= (1,01 Ly |1,1) = *于是得到算符L、L的矩阵形式如下f 0 1 0f 0 -i 0、- h1 0 1；L =下i 0 -iy J20 1 00 i 0h丁 L满足的本征方程为yf 0-i0 )f c )f c )11i0-ic=人c220i0 ,cc33n(8)相应的久期方程为将其化为-人i n420i n 丁-人i n-TT=0（9）0i n T7T-人人3 -n 2 人=0（10）；人=0；X =-n（11）得到三个本征值分别为n将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为（12）c L x满足的本征方程为f010、f c )f c )11101c=Xc22010cc33h（13）相应的久期方程为-Xh0hvT-XhVT0h-X将其化为(15)得到三个本征值分别为人2 = 0；人3-n(16)将它们分别代回本征方程得到相应的本征矢为（17）五、（20分）由两个质量皆为h、角频率皆为的线谐振子构成的体系，1也=玄加上微扰项* I X 1 x 2（ X 1，X 2分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为式中，其中其中xna = .：竺体系的哈密顿算符为已知H 0的解为 = S + p 2 )+ 1 呻2 J + X 202h 12212八AW = -X x x12E 0 =(n + 1扁v G, x )=中na 1 2n11n22（1）（2）（3）n , n , n = 0,1,2, A a= 1,2,3,A , fn将前三个能量与波函数具体写出来Eo = h； w = ( ) (x ) Eo = 2h， w =中(x)中(x )12 1 (1 0 If )E0 = 3h，w =中(x)中(x)W22=，;231112对于基态而言，n = n = n = 0 , f = 1，体系无简并。（5）利用公式In +1g2m ,n+1（6）可知/、JII,_E1 = (w 0|W |w)= 0E (2 ) = ZZ fn 叩0闸W叩阿W0； 0n 圭 0 a=1（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有W0 闸W23 =W23 时W0： = -会（8）于是得到基态能量的二级修正为（9）E （2 ）=1=-上0E0 E0 4a 48旦2必 3第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为W - E (1)W21W31W12W - E G)222W32W13W = 0W33 - E1（10）其中=W = 021入=2a 2町=W2 = W3 = W12W = W = W = W13312332将上式代入（10）式得到（12）-E（1）20入-E（1）2入,=J2以2入（2a 2入v2a 2-E（1）2整理之，E。）满足2（13）-（e（1） + 屈 E（1）= 02 a 4 2于是得到第二激发态能量的一级修正为、人人（14）E 0 = -一;E O = 0; E 0 = 一