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高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第卷(必做题,共16分)一、填空题:本大题共1小题,每题5分,共70分.1.已知集合,,则 2已知复数z-i3,其中i虚数单位,则z的模为 .YN开始S 0,n100n),离心率e,F为椭圆右焦点若椭圆上有一点P 在轴的上方,且PFx轴,线段P(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点的直线(不通过P点)与椭圆交于,B两点,当的平分线为时,求直线A的方程.F0BPAlyx8(本小题满分6分)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A沿AB,AC方向修建两条小路,休息亭P与入口的距离为米(其中a为正常数),过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交两条小路于E、处,已知,(1)设米,米,求y有关x的函数关系式及定义域;AOBOCOPO(17题图)FE(2)试拟定E,的位置,使三条路围成的三角形AE地皮购价最低19.(本小题满分1分)已知函数.()当时,求函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,且,求证:;(3)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范畴20(本小题满分1分)已知为等差数列,n为等比数列,公比为q(q)令=|ak=b,kN*()若=1,2,当a=n,求数列b的通项公式;设a0,0,试比较n与bn(n3)的大小?并证明你的结论.()问集合A中最多有多少个元素?并证明你的结论高考模拟试卷(6)数学(附加题)21【选做题】本题涉及A、B、C、四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.A选修:几何证明选讲(本小题满分1分)ABCDPO(第21题(A)如图,圆O内接四边形ABD,直线PA与圆O相切于点A,与D的延长线交于点,ADBCDPA,求证:ABC. B选修2:矩阵与变换(本小题满分1分)二阶矩阵相应的变换将A变换成A1B1C1,其中ABC三个顶点坐标分别为A(1,-)、(-2,1),C(2,2),1BC1中与A、相应的两个坐标分别为A(-1,1)、B(0,2).求C1点的坐标.选修4:坐标系与参数方程(本小题满分1分)若两条曲线的极坐标方程分别为sin(+)与2sin(+),它们相交于A、两点,求线段AB的长D选修45:不等式选讲(本小题满分0分)求证:对任意x,yR,不等式xxy+23(xy-1)总成立【必做题】第22题、第23题,每题0分,合计20分.请在答卷纸指定区域内作答2.(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;(2)当与平面所成角的正弦值为时,求的值3(本小题满分分)设函数f(x)=1+x+x2+x,N*. ()求证:当x(,)时,xfn(); (2)若x0,且ex=f(x)+xn1ey,求证:yx.高考模拟试卷(6)参照答案数学一、填空题: 2. 解:=i31+i1i,因此| z |.3348 解:由于高二学生总数1180人,抽到1人,故抽了0%,因此高三学生抽到的人数为120,高一抽到的人数为11,共48人. 解:由题意抛物线定义可知,,因此,即焦点到准线的距离为6.586 解:由题设可知,S10+9+8+20=4860.6 解:由体积得球半径R=1,三棱柱的高为,底面边长为2(2)22=6.7 解:将的图象向左平移个单位得到,由于图象有关直线对称,因此,因此,即,,因此的最小值为.O55(60,60)8. 解:设两人达到地的时间分别是7点边分和7点过n分(0m、n6).用数对(m,)表达两人分别达到A地的时间.则在直角坐标系中,点(,n)的存在域是一种边长为0的正方形,其面积为360.两人可以在当天一同去A地等价于|-5此时,相应点的存在域是正方形中位于两直线mn=之间的部分区域(如图),其面积为36-552=5.故所求概率为.9. 解:圆的半径,由于为等边三角形,因此圆心到直线的距离.因此,解得.0 解:令a,b.则|b,a、b的夹角为6于是,|+t=|a+ b|22+b22 t ab=t2t+=(t+)+因此|t.11.或 解:令,则.若,由于没有最大值,因此符合;若,由于,要使原函数没有最小值,必须,解得5 解法一:由a1aa2a32a1a及1=,a=,得3=,再由a1a+a23 3a4=3a1a,.进一步得a5=,a6=, a7,a,a10=,故+4+5+6+789+10+111+185解法二:由a12+aa3+na+1=a1an+1 ,1a2+a23+aa1+1a+2=(n+1)a1 an+2 ,得,1n+2=(n+1)a1n+-a1 an+1-=+,(n2),则aa2+232a1a=,因此数列成等差数列,公差为1,即n+3,an代入可得+13 解:由对称性,只需当时,有两解即可.即在时有两解.设,由得在(0,)上递减,在上递增.由图可知,因此.1. 解:由条件,.由于,因此,因此,因此.而,因此.由,得,即,因此二、解答题:5解:(1)当,时,,又,因此,若,则,即,解得 分(2)由于,,因此,由于,因此,则,因此, 故当或时,的最大值为 14分16证明:(1)ABC,点F是线段BC的中点,A2分又平面底面,AF平面AB,平面底面,F平面 5分又C平面,AFC1,又CCDD,AFDD7分(2)连结B1与BC1交于点,连结EM,EBAE(第15(2)题图)B1A1C1MCFDD1在斜三棱柱中,四边形BC11是平行四边形,点E为B1C的中点点是BC的中点,E/1B,FE1B.10分又点是平行四边形BC1B1边AA1的中点,M/B1B,AMB1BAM/ FE,AME四边形AFEM是平行四边形.M / A12分又M平面BC1,AF平面BC1,AF/平面MBC114分17解:(1)设右焦点,由轴,设代入椭圆方程,即得,因此, 联立, 分解得,因此椭圆方程为,右准线的方程为 6分(2)设,则直线的方程为,即,联立 消去,即得(), 9分又为方程()的一根,因此另一根为,又点在椭圆上,因此满足,代入另一根即得,因此由(1)知,点 则直线的斜率,直线的斜率, 2分当的平分线为时,的斜率,满足,因此,即,因此,故直线AB的方程为xy-10. 1分18(措施一)(1)由得,且由题可知因此得即因此由得定义域为 6分(2) 设三条路围成地皮购价为元,地皮购价为k元/平方米,则(为常数),因此要使最小,只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号因此,当时,最小,因此最小答:当点E距离点米远时,三条路围成地皮购价最低14分(措施二)(1)由得,设中,由正弦定理因此同理可得由即整顿得,由得定义域为 6分 (措施三)(1)以所在直线为轴,点为坐标原点,建立如图直角坐标系,则,,由,得,因此由于与共线因此因此由得定义域为 分9解:(1)当时,令或,令,因此的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则在上有两个不等的实根,设,因此因此在上递减,因此即 (3)由题意知:只需成立即可. 由于,因此,由于,因此,而,因此,因此在递增,当时,.因此在上恒成立,令,则在上恒成立,,又当时,在递减,当时,因此,因此;当即时,即时,在上递增,存在,使得,不合;即时,,在递减,当时,,因此,因此综上, 实数的取值范畴为20解:(1) 由A=1,得a1=b1,=b2.设数列an公差为d,数列bn公比为我q,由a2b2 a1 daq,故=a1(q-1)由于ann,a1=b11,a22,因此数列bn的公比q,因此,bn21分 答:an0因此an时,方程最多有个解;q0时,方程最多有个解当q0时,考虑函数f(x)q-tx-s,则f ()=qxl-t如果tlq0,则f(x)为单调函数,故方程最多只有一种解;如果lq0,且不妨设由f ()0得f(x)有唯一零点x0logq,于是当x0时,f (x)恒不小于或恒不不小于0,当xx0时,f (x)恒不不小于0或恒不小于0,这样(x)在区间(0,0)与(x0,)上是单调函数,故方程最多有个解 10分当时,如果t0.如果n为奇数,则方程变为|q|n+t=0,显然方程最多只有一种解,即最多只有一种奇数满足方程.如果n为偶数,则方程变为|q|n-tns=由q0的情形,上式最多有2个解,即满足的偶数最多有个.这样,最多有3个正数满足方程对于t0,同理可以证明,方程最多有3个解综上所述,集合A中的元素个数最多有个. 12分再由当=6n-8,,bn=(-2)n,则a1=b1,2=b2,4=b4=,4.由此,可知集合A中的元素个数最多有3个 6分数学(附加题)1A证明:连AC,在ABC与P中,由于A、D四点共圆,因此ADPAB,又由于ADBC=DPAB,即 ,因此 ABCDP,因此BC=DA由于 直线P与圆O相切,因此 DPACD,因此 ACD,因此,ABCD,因此圆内接四边形A为等腰梯形,因此AD=BC.2解:设M=,则有,因此且解得,因此M.因此=,即C点坐标为(6,1).1C解:由sin()1得,xy-2,由2si(+)得,2+y-xy0,直线x2=0过圆x2+y2xy=0的圆心(,),因此线段A的长为圆2sin(+)的直径长,即=2.21法一:左右=2 (y-3) x y2 -3y3 (y-)24(y2 -3y)- +- 0 左-右0得证。法二:左右(x-)2(y-1)2(x1)(y1)2 x-1-+( x-)(y1) x-1y-1 y-1 ( x-1)(y1) x1y-1 得证。法三:左边=+=+3x+( +y)-3=右边,得证22解:连接C, 以分别为轴,建立如图空间直角坐标系,则,由于为线段B上一动点,且,则, 因此.(1)当时,,因此. (2),设平面的一种法向量为=由,得,化简得,取设与平面所成角为,则.解得或(舍去),因此. 23.解:()用数学归纳法证明:当x(0,)时,exfn(x);()当n1时,令f(x)=exf1()=xx1,则f(x)x-0,x(,)恒成立,因此,f(x)在区间(0,+)为增函数,又由于f(0)0,因此f(x)0,即ef1(x).(i)假设k时,命题成立,即当x(,)时,exk(),则n=k+1时,令g()ex-fk+()=x(1+x+x+k+),则g(x)e(1x+x)ex-f(x),因此(x)在区间(,)为增函数,又由于(0)=0,因此 g(x)0,x(0,+)恒成立,即exk1(x),(0,).因此nk+1时,命题成立.由(i)(ii)及归纳假设可知,nN*,当(0,)时,exfn(x)()由()可知exf+1(x),即fn()+x+eyfn(x)+xn+1ey,即y0下面先用数学归纳法证明:当0,ex1+x+x2+xexnN*(i)当n1时,令F()=1+xexex,则(x)=xe0,x(,+),因此F(x)在区间(,+)单调增,又F(0)=0,故F()0,即ex1x(i)假设k时,命题成立,即当x(0,)时,xk+ex,因此()在区间(,)上为增函数,又G(0)=0,故G(x)0,即ex1+xkxxk1x,(0,+).由()(i)及归纳假设,可知当x(0,+)时,x1+x2+xkexxk+1ex,对N*成立.由ex1+x+x2+xe+11+x+x2+x+n+1ex因此 eexyx证毕.
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