求通项公式专题

通项公式求解措施大全:我目前总结出几种求解数列通项公式的措施,但愿能对人们有协助。一、观测法已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观测分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一种通项。例1.已知数列试写出其一种通项公式：_（答:）例2、(1）观测数列的构造特性，每一项都是一种分式,分母是数列2，8，16,32，,可用项数表达为分子是数列1,7,5，1, 每一项比相应的分母少1，可用项数表达为因此，所求的数列的通项公式是（2)这个数列即：其构造特性是：分母与项数相似；分子是2加上或减去l,即各项的符号为负、正相间,即为因此,所求的通项公式是(3)观测数列的项,这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为:分母、分子各自成等差数列,显然,其通项公式为（4)每一项都是项数的平方加上1,其通项公式为(5)通项公式是()仔细观测各项，不难发现其项与项之间有如下规律:二、递推公式法类型1 解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解。例1 已知满足,并且，求通项。解 是首项为,公差为2的等差数列， 例2. 已知中,，求通项。解 由已知可得 ， 令，代入后个等式迭加,即 。例3.在数列中，=1，(=、3、4) ，求的通项公式。 解： 这n-1个等式累加得:= 故 且也满足该式 （).类型2 解法:形如 （n=、3、4)，且可求，则用累乘法求。例1、 已知满足,而,求通项。解 是常数， 是以2为首项,公比为的等比数列。 例2、在数列中，=1，求。解：由已知得 ，分别取n=1、2、(n-1),代入该式得n个等式累乘，即=(-）（n1)!因此时，故且=1也合用该式 （).例3、在数列中,求通项公式。解法一: 解法二：由 类型3 （其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。例1、 数列中，,对于有,求通项。解法1 由已知递推式得 两式相减得 因此数列是公比为3的等比数列,其首项为 解法2 上法得是公比为3的等比数列,于是有把个等式相加得。解法3 设递推式化为 整顿比较得,即 于是得 因此是公比为3的等比数列,其首项为 ,即。解法4 评注 解法、2、3称为构造法,但法与法3构造出的等比数列不同,各有千秋;解法4称为迭代法，对诸多递推式求通项公式都合用,应认真理解掌握。类型（其中p，q均为常数,)。 (或，其中p,q, r均为常数) 。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列（其中),得:再待定系数法解决。例1、 已知中,，求通项解 在两边同乘以得 ,令 则 类型5 递推公式为（其中p,均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特性根法):对于由递推公式，给出的数列,方程，叫做数列的特性方程。若是特性方程的两个根,当时,数列的通项为，其中A,B由决定（即把和,代入,得到有关A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A,B由决定(即把和,代入，得到有关、B的方程组）。措施：变形为,即，若有解,解得，于是数列是公比为的等比数列,即转化为前面的类型,从而达到求解的目的。例1、 已知数列中,，求解：由, 故化为 因此数列是公比为的等比数列，首项是 因此， 因此 类型6.递推式为。例1、 在数列中，表达其前项的和,且，求通项。解 当时,。 当时，,又，故类型7 递推公式为与的关系式。(或)解法:这种类型一般运用与消去 或与消去进行求解。例1、 在数列中，表达其前项的和，且，求通项。解 由 两式相减得 即 因此数列是觉得首项,觉得公比的等比数列,故得。类型 解法:这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令,与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1数列：，求.解:设，将代入递推式，得(1）则，又，故代入(）得阐明：(）若为的二次式,则可设;(2)本题也可由 ,（)两式相减得转化为求之类型9解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。例1、 在数列中,，求通项公式。解 由题意知数列中的各项均为正数，即，对等式取以3为底的对数，得,则有，进而可知数列是觉得首项,以2为公比的等比数列,则,故。类型10解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例1、 在数列中，当时，求通项。解 由, 因此是觉得首项，觉得公差的等差数列。 因此，即。评注:在递推关系，若，对其取倒数后得到等差数列；若，取其倒数后得到一种新的递推式，其解法于后。例2、 已知数列中,其中，且当n2时，求通项公式。解将两边取倒数得:，这阐明是一种等差数列,首项是，公差为2,因此，即.类型 解法:如果数列满足下列条件：已知的值且对于,均有（其中p、r、h均为常数,且),那么，可作特性方程，当特性方程有且仅有一根时，则是等差数列;当特性方程有两个相异的根、时，则是等比数列。类型1 不动点法 对于数列，是常数且) 其特性方程为,变形为 若有二异根，则可令(其中是待定常数），代入的值可求得值. 这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得 若有二重根,则可令(其中是待定常数）,代入的值可求得值 这样数列是首项为,公差为的等差数列，于是这样可求得例1.已知数列满足,求数列的通项.解:其特性方程为，化简得,解得,令 由得，可得，数列是觉得首项,觉得公比的等比数列，.例2.已知数列满足，求数列的通项.解：其特性方程为,即，解得，令 由得,求得，数列是觉得首项，觉得公差的等差数列,.类型3或解法:这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。类型4双数列型解法:根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等措施求解。类型15周期型 解法：由递推式计算出前几项,寻找周期。三、换元法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故,代入得即由于，故则，即,可化为,因此是觉得首项，觉得公比的等比数列,因此，则，即，得。评注：本题解题的核心是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。