有理数知识总结有用

冀教版有理数复习一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等有理数的运算； 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便、AMt-运算。三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从 而达到内容系统化和应用的灵活性。四、知识框架：1芒整数10-14有锂数数轴11比戦大小:加法屁図 = = w r |1宜换律i i结合律:分配律i 1乘法一關达1五、知识梳理1、知识点一：有理数的概念(一)有理数：(1) 整数与分数统称按定义分类：有理数J按符号分类：注：正数和零统称为;负数和零统称为正整数和零统称为;负整数和零统称为.（2）认识正数与负数： 正数：像1, 17 , 2008等大于的数，叫做 .5 负数：像-1,-17，-2008等在正数前面加上“一”（读作负）号的数，叫注意：5都大于零， 都小于零.“0” 即不 ，也不是 _（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其 义的量，如果负数表示某种意义 的量，则正数表示其意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示； + 7oC表示零上7oC , -7C则表示4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数表示没有3 1平果用+3表小，没有平果用0表小表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数二）数轴0） 概念： 规定了一_-.、和 的直线注:_、_、_称为数轴的三要素，三者缺一不可. 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变（2）数轴的画法及常见错误分析 画一条水平的 ； 在这条直线上适当位置取一实心点作为_一 确定向右的方向为，用表示； 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的 要一致.数轴画法的常见错误举例:一切有理数都可以用数轴上的表示出来在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意:数轴上的点不都是有理数，如 .（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数.特别地，0的相反数是；若a与b互为相反数，则a + b =，反之亦然（2）相反数的性质： 代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0.相反数必须出现，不能单独存在.例如+5和 互为相反数，或者说+5是 的相反数，一5是 的相反数，而单独的一个数不能说 .另外，定义中的“只有”扌旨 以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开.例如+3与一3互为相反数，而+3与一2虽然不同，但它们不是相反数. 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的相等.这两点是关于 对称的. 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上”号即可.一般地，数a的相反数是;这里以a表示任意一个数，可以为,、负数，也可以是任意一个代数式.注意一a不一定.注意：当a0时，一a 0（正数的相反数 数）；当a=0时，一a0（0的相反数是）;当aV0时，-a0 （负数的相反数 ）. 互为相反数的两个数的和为,即若a与b互为,则a+b=0,反之，若a+b=0,则a与b互为. 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“ + ”号，都可以全咅; 一个正数前面有个“一”号，也可以把“一”号全部去掉；一个正数前面 个“一”号，则化 简后只保留一个“一”号，即“ 负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值 ; 一个负数的绝对值是它的;0的绝对值是. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与的距离数a的绝对值记作.注意： 取绝对值也是一种，这个符号是”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号. 绝对值具有性，取绝对值的结果总. 任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的口 ：一 5，符号是，绝对值.(2) 字母a的绝对值的分类_ _ _ ,(a 0),(a 0)或a =,(a o)|a| = ,(a = 0)或问=、,(a 0)(3) 利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：计算两个负数的. 比较这两个的大小. 写出正确的判断结果. 如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为.例如：若 |a| + b+|C = 0,则a =, b =, c =2、知识点二：有理数运算(一)有理数比较大小(1) 数轴上的数，右边的数总左边的数.(2) 正数大于0,负数小于0,正数大于负数；(3) 两个负数，绝对值大的反而;4）两数比较大小，可按符号情况分类：两数同号同正: 号同负:大_ 的数大 大_ 的反而小比较大小两数异号（一正一负） 大于其中有忒数与0 _小于0负数与0：、于）二）有理数的加减法1）有理数加法法则 同号两数相加，取相同的，并把绝对值. 绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的. 一个数同0相加，仍得2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（3）有理数加法的运算律 两个加数相加，交换加数的位置，不变即a+b二b+a（加法律） 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,不变即（a+b）+c=a+（b+c）（加法律）（4）有理数加法的运算技巧 分数与小数均有时，应先化为形式. 带分数可分为与两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起 相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于，即a-b二a+ ）（6）有理数减法的运算步骤 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算（7）有理数加减混合运算的步骤 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（）+（-9）+（+5）+（-11）=+5-11，它的含义是正3，负，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘任何数同相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等即ab= （乘法结合律） 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等即abc二 （乘法结合律） 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即a（b+c）二(乘法分配律)(3) 有理数乘法法则的推广 几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为. 几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化 ，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算(4) 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。即a b=a (b壬0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值, 除以任何一个不等于0的数,都得0.(5) 倒数及有理数除法 乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数;互为倒数的两个数的乘积一 ;没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可(正整数可以看作分母为1的分数)。注意：a,b互为倒数，则ab = ; a,b互为负倒数，则ab =。反之亦然. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.(四)有理数的乘方(1) 概念：求n个相同因数的积的运算，叫估,的结果叫做,在an中，a叫做, n叫做.(2) 含义：an中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，a”表示有相 乘例如：35 表示 3X3X3X3X3，(-3) 5表示(3)X(-3)X(-3)X(-3)X(-3)，特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如（-2） 7表示相乘，而-27则表示7个2相乘的积的。当n为奇数时，（-a） n二；而当n为偶数时，（-a）二.注意：负数的奇次幕，负数的幕是正数。正数的任何次幕都是，0的任何次幕都是，任何不为0的数的0次幕都（3）“奇负偶正”口诀的应用 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： 多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一一（一3）二，+（一3）二. 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号,例如：（一3）X（2）X（6）二，而（一3）X（2）X6二. 有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕 ;指数为偶数，则幕为，例如：（3） 2二, （3） 3二.（4）有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行加减法为一级运算，乘 除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级 运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时， 应先算_括号里的，再算括号里的，最后算括号里的.以上运算顺序可以简记为:“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.六、经典例题1、类型一：正数与负数的意义例1个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km,走，走Okm的意义各是什么思路点拨：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示运动.0表示原地不动，0表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义.解析：举反三：【变式1】博然的父母6月份共收入4800元,可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热,博然家 用其中的1600元钱买了台空调,又该怎样记录这笔支出呢解析：【变式2】某老师把某小组五名同学的成绩简记为：10、5、0、8、3,又知记为0的实际成绩表示90分,正数表示超过90分,则这五位同学的平均成绩为多少分解析：2、类型二：有理数的分类1546整数集合：;非负集合：;分数集合：；负数集合：.思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类.填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“”，“非负数”不要仅理解为正数，既不是正数，也不是负数，属于“非负” 范围内的数；负数包括和.例2.把下列各数填入相应的括号内：+6, -二，-1, 0, 97, - 2：.解析：举一反三：【变式】(1)最小的正整数是:最大的负整数是;最小的整数是;最小的正数是;最大的负数是;最小的有理数;绝对值最小的有理数是。(2)个数的相反数等于它本身，这个数是; 一个数的绝对值等于它本身，这个数是; 一个数的绝对值等于它的相反数，这个数 ; 一个数的倒数等于它本身，这个数 ;个数的平方等于它本身，这个数 ;一个数的平方等于它的绝对值，这个数 ;一个数的平方等于它的相反数，这个数 ;个数的立方等于它本身，这个数。解析：3、类型三：多重符号的化简 例3、化简下列各数：-(-3 2)(2) + (4 5)-(5)(4) +(+2)思路点拨：多重符号的化简是由“”的个数来定，若“-”个数是个时，化简结果为正;若“-”个数是奇数个时，化简结果为。解析：举一反三：4【变式 1】-+-( 5) =【变式2 】说出下列各式的意义，然后化简：(1)一一(一3)(2) + -(+5)；(3) -(-6)(共n个负号).4、类型四：有理数的大小比较例4在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ ”连接起来；-3片，4,-1,2 ,0, 1 ,- 23224思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数 轴上的位置顺序比较大小，再用“ ”连接起来.解析：举一反三：【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小用、V号连接.234（1）， -60 （2）, , 345思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而，比较分数大小，一般要化成同的分数来比较.解析5、类型五：绝对值的概念例 5.若 a 3 +|2b+5|=0,计算 2a-b 的值.思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。解析：I II举一反三：【变式1】若a b ,化简：|b a +1| a b 5 .解析：【变式2】代数式I x + 21 + I x 31的最小值为。解析：【变式3】a, b在数轴上的位置如图(1)化简：I a + b II b1I解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例6.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,e 1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为解析：【变式2】(1)在一列数：2, 32 , 43, 54 , 65中，第n个数(n为正整数)是c(2)观察一列有规律的数2, 4, 8,16, 32,，它的第2009个数是()变式 3】观察下列各式：13 = 121 + 23 = 3213 + 23 + 33 + 43 = 102猜想：13 + 23 + 33 4卜 103 =;当输入数据是n (n是正整数)时，输出的变式 4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345 输出12345 25101726那么，当输入数据是8 时，输出的数据是数据是【变式5】观察：丄=1 -1,21 1，2x323匚=1 1将以上三个等式两边分别相加得:丄 + 丄 + 丄=1 - 1 +1 -1 + 1x22x33x42233猜想并写出： n(n +1)直接写出下列各式的计算结果：1 1 1 1+ + + + =1 x 22 x 33 x 42006 x 20071 1 1 1+ + + + =1 x 22 x 33 x 4n( n +1) 探究计算：1 1 1 1+ + + +2x4 4x6 6x82006 x 2008